Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнений в частных производных. Учебное пособие
.pdf
41
Вычислим определитель данной системы и убедимся, что он не равен
нулю:
.0
11
−=
−
−
ll
ll
ee
ee
Тогда данная система имеет единственное решение
C1 = C2 = 0
и решений, отличных от 0, в данном случае не существует.
2) Пусть c = 0. Тогда
.)(
21
xCCxX +=
Используя условия (2.14), имеем
,0,0
211
=+= lCCC
откуда вновь
C1 = C2 = 0.
3) Пусть
c = –λ2 < 0.
Тогда корни характеристического уравнения чисто мнимые:
r = i λ.
Общее решение уравнения (2.13) имеет вид
При x = 0 получаем равенство
а при x = l
Последнее равенство может выполняться при C2 0, если
,0sin =l
42
откуда получим
.
Отметим, что k 0, так как λ 0. Таким образом, если
,
l
k
=
что означает равенство
,
2
−=
l
k
c
то существуют решения уравнения (2.13), не равные нулю.
Пусть
(2.15)
является решением, соответствующим некоторому фиксированному k,
где Ak – произвольная постоянная. В силу произвольности Ak мы вправе
использовать только положительные значения k.
Каждому значению
l
k
k
=
соответствует бесконечное множество решений (2.15), отличающихся
друг от друга постоянным множителем. Величины λk называют соб-
ственными числами, а функции
– собственными функциями
уравнения (2.13) с краевыми условиями (2.14). Данные собственные
функции ортогональны на интервале [0, l]; поясним это определение.
Система функций 1(x), 2(x),…, n(x) называется ортогональной
на интервале [a, b], если при n m
.0)()( =
dxxx
m
b
a
n
Для найденных нами собственных функций имеем при n m
43
,0
)(
sin
)(
sin
2
sinsin
0
0
=
+
+
−
−
−
=
l
l
nm
l
xnm
nm
l
xnm
l
dx
l
nx
l
mx
что подтверждает их ортогональность.
Найдем функцию T(t). Каждому собственному числу λk соответ-
ствует своя функция Tk(t), определяемая уравнением
,0)()(
2
=−
tTcatT
kk
или, если подставить
c = –λ
2
,
″
Его общее решение имеет вид
(2.16)
где Bk и Dk – произвольные константы.
Подставив теперь в уравнение (2.11) найденные нами выражения (2.15) и (2.16), получим частные решения формулы (2.8), удовлетворяющие краевым условиям (2.10), причем для каждого k = 1, 2, …
справедливо
,sinsincos),(
l
xk
A
l
atk
D
l
atk
Btxu
kkkk
+
=
или
(2.17)
где ak = AkBk, bk = AkDk. Решения uk(x, t) называются собственными функ-
циями задачи, а соответствующие им колебания струны – собственными
колебаниями.
Построим теперь решение, удовлетворяющее начальным условиям (2.9). Возьмем сумму решений (2.17):
44
(2.18)
Уравнение (2.8) линейно и однородно, поэтому данная сумма также будет являться его решением. Предполагаем, что полученный ряд является сходящимся и что его можно дважды почленно дифференцировать.
Поскольку каждая из функций uk(x, t) удовлетворяет краевым усло-
виям (2.10), то им удовлетворяет и функция u(x, t). Подберем теперь
произвольные постоянные ak и bk так, чтобы решение (2.18) удовлетворяло начальным условиям (2.9). При t = 0
(2.19)
Дифференцируем (2.18) по t:
.sincossin
1
=
+
−
=
k
kk
l
xk
l
atk
b
l
atk
a
l
ak
t
u
При t = 0
(2.20)
Из формул (2.19) и (2.20) следует, что ak и
являются коэффици-
ентами разложения функций f (x) и F(x) в ряд Фурье по синусам в интервале (0, l). В соответствии с уравнениями для коэффициентов этого
разложения будем иметь
Обе части последнего равенства разделим на
и получим коэффици-
ент bk в виде
.sin)(
2
0
=
l
k
dx
l
xk
xF
ak
b
Подставив теперь полученные выражения в (2.18), найдем окончательное решение поставленной задачи.
45
Пример 2.3. Уравнение колебаний струны задано в виде
.
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
=
Пусть начальные отклонения струны равны нулю, а начальная скорость
задана следующей функцией:
при
ℎ
при
ℎ
Концы струны закреплены:
.0,0
0
==
== lxx
uu
Нужно решить уравнение колебаний струны при заданных начальных
и краевых условиях.
Решение. Согласно условиям задачи, f (x) = 0, что сразу влечет за
собой ak = 0. Функция F(x) не обращается в ноль только внутри определенного интервала, внутри которого она равна константе v0. Определим
этот интервал из условия
,
22
hl
x −
которое приводит к двум неравенствам:
.
22
,
22
hl
x
hl
x
−−−
Из них получим следующие условия для x:
,
2
,
2
hl
x
hl
x
−
+
и только внутри данного интервала функция F(x) равна v0 и не обращается в ноль.
Вычислим коэффициент bk, используя его в качестве пределов интегрирования границы определенного выше интервала (интегрировать
46
от 0 до l нет смысла, поскольку за пределами указанного интервала дан-
ный интеграл обращается в ноль):
cos
2
sin
2
2
2
2
2
0
0
l
xk
k
l
ak
v
dx
l
xk
v
ak
b
hl
hl
hl
hl
k
=
−=
=
+
−
+
−
.
2
sin
2
sin
4
2
)(
cos
2
)(
cos
2
cos
2
sin
2
22
0
22
0
2
2
2
2
0
0
l
hkk
ak
lv
l
hlk
l
hlk
ak
lv
l
xk
k
l
ak
v
dx
l
xk
v
ak
hl
hl
hl
hl
=
+
−
−
=
=
−=
=
+
−
+
−
Тогда, согласно формуле (2.18), решение задачи будет получено в виде
ряда
=
=
1
22
0
.sinsin
2
sin
2
sin
1
4
),(
k
l
xk
l
atk
l
hkk
ka
lv
txu
Пример 2.4. Дана струна, которая жестко закреплена на концах.
Пусть в начальный момент времени она имеет вид ломаной OAB
(рис. 2.2). Начальные скорости отсутствуют. Требуется решить задачу
колебаний, определив форму струны для любого момента времени t.
Рис. 2.2. Cтруна в момент t = 0
Решение. Рассмотрим по отдельности прямые OA и AB. Угловой
коэффициент прямой OA равен
ℎ
, или
ℎ
. Тогда уравнение прямой OA
запишется как
47
ℎ
Рассмотрим прямую AB. На оси Ox она отсекает отрезок, равный l. Определим соответствующий отрезок для оси Ou. Прежде всего
отметим, что
.
4
2
2
l
hABOA +==
В то же время
.2,
4442
22
2
2
2
hCOh
ll
h
l
OA
CO
==−+=−=
Тогда уравнение прямой AB принимает вид
,1
2
=+
h
u
l
x
или, если выразить u,
).(
2
xl
l
h
u −=
Таким образом, функцию f (x) мы можем записать в следующем виде:
при
при
Поскольку начальные скорости по условиям задачи отсутствуют,
F(x) = 0, что влечет за собой bk = 0. Определим ak:
.sin)(
4
sin
4
sin)(
2
2/
2
2/
0
2
0
−+
=
=
l
l
ll
k
dx
l
xk
xl
l
h
dx
l
xk
x
l
h
dx
l
xk
xf
l
a
Эти интегралы можно легко вычислить, если применить формулу инте-
грирования по частям:
,sin, dx
l
xk
dvxu
==
.cos,
l
xk
k
l
vdxdu
−==
coscossin
2/
0
2/
0
2/
0
=
+
−=
dx
l
xk
k
l
l
xk
k
xl
dx
l
xk
x
l
l
l
sin
2
cos
2
coscossin
2/
0
22
22
2/
0
2/
0
=
+
−=
=
+
−=
l
xk
k
lk
k
l
dx
l
xk
k
l
l
xk
k
xl
l
l
l
.
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
coscossin
22
22
2/
0
22
22
2/
0
2/
0
+
=
+
=
+
k
k
lk
k
l
l
xk
k
lk
k
l
dx
l
xk
k
l
l
xk
k
xl
l
l
l
.
2
sin
2
cos
2
sin)(
22
22
2/
+
=
−
k
k
lk
k
l
dx
l
xk
xl
l
l
Отметим, что данная формула достаточно часто используется при решении задач на метод Фурье. Применим ее вначале для первого интеграла, входящего в ak, положив
откуда будем иметь
Тогда
аналогичным образом, положив
мы вычислим второй интеграл, входящий в ak:
48
Складывая результаты вычисления интегралов, получим
2
sin
2
cos
2
4
22
22
2
+
+
−=
k
k
lk
k
l
l
h
a
k
2
sin
2
cos
2
4
2
sin
2
cos
2
4
22
22
2
22
22
2
=
+
+
+
−=
k
k
lk
k
l
l
h
k
k
lk
k
l
l
h
.
2
sin
8
2
sin
2
cos
2
4
2
sin
2
cos
2
4
22
22
22
2
22
22
2
=
+
+
+
−=
k
k
h
k
k
lk
k
l
l
h
k
k
lk
k
l
l
h
.sincos
2
sin
8
),(
1
22
l
xk
l
takk
k
h
txu
k
=
=
Тогда решение задачи запишется в виде ряда
49
3 . У Р А В Н Е Н И Е Т Е П Л О П Р О В О Д Н О С Т И
x
u
3 . 1 . П о с т а н о в к а з а д а ч и
Пусть дан стержень, боковая поверхность которого не допускает
теплообмена с окружающей средой (она теплоизолирована). Если этот
стержень в начальном состоянии неравномерно нагрет, то благодаря
теплопроводности в нем будет происходить передача тепла от более
нагретых частей к менее нагретым. Например, в простейшем случае,
когда притока тепла извне нет и концы стержня тоже теплоизолированы, температура точек стержня с течением времени будет, изменяясь,
выравниваться и в результате станет повсюду постоянной.
Предположим, что поперечные сечения стержня малы. Тогда
в каждый момент времени температуру всех точек данного поперечного сечения (рис. 3.1) можно считать одинаковой.
Рис. 3.1. Поперечное сечение стержня
Если принять за ось Ox ось стержня, то температура u будет зависеть от координаты х и времени t. При фиксированном значении t функ-
ция u(x, t) выражает зависимость температуры точек стержня в данный
момент времени от их расстояния до начала координат. Частная произ-
водная
дает при этом скорость изменения температуры в направле-
нии оси Ox. При фиксированном х функция u(х, t) выражает закон изменения температуры в данном сечении стержня с течением времени.
Используя ряд упрощающих предположений, на которых здесь мы
останавливаться не будем, уравнение линейной теплопроводности
можно вывести в следующей форме:
(3.1)
где a – положительная константа, которая выражается формулой
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]