Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы расчета и оптимизация режимов электроэнергетических систем. Учебное пособие.pdf
81
стимой области. Для решения таких задач применяется метод линейного
( )
12
F , , , min,
n
xx x →
(
)
.,
,1,0
,,,g
21
m
ixxx
n
i
=
=
программирования. При дискретной оптимизации используется метод
динамического программирования и некоторые другие методы.
Все перечисленные методы получили широкое распространение
в электроэнергетике. При решении задач, приведенных в табл. 6.2, чаще
всего используются градиентные методы и метод множителей Лагранжа.
Эти задачи относятся к краткосрочной оптимизации режима, т. е.
к оптимизации текущих режимов. При планировании режимов решают-
ся задачи долгосрочной оптимизации, к которым принадлежат не только
технические, но и экономические задачи электроэнергетики. Спектр
применяемых методов здесь значительно шире.
В настоящее время разрабатываются альтернативные алгоритмы
оптимизации режимов, в частности, с использованием эволюционных
алгоритмов.
6.3. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Пусть дана целевая функция F(x1, x2, …, xn). На переменные x1, …, xn
этой функции наложено m ограничений-равенств gi(x1, x2, …, xn) (в каждое
конкретное ограничение могут входить не все переменные, а только их
часть). Тогда задача оптимизации формулируется следующим образом:
Если m = n, то равенства (6.3) определяют однозначный набор значе-
(6.2)
(6.3)
ний x1, …, xn, и оптимизация невозможна. Поэтому, чтобы режим был оптимизируемым, должно выполняться условие m < n. Разность (n – m)
называется числом степеней свободы системы и представляет собой количество переменных, которые в процессе оптимизации могут варьироваться
независимо друг от друга.
82
Метод множителей Лагранжа состоит в переходе от условной опти-
( ) ( ) ( )
11 1 1
1
L ,,,,, F ,, g ,, ,
m
n m n ii n
i
xx xx xx
=
λ λ= +λ
∑
1
g
F
0, 1, , ,
g 0, 1, , .
m
i
i
i
jj
i
jn
xx
im
=
∂
∂
+λ = =
∑
∂∂
= =
мизации к безусловной путем замены целевой функции (6.2) на функцию
Лагранжа, которая имеет вид
(6.4)
где λi – вспомогательные переменные, которые называются множителями
Лагранжа.
Экстремум функции Лагранжа определяется классическим способом,
т. е. из условия равенства нулю частных производных по всем переменным xi, λj. В результате получается следующая система уравнений:
(6.5)
Если все gi = 0, то экстремум функции Лагранжа совпадает с экстре-
мумом исходной целевой функции. Из (6.5) видно, что данное условие выполняется. Таким образом, значения x1, …, xn, полученные путем решения
системы (6.5), представляют собой решение исходной задачи оптимизации.
Метод множителей Лагранжа позволяет найти общее решение задачи
(если система (6.5) решается аналитически). Однако на практике составление и решение этой системы часто бывают связаны с громоздкими вычислениями.
6.4. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ
Численные методы оптимизации, реализующие переход от предыдуще-
го приближения переменных к следующему в направлении, противоположном градиенту целевой функции, называются градиентными методами.
Градиент функции F(x1, x2, …, xn) в n-мерном пространстве представляет
собой вектор, направленный в сторону наискорейшего возрастания функции
83
и равный по величине производной функции по этому направлению. Гради-
12
FF F
F , ,, .
n
xx x
∂∂ ∂
=
∂∂ ∂
grad
[ ] [ ]
i
p
i
p
i
x
txx
∂
∂
−=
+F1
[ ]
[ ]
1
FF
pp+
− ≤ε
[ ] [ ]
[ ]
( )
11
1
12
F , ,,
pp
p
n
xx x
++
+
ент выражается через частные производные следующим образом:
(6.6)
Рекуррентное соотношение градиентных методов в наиболее простом
случае имеет вид
, (6.7)
где p – номер приближения; t – шаг метода; производные вычисляются
при p-м приближении переменных.
Расчет заканчивается при выполнении условия
, (6.8)
где ε – заданная точность.
Вместо условия (6.8) могут также использоваться другие способы
контроля сходимости итерационного процесса.
Сходимость градиентных методов оптимизации определяется величиной шага t. Выбор этого шага может быть осуществлен по тем же принципам, которые используются в методе Ньютона по параметру и в ускоренном
методе Зейделя. Минимизируемой функцией при выборе шага будет значе-
ние целевой функции на следующей итерации
Такая разновидность градиентных методов называется методом наиско-
рейшего спуска.
.
Главное преимущество градиентных методов перед методом Лагранжа заключается в том, что градиентные методы позволяют учесть ограничения-неравенства. При оптимизации режимов электрических систем этот
учет осуществляется на основе метода штрафных функций.
84
6.5. ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНЫХ МОЩНОСТЕЙ
1
1
F min
m
i
i
B
+
=
= ⇒
∑
1
ген, н,
11
0
mk
ii
ii
P PP
+
Σ
= =
− −∆ =
∑∑
МЕЖДУ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЯМИ
Пусть система содержит m электростанций и один базисный узел.
Зависимость расхода первичных энергоресурсов (далее – топлива) от вырабатываемой активной мощности Bi = f(P
) называется расходной
ген,i
характеристикой электростанции. Строго говоря, понятие расходной
характеристики применимо только к электростанциям, использующим
невозобновляемые источники энергии. Однако можно считать, что расходная характеристика электростанции с возобновляемыми источниками
энергии условно равна самой генерируемой мощности: Bi = P
. Исклю-
ген,i
чением являются гидроэлектростанции, для которых требуется иная постановка задачи оптимизации (с учетом фактора времени).
Выберем в качестве критерия оптимизации суммарный расход топлива:
, (6.9)
где под (m+1)-й станцией понимается базисный узел, расходная характеристика которого также считается известной.
В целом в системе должен соблюдаться баланс активных мощностей
, (6.10)
где Pi – мощность i-й нагрузки; k – число нагрузок; ΔPΣ – суммарные потери мощности в сети.
Выражение (6.10) представляет собой техническое ограничение-
равенство. Предположим, что при любом распределении мощностей режим является допустимым. Тогда ограничения-неравенства отсутствуют.
В этом случае оптимизация может быть осуществлена методом множителей Лагранжа.
85
Функция Лагранжа
11
ген, н,
1 11
L.
mmk
i ii
i ii
B P PP
++
Σ
= = =
= +λ − −∆
∑ ∑∑
ген, ген,
1
ген, 1
1
ген, н,
11
1 0, 1, , ,
0,
0.
i
ii
m
m
mk
ii
ii
B
P
im
PP
B
P
P PP
Σ
+
+
+
Σ
= =
∂
∂∆
+λ − = =
∂∂
∂
+λ=
∂
− −∆ =
∑∑
ген,
i
i
i
BP∂
ε=
∂
ген,ii
P
P
Σ
∂∆
σ=
∂
( )
1
1
ген, н,
11
1 0, 1, , ,
0,
0.
ii
m
mk
ii
ii
im
P PP
+
+
Σ
= =
ε +λ −σ = =
ε +λ=
− −∆ =
∑∑
(6.11)
Мощности нагрузок считаются постоянными величинами, а потери –
функцией генерируемых мощностей, за исключением мощности базисного узла. Тогда система (6.5) принимает вид
(6.12)
Введем следующие обозначения:
,
. (6.13)
Величина εi называется относительным приростом расхода топлива
на i-й электростанции, а величина σi называется относительным приростом потерь при изменении мощности i-й станции. С учетом этих обо-
значений систему (6.12) можно записать следующим образом:
(6.14)
86
Система (3.23) включает в себя (m+2) уравнения с неизвестными
σ0
i
=
12 1
ε ε ε λ.
m
+
= = = = −
P
ген,1
, …, P
ген,m+1
, λ. Решение ее производится численными методами (по-
скольку уравнения в общем случае нелинейны). В результате определяются оптимальные значения генерируемых мощностей P
ген,1
, …, P
ген,m+1
.
6.6. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЩНОСТЕЙ
МЕЖДУ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЯМИ
Рассмотрим частный случай, когда потери в сети не зависят от распределения мощностей генераторов. Это возможно при условии, если
нагрузки получают питание от разных электростанций по одному и тому
же пути передачи энергии. При этом
. Следовательно,
(6.15)
Таким образом, при постоянных потерях активной мощности режим
будет оптимальным, если производные расходных характеристик для всех
электростанций одинаковы.
Если бы расходные характеристики были линейными функциями, то
выполнение или невыполнение условия (6.15) не зависело бы от распределения мощностей между электростанциями. Это значило бы, что оптимального распределения мощностей не существует.
В действительности расходные характеристики тепловых электростанций нелинейны, поэтому их производные зависят от мощности,
и оптимальное распределение мощностей, при котором выполняется
условие (6.15), существует. Экономия энергоресурсов достигается за
счет снижения главным образом тепловых и механических потерь энергии на электростанциях.
Расходные характеристики тепловых электростанций имеют постоянную составляющую расхода топлива (т. е. расход топлива на холостом ходу). Условие (6.15) не может учесть эти составляющие. Поэтому на прак-
87
тике следует предусматривать отключение малозагруженных генераторов
12
σ σ σ 0,
m
= = = =
или их перевод в режим синхронных компенсаторов.
Реальные расходные характеристики электростанций могут иметь точ-
ки излома. Кроме того, вид этих характеристик зависит от коэффициента
мощности cosφ. Учет точек излома (как и учет ограничений-неравенств)
требует применения численных методов оптимизации, например градиентных методов. Зависимость расходных характеристик от cosφ может быть
учтена только при комплексной оптимизации режима, которая объединяет
оптимизацию распределения активных мощностей между электростанциями и оптимизацию сети по напряжению и реактивной мощности.
В качестве второго частного случая рассмотрим оптимизацию для
возобновляемых источников энергии (кроме гидроэлектростанций) для
режима максимума нагрузок. При расходных характеристиках Bi = P
ген,i
получаем εi = 1. Тогда первые два уравнения системы (6.14) приводят
к условию
(6.16)
что соответствует безусловной минимизации потерь активной мощности
в сети (ограничение-равенство влияет только на мощность базисного узла).
Снижение потерь активной мощности при этих условиях приводит
к сокращению так называемой «строительной стоимости» электроэнергии,
т. е. к снижению затрат на расширение сети и установку новых генераторов, обусловленную ростом нагрузок, включая потери активной мощности.
6.7. ВВОД РЕЖИМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Совокупность технических ограничений-неравенств определяет допустимую область режима электрической системы (табл. 6.3).
При управлении электрическими системами иногда возникает необходимость введения режима в допустимую область без минимизации потерь или расхода топлива.
В ДОПУСТИМУЮ ОБЛАСТЬ
88
Таблица 6.3
Вид ограничения
Формула
Комментарии
По токовым
max
II≤
Ограничение применяется для ге-
По напряжениям
maxmin
UUU ≤≤
Ограничение вводится для всех узПо реактивным
min ку max
Q QQ
≤≤
Для батарей статических конденсаПо нагрузочной
тр доп
SS≤
–
По номерам
отв,min отв отв,max
n nn≤≤
–
По параметрам
–
–
По устойчивости
уст min
kk>
Коэффициенты запаса устойчиво-
По надежности – –
Ограничения-неравенства при оптимизации режимов электрических систем
нагрузкам
элементов сети
мощностям
компенсирующих
нераторов, линий электропередачи,
ошиновки распределительных
устройств и токоограничивающих
реакторов. Для линий
I
max
может
определяться не только нагревом
проводов, но и коммутационными
аппаратами, а также погрешностями трансформаторов тока
лов сети, а также для протяженных
линий электропередачи по всей
длине. Нижний предел
U
приме-
min
няется только для генераторных узлов и узлов нагрузки
торов, статических источников реактивной мощности и шунтирую-
устройств
способности
силовых
трансформаторов
регулировочных
ответвлений силовых трансформаторов и линейных
регуляторов
других регулирующих устройств
щих реакторов величина
Qку приво-
дится к номинальному напряжению
сти k
определяются для пере-
уст
даваемых активных мощностей
и напряжений в узлах нагрузки
89
Как правило, такая задача решается для послеаварийных режимов,
max
ff≤
min
ff≥
(
)
2
пр
Ш
ii
kf f= −
Ш min .
i
⇒
∑
имеющих малую продолжительность и поэтому не оказывающих существенного влияния на годовые потери энергии и расход топлива. При этом
можно уменьшить число управляющих воздействий (по сравнению с полноценной оптимизацией), что способствует увеличению сроков службы
устройств управления режимами и уменьшает вероятность сбоев при
управлении.
Задача ввода режима в допустимую область обычно решается мето-
дом штрафных функций.
Запишем ограничения-неравенства на переменную f следующим
образом:
, (6.17)
. (6.18)
Для каждого из этих ограничений вводится штрафная функция, имеющая следующий вид:
, (6.19)
где fпр – предельное значение переменной, под которым подразумевается
f
max
или f
; ki – коэффициент, представляющий собой некоторое достаточ-
min
но большое положительное число, если соответствующее ограничениенеравенство не выполняется, и равный нулю при выполнении ограничения.
Если режим находится в допустимой области, то все штрафные функции минимальны и равны нулю. Таким образом, ввод режима в допустимую область можно сформулировать как задачу минимизации суммы
штрафных функций:
(6.20)
Поскольку целевая функция составлена из ограничений-неравенств,
то сами эти ограничения в первоначальной форме в задачу не входят.
Ограничением-равенством является система уравнений режима. Необходимость введения этого ограничения обусловлена тем, что в штрафные
90
функции входят не только параметры устройств управления (сами опти-
Ш 0.
i
=
∑
мизируемые переменные), но и параметры режима электрической сети,
которые связаны с оптимизируемыми переменными уравнениями режима.
Очевидно, что при выполнении всех ограничений
Это и есть
минимальное значение целевой функции. Методом множителей Лагранжа
найти минимум в данном случае невозможно, поскольку в допустимой области режима все производные целевой функции равны нулю и не зависят
от оптимизируемых переменных. Задача может быть решена численными,
в частности градиентными, методами. При этом основная математическая
сложность заключается в том, чтобы найти производные целевой функции.
Прямое дифференцирование без специальных приемов в данном случае невозможно, поскольку параметры режима (например, токи), входящие в целевую функцию, зависят от оптимизируемых переменных неявным образом. Наиболее распространенный подход к определению производных при
этих условиях рассмотрен в следующем параграфе.
6.8. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ
ПО НАПРЯЖЕНИЮ И РЕАКТИВНОЙ МОЩНОСТИ
В практике управления электрическими сетями получила широкое
распространение оптимизация режима при заданных активных мощностях
электростанций. Целевой функцией в этой задаче обычно являются потери
активной мощности в сети ΔP, а в качестве оптимизируемых переменных
выступают параметры средств регулирования напряжения и источников
реактивной мощности.
Для режимов активной и реактивной мощности в электрических сис-
темах характерно сравнительно малое взаимное влияние, а режимы напряжения оказывают гораздо большее воздействие на передачу реактивной
мощности, чем на активную мощность. Поэтому оптимальные значения параметров средств регулирования напряжения и источников реактивной
мощности мало зависят от распределения активных мощностей между электростанциями. Это позволяет разделить комплексную оптимизацию режима