Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнений в частных производных. Учебное пособие
.pdf
61
Выражение для r легко получается, если мы возведем в квадрат
каждое из равенств (4.3) и сложим их:
.)sin(cossincos
2222222222
rrrryx =+=+=+
Отсюда имеем
(4.5)
Вычислим производные по x и по y от выражения (4.5):
,cos
cos
2
2
1
22
=
==
+
=
r
r
r
x
x
yx
x
r
,
sinsin
2
2
1
2
3
22
3
2
3
22
222
3
22
2222
2
2
r
r
r
r
y
yx
xyx
x
yx
x
yxyx
x
x
r
=
==
=
+
−+
=
+
−
+
=
+
=
,sin
sin
2
2
1
22
=
==
+
=
r
r
r
y
y
yx
y
r
.
cos
2
2
2
r
y
r
=
Выражение для получим, разделив второе из равенств (4.3) на
первое:
,tg
cos
sin
=
=
r
r
x
y
откуда
(4.6)
Продифференцируем обе части равенства (4.6) по x:
.
cos
1
22
x
y
x−=
62
Отсюда
,
sin
cos
cos
sin
cos
2
22
2
2
rr
r
x
y
x
−=
−=−=
( )
.
cossin2cossin2
2
sin
24
2
2
22
2222
2
rr
r
x
yx
y
yx
y
r
y
rx
=
=
=
+
=
+
−=
−=
−=
Продифференцируем теперь обе части равенства (4.6) по y:
.
1
cos
1
2
xy
=
Отсюда получим
.
cossin2
,
cos
cos
cos
cos
1
22
22
2
ryrrxy
−=
=
==
.
cossin2
22
22
ryrrxy
−=
Подставляем полученные результаты в формулы (4.4):
,
cossin
2
sin
sincossin
2cos
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
r
u
rr
u
r
u
rr
u
r
u
x
u
+
+
+
+
−
=
.
cossin
2
cos
coscossin
2sin
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
r
u
rr
u
r
u
rr
u
r
u
y
u
−
+
+
+
+
=
63
Складываем эти производные:
2
2
2
2
=
+
=
y
u
x
u
u
cossin
2
sinsincossin
2cos
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
−
=
=
+
=
r
u
rr
u
r
u
rr
u
r
u
y
u
x
u
u
cossin
2
2
+
+
r
u
cossin
2
coscoscossin
2sin
cossin
2
sinsincossin
2cos
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
+
+
+
+
+
+
−
=
+
=
r
u
rr
u
r
u
rr
u
r
u
r
u
rr
u
r
u
rr
u
r
u
y
u
x
u
cossin
2
cossin
2
2
2
=
−
+
+
r
u
r
u
.
1111
cossin
2
coscoscossin
2sin
cossin
2
sinsincossin
2cos
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
+
=
+
+
=
−
+
+
+
+
+
+
+
−
=
+
=
u
rr
u
r
rr
u
rr
u
rr
u
r
u
rr
u
r
u
rr
u
r
u
r
u
rr
u
r
u
rr
u
r
u
y
u
x
u
Последнее равенство представляет собой окончательное выражение
для оператора Лапласа в полярной системе координат, примененного
к функции u(r, )
Вернемся теперь к трехмерному оператору Лапласа и рассмотрим
его выражения в цилиндрической и сферической системах координат.
Начнем с первой из них.
Цилиндрическая система координат r, , z связана с декартовой
с помощью формул
.
,sin
,cos
zz
ry
rx
=
=
=
Как можно заметить, для координат x и y она совпадает с уже рассмотренной нами полярной системой координат. Отличие только в наличии
третьей координаты z, идентичной координате z в декартовой системе.
Очевидно, что выражение для оператора Лапласа, примененного к функ-
ции u(r, , z) в цилиндрической системе координат, будет идентично
его выражению в полярных координатах, за исключением дополнительного слагаемого – второй производной от u по z:
.
11
2
2
2
2
22
2
z
uu
rr
u
rr
u
u
+
+
+
=
Перейдем теперь к сферической системе координат r, θ, . Здесь
переменная r представляет собой расстояние точки (x, y, z) от начала
координат и выражается формулой
64
,
222
zyxr ++=
θ – угол между радиус-вектором точки (x, y, z) и осью Oz; – угол
между проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox
(рис. 4.1).
Рис. 4.1. Сферическая система координат
Сферические координаты связаны с декартовыми с помощью
формул
.cos
,sinsin
,cossin
=
=
=
rz
ry
rx
Вывод выражения для оператора Лапласа в сферических координатах, примененного к функции
)cos,sinsin,cossin( rrru
, является
весьма громоздким. Мы не станем его приводить, ограничившись итоговым результатом:
.
sin
1
sin
sin
11
sin
11
sin
cos2
2
2
222
2
2
2
2
222
2
222
2
+
+
=
=
+
+
+
+
=
u
r
u
rr
u
r
rr
u
r
u
r
u
rr
u
rr
u
u
65
4 . 2 . У р а в н е н и е Л а п л а с а
Уравнением Лапласа называется уравнение
Δи = 0. (4.7)
Здесь Δ – это оператор Лапласа. Это уравнение относится к эллиптическому типу и соответствует формуле (1.20) при равной нулю правой части, только функция u в данном случае зависит не от двух, а от трех
переменных.
Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гар-
моническими. Например, ему удовлетворяет стационарное распределе-
ние температуры в теле. В самом деле, однородное уравнение теплопроводности имеет вид
.
2
ua
t
u
=
Если температура u не зависит от времени t, то
,0
t
u
,0
2
=ua
и уравнение теплопроводности сводится к уравнению Лапласа.
Применение уравнения Лапласа не ограничивается задачей теплопроводности. Например, ему удовлетворяет потенциал стационарного
электрического поля во всякой области, где отсутствуют заряды. Однако далее при изучении этого уравнения мы для наглядности будем
представлять функцию u как температуру.
Сформулируем следующую краевую задачу: в области пространства, ограниченной замкнутой поверхностью Г, найти гармоническую
функцию u(x, y, z, t), удовлетворяющую на границе Г краевому условию
где n – направление внешней нормали к Г; H и
u
~
– функции, заданные
на границе Г.
66
В задаче стационарного распределения температуры
,
h
k
H −=
а
u
~
– температура внешней среды на границе тела. Важным является
частный случай, когда Н = 0, что соответствует h → ∞ и приводит
к условию, задающему температуру границы тела:
(4.8)
Краевая задача (4.7), (4.8) называется задачей Дирихле. При некоторых
весьма общих предположениях относительно Г и
u
~
она всегда имеет
решение.
4 . 3 . П р о с т р а н с т в е н н ы е , п л о с к и е и о д н о м е р н ы е
з а д а ч и Д и р и х л е
Задача Дирихле в пространстве формулируется следующим обра-
зом: найти функцию u(x, y, z), удовлетворяющую внутри замкнутой по-
верхности Г уравнению Лапласа (4.7) и принимающую на границе Г заданные значения, определяемые условием вида (4.8).
Задачу Дирихле на плоскости можно сформулировать так: найти
функцию u(х, у), удовлетворяющую внутри замкнутой кривой Г уравнению Лапласа и принимающую на границе Г заданные значения.
Эта задача имеет единственное решение и может возникнуть в физических задачах двух типов.
Первый тип соответствует стационарному распределению температуры в тонкой однородной пластинке, параллельной плоскости хОу, с теп-
лоизолированными нижней и верхней поверхностями. Край пластинки
Г поддерживается при определенной температуре
u
~
. Если пластинка до-
статочно тонкая, то можно пренебречь изменением температуры по ее
толщине. Тогда температура будет функцией только переменных х и у.
Задача второго типа возникает при рассмотрении стационарного
распределения температуры в бесконечном однородном цилиндре,
у которого образующие параллельны оси z, направляющая Г лежит
в плоскости хОу, а боковая поверхность поддерживается при опреде-
ленной температуре . Здесь u также остается постоянной на любой
67
прямой, параллельной оси z, проходящей в цилиндре, поэтому ее можно
считать зависящей только от переменных х и у.
Задача Дирихле в одномерном случае решается достаточно просто, так как u зависит только от одной переменной. В качестве примеров
кратко рассмотрим три одномерных задачи.
Пример 4.1. Задача о стационарном распределении температуры
в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью.
Решение. Данная задача приводит к одномерному уравнению
Лапласа в декартовых координатах
0
2
2
=
dx
ud
с краевыми условиями
.
,
0
0
l
lx
x
uu
uu
=
=
=
=
Общее решение данного уравнения выражается линейной функцией
.BAxu +=
С помощью краевых условий получаем систему алгебраических уравнений для определения произвольных констант A и B:
,
,
0
l
uBAl
uB
=+
=
решая которую, окончательно находим функцию u:
.
0
0
ux
l
uu
u
l
+
−
=
Пример 4.2. Задача о стационарном распределении тепла в про-
странстве между двумя цилиндрами с общей осью и постоянной температурой на их поверхностях.
Решение. В этой задаче имеет место осевая симметрия. С учетом
этого будем считать, что функция u не зависит от и z. Тогда
68
приходим к одномерному уравнению Лапласа в цилиндрических координатах
,0
1
=
dr
du
r
dr
d
r
которое так же, как и в предыдущем примере, решается простым интегрированием. При краевых условиях
b
br
a
ar
uu
uu
=
=
=
=
,
решение задачи запишется в виде
.
lnln
lnln
ln
lnln ba
buau
r
ba
uu
u
abba
−
−
+
−
−
=
Пример 4.3. Стационарное распределение температуры в сфериче-
ском слое: a r b.
Решение. Функция u в данной задаче зависит только от расстояния
точки до начала координат. Получаем уравнение в сферических координатах:
.0
1
2
2
=
dr
du
r
dr
d
r
Удовлетворяя краевым условиям
,
,
b
br
a
ar
uu
uu
=
=
=
=
получим решение
.
)(
)(
)(
bar
arb
uuuu
baa
−
−
−+=
Отметим, что трех- и двумерные задачи Дирихле могут быть решены аналитически только для сравнительно простых областей.
69
4.4 . За д а ч а Д и р и х л е д л я к р у г а
Рассмотрим двумерную задачу Дирихле. Пусть дан круг радиуса
R с центром в полюсе О. Задача решается в полярной системе коорди-
нат. Необходимо найти функцию u(r, ), гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию
(4.9)
где f () – заданная функция, непрерывная на окружности.
Функция u(r, ) должна удовлетворять уравнению Лапласа в полярных координатах, которое можно записать следующим образом:
(4.10)
Решить поставленную задачу можно с помощью метода Фурье.
Для этого функцию u(r, ) ищут в виде
).()( = TrQu
Подставляя эту формулу в исходное уравнение, будем иметь
.0)()()()()()(
2
=
+
+
TrQTrQrTrQr
Разделение переменных приводит к равенству
.
)(
)()(
)(
)(
2
rQ
rQrrQr
T
T
+
−=
Это равенство возможно, если каждая из его частей равна некоторой
константе. Обозначим ее как –k2. Получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:
.0)()()(
,0)()(
22
2
=−
+
=+
rQkrQrrQr
TkT
Пусть k = 0. Тогда получаем два уравнения:
70
,0)()(
,0)(
2
=
+
=
rQrrQr
T
которые легко решаются и приводят к следующим результатам:
.ln)(
,)(
rDCrQ
BAT
+=
+=
(4.11)
Пусть k > 0. Тогда соответствующие общие решения будут иметь вид
.)(
,sincos)(
kk
DrCrrQ
kBkAT
−
+=
+=
(4.12)
Функция u(r, ) является периодической функцией с периодом 2, так
как для однозначной функции величины u(r, ) и u(r, + 2) совпадают.
Условие этого равенства приводит к B = 0 в первом равенстве (4.11).
При этом в первом равенстве (4.12) k должно принимать значения
1, 2, 3, … (k > 0). Во вторых равенствах из (4.11) и (4.12) должно выпол-
няться D = 0, иначе функция могла бы иметь разрыв в точке r = 0 и не
была бы гармонической в круге.
Таким образом, мы получаем бесконечное множество решений
уравнения (4.10), непрерывных в круге. Перепишем их в виде
,
2
),(
0
0
=
A
ru
,...).2,1()sincos(),(
,
2
),(
0
0
=+=
=
nrnBnAru
A
ru
n
nnn
Рассмотрим функцию
=
++=
1
0
.)sincos(
2
),(
n
n
nn
rnBnA
A
ru
Данная функция также является решением уравнения (4.10) вследствие
линейности и однородности уравнения Лапласа. Теперь необходимо
подобрать константы A0, An, Bn таким образом, чтобы эта функция удовлетворяла условию (4.9):
=
++=
1
0
.)sincos(
2
)(
n
n
nn
RnBnA
A
f
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]