Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы расчета и оптимизация режимов электроэнергетических систем. Учебное пособие.pdf
31
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Можно ли метод расчета «по данным конца» использовать для се-
ти, содержащей трехобмоточный трансформатор?
2. Почему система уравнений (3.1) нелинейна?
3. Можно ли заменить распределенную нагрузку линии одной экви-
валентной сосредоточенной нагрузкой таким образом, чтобы потери
напряжения и мощности остались неизменными?
4. В какой точке линии должна быть включена сосредоточенная
нагрузка, равная суммарной распределенной нагрузке, чтобы потери активной мощности остались такими же, как при распределенной нагрузке?
5. Пусть вдоль всей линии включены потребители одинаковой мощ-
ности на одинаковых расстояниях друг от друга. В каком случае расчет
линии с равномерно распределенной нагрузкой даст наибольшую погрешность – при числе потребителей, равном 10, или при числе потребителей,
равном 20?
32
4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ РЕЖИМА
[ ]
[
] [
]
[ ]
( )
1
12
f , ,...,
pp
pp
ii n
x xx x
+
=
[
]
[ ]
[ ]
[
] [ ]
( )
11
1
11
f ,..., , ,...,
pp
p pp
i i ii n
x x xx x
++
+
−
=
4.1.
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Все методы решения уравнений и их систем можно разделить на аналитические и численные.
При аналитических (прямых) методах искомые значения переменных
определяются как явные функции известных параметров уравнений.
Например, если уравнения режима электрической сети (2.19) линейны
(известны значения узловых токов), то их аналитическим решением является выражение (2.21).
Численными (итерационными) методами решения алгебраических
и трансцендентных уравнений называются различные методы последова-
тельных приближений. При этом расчет производится на основе рекуррентных соотношений вида
(4.1)
или
, (4.2)
где p – номер итерации (приближения); n – общее число неизвестных;
fi – функции, вид которых зависит от решаемых уравнений и/или исполь-
зуемого численного метода.
Решение систем линейных алгебраических уравнений может осуществляться как аналитическими, так и численными методами. Нелинейные уравнения и их системы решаются, как правило, численными методами; аналитическое решение существует лишь в частных случаях (например, для квадратных уравнений).
Одним из численных методов расчета режима электрической сети является метод обратной матрицы, рассмотренный в разделе 2.4. При этом
роль рекуррентной формулы играет выражение (2.22), представляющее
собой частный случай формулы (4.1).
33
Кроме метода обратной матрицы, для расчета режима электрических
[ ] [ ] [ ]
[ ]
*
1
11
*
1 11
1
i nk
p pp
i
i j ij j ij j ij
p
j ji jn
ii
i
S
U U Y U Y UY
Y
U
−
++
= =+=+
= + +−
∑ ∑∑
[ ]
0
д номi
UU=
[ ]
0
м
0
i
U =
сетей используются следующие численные методы:
– метод Зейделя;
– метод Ньютона и его модификации.
Применение того или иного метода определяется топологией и элек-
трическими параметрами сети.
4.2. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ
Данный метод основан на использовании выражения (4.2). Рекур-
рентные соотношения получаются путем простого преобразования исходных уравнений. Оно производится таким образом, чтобы в левой части
каждого уравнения осталась только неизвестная, соответствующая номеру
уравнения в системе.
При решении методом Зейделя можно использовать как комплексную, так и действительную форму записи уравнений режима электрических сетей. Рекуррентные соотношения (в комплексной форме баланса токов) легко получаются из уравнений (2.4) и имеют следующий вид:
. (4.3)
Здесь предполагается, что узлы, балансирующие по реактивной мощности, отсутствуют. При наличии таких узлов необходимо использовать
действительную форму записи уравнений.
Алгоритм решения
1. Задаются нулевые приближения действительных Uд и мнимых Uм
составляющих искомых напряжений. Обычно принимают
.
2. Последовательно (в порядке нумерации уравнений) вычисляются
[p+1]-е приближения напряжений по формуле (4.3).
,
34
3. Для всех искомых напряжений проверяются условия (2.23) (как
[ ] [ ]
1pp
ii i
U U tU
+
= +∆
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
*
1
1
*
1 11
1
i nk
pp p
i
i j ij j ij j ij i
p
j ji jn
ii
i
S
U U Y U Y UY U
Y
U
−
+
= =+=+
∆= + + − −
∑ ∑∑
в методе обратной матрицы). Если эти условия выполнились для всех узлов, то расчет заканчивается, и решением является последнее приближение напряжений. Если хотя бы для одного узла не выполнилось хотя бы
одно из условий, то производится возврат к пункту 2.
В рассмотренном виде метод Зейделя применительно к расчету режи-
мов электрических сетей обладает медленной сходимостью (т. е. решение
уравнений происходит с большим числом итераций). Для частичного
устранения этого недостатка применяется ускоренный метод Зейделя. Он
отличается от рассмотренного метода тем, что в рекуррентную формулу
вводится специальный ускоряющий коэффициент t:
, (4.4)
где
. (4.5)
Поиск коэффициента t представляет собой дополнительную процеду-
ру в алгоритме решения уравнений. В общем случае 0 < t ≤ 2.
Ускоренный метод Зейделя обладает приемлемой сходимостью и по-
этому применяется на практике. Основным его достоинством является
простота алгоритма. Однако при расчете режимов неоднородных сетей
и режимов, близких к пределу по статической устойчивости, сходимость
метода ухудшается. Кроме того, сходимость замедляется также при увеличении числа узлов.
4.3. МЕТОД НЬЮТОНА
Итерационный метод Ньютона предназначен для решения систем не-
линейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Он основан на
линеаризации уравнений путем их разложения в ряд Тейлора с учетом
только первых производных.
35
В общем случае систему алгебраических или трансцендентных урав-
(
)
( )
( )
112
2 12
12
W , , , 0,
W , , , 0,
............................,
W , , , 0,
n
n
nn
xx x
xx x
xx x
=
=
=
[ ]
1
[ ]
p
x
2
[ ]
p
n
x
1
W
W0
n
i
ij
j
j
x
x
=
∂
+ ∆=
∑
∂
0ΔX
dX
dW
W =⋅+
[ ]
p
iii
xxx∆= −
dW
dX
11 1
12
22 2
12
12
WW W
...
WW W
...
... ... ... ...
WW W
...
n
n
nn n
n
xx x
xx x
xx x
∂∂ ∂
∂∂ ∂
∂∂ ∂
∂∂ ∂
=
∂∂ ∂
∂∂ ∂
dW
dX
нений с неизвестными x1, x2, …, xn можно записать следующим образом:
(4.6)
где W1, W2, …, Wn – функции переменных x1, x2, …, xn, определяющие вид
уравнений.
Линеаризуем каждое уравнение системы путем разложения в ряд
Тейлора в окрестностях p-го приближения переменных
p
,
x
, …,
:
(4.7)
или в матричной форме
. (4.8)
Здесь W – вектор-столбец значений Wi; ΔX – вектор-столбец невязок
переменных
, компоненты которого являются неизвестными
в системе (4.8); 0 – вектор-столбец, все элементы которого равны нулю;
– матрица Якоби, которая имеет следующую структуру:
.
36
Все элементы матриц W и
dX
dW
[ ] [ ]
1pp
i ii
x xx
+
= +∆
Wi<ε
[ ]
0
д номi
UU=
[ ]
0
м
0
i
U =
вычисляются при p-м приближении
переменных.
В результате решения системы (4.8) на каждом шаге итерационного
процесса определяются значения невязок переменных. Рекуррентная формула и условие сходимости метода Ньютона имеют вид
, (4.9)
, (4.10)
где ε – заданная точность решения.
Сравнение переменных на текущей и предыдущей итерациях в методе
Ньютона обычно не производится, так как при прохождении области
с большими производными это может привести к неверным результатам.
4.4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РЕЖИМА МЕТОДОМ НЬЮТОНА
При решении уравнений режимов электрических сетей методом Нью-
тона необходимо использовать действительную форму записи. Для уравнений в комплексной форме метод Ньютона неприменим, так как производная комплексной переменной по сопряженному комплексу той же переменной не существует.
Рассмотрим применение метода Ньютона для уравнений узловых
напряжений в действительной форме баланса мощностей в декартовой системе координат.
Алгоритм решения
1. Задается начальное приближение действительных и мнимых со-
ставляющих напряжений. Обычно принимается
,
.
37
2. Вычисляются значения функций Wi при данном приближении пе-
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
[ ] [ ]
( )
( )
[ ] [ ] [ ]
( )
( )
22
дм
д м дм
11
м д м дм
11
W
, 1... ;
pp
i i i ii
mk
p
pp
дi j ij j ij j ij j ij
j jm
ji
mk
p pp
i j ij j ij j ij j ij i
j jm
ji
U Ug
U UgUb UgUb
U UbUg UbUg Pi n
= = +
≠
= = +
≠
=+−
− ++ ++
∑∑
+ − + − +=
∑∑
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ] [ ] [ ]
( )
( )
[ ] [ ] [ ]
( )
( )
22
дм
д д м дм
11
м д м дм
11
W
, 1... ;
pp
i n i i ii
mk
p pp
i j ij j ij j ij j ij
j jm
ji
mk
p pp
i j ij j ij j ij j ij i
j jm
ji
U Ub
U UbUg UbUg
U UgUb UgUb Qi n
+
= = +
≠
= = +
≠
=+−
− −+ − −
∑∑
− + + + +=
∑∑
[ ] [ ] [ ]
( )
( )
[ ] [ ] [ ]
( )
( )
( )
2
д д м дм
11
м д м дм
11
W
, 1 ... ;
mk
p pp
i n i ii i j ij j ij j ij j ij
j jm
ji
mk
p pp
i j ij j ij j ij j ij i
j jm
ji
UgU UgUb UgUb
U UbUg UbUg Pi n m
+
= = +
≠
= = +
≠
=− ++ + +
∑∑
+ − + − +=+
∑∑
[ ]
( )
[ ]
( )
( )
22
2
дм
W , 1 ... .
pp
im i i i
U U U in m
+
= + −=+
ременных. В соответствии с уравнениями (2.10)–(2.13) получим:
(4.11)
нились для всех узлов, то расчет заканчивается, и решением является по-
3. Проверяются условия сходимости (4.10). Если эти условия выпол-
(4.14)
(4.12)
(4.13)
38
следнее приближение переменных. Если условие (4.10) не выполнилось
( )
д
,
м,
W
, 1 2, 1 ,
W
, 1 2, 1 2.
i
j
ij
i
jm
i mj m
U
a
i mj m m
U
−
∂
= =
∂
=
∂
= = +
∂
[ ]
[ ] [ ]
( )
( )
[ ]
1
д1 1,1 д м
2
д1
1
дм
1
д1
W
2
.
m
p
pp
j ij j ij
j
p
k
j ij j ij
jm
Ug Ug Ub
U
P
Ug Ub
U
=
= +
∂
= − +−
∑
∂
∂
− ++
∑
∂
[ ] [ ]
1
дд
, 1,
pp
i ii
U U xi m
+
= +∆ =
[ ] [ ]
1
мм
, 1.
pp
i i im
U U xim
+
+
= +∆ =
хотя бы для одного узла, то осуществляется переход к пункту 4.
4. Вычисляются элементы матрицы Якоби a
при данном приближе-
i,j
нии переменных:
(4.15)
Например, производная функции W1 по напряжению Uд1 равна
(4.16)
В этой формуле учтено, что активная мощность может быть функцией
напряжения.
5. Составляется и решается линейная система (4.8), которая имеет
размерность 2m. Обычно для ее решения используется метод Гаусса.
6. Определяется (p+1)-е приближение переменных:
7. Осуществляется возврат к пункту 2.
Метод Ньютона имеет в среднем лучшую сходимость, чем метод Зей-
деля. Однако алгоритм расчета по методу Ньютона более сложный, и каждая итерация включает в себя большее количество вычислений.
39
В целом метод Ньютона и метод Зейделя конкурентоспособны. Но воз-
[ ] [ ]
1
дд
, 1,
pp
i ii
U U tx i m
+
= +∆ =
[
] [ ]
1
мм
, 1.
pp
i i im
U U tx i m
+
+
= +∆ =
2
1 11
WW
1
W 0.
2
n nn
ii
i j jk
j jk
j jk
x xx
x xx
= = =
∂∂
+ ∆ + ∆∆ =
∑ ∑∑
∂ ∂∂
можности расчета режимов электрических сетей методом Ньютона шире,
чем методом Зейделя. Кроме того, сходимость метода Ньютона не ухудшается при увеличении размерности системы, в отличие от метода Зейделя.
Поэтому метод Ньютона получил большее распространение.
4.5. МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА НЬЮТОНА
При расчете режимов, близких к пределу по статической устойчивости, а также режимов резко неоднородных сетей сходимость метода Ньютона ухудшается. Для расчета таких режимов используются модификации
метода Ньютона: методы по параметру и методы второго порядка. Эти методы обладают улучшенной сходимостью: число итераций ниже, чем
в стандартном методе Ньютона, но количество вычислительных операций
внутри одной итерации выше.
Методы Ньютона по параметру по своей идее аналогичны ускоренному методу Зейделя. В рекуррентные формулы также вводится параметр t:
Для каждого шага итерационного процесса существует оптимальное
значение t, которое обеспечивает наиболее быструю сходимость. Повышение объема вычислений на одной итерации связано с поиском этого
значения. В общем случае t ≤ 1.
Методы Ньютона второго порядка учитывают не только линейные,
но и квадратичные члены разложения в ряд Тейлора (вторые производные). Разложение i-го уравнения системы (4.6) примет следующий вид:
(4.17)
40
Учет вторых производных значительно улучшает сходимость метода.
2
W
i
jk
xx
∂
∂∂
3
n
Однако система, составленная из уравнений (4.17), сама по себе является
нелинейной. Методы Ньютона второго порядка предусматривают не точное, а приближенное решение этой системы на каждом шаге итерационного процесса. Оно может осуществляться различными способами, и по объему вычислений приблизительно соответствует решению двух систем линейных уравнений той же размерности.
Вторые производные вида
размерностью
, которая может содержать очень большое число элемен-
образуют кубическую матрицу
тов. Необходимость расчета этих производных приводит к лавинообразному росту вычислительных операций при увеличении размерности системы уравнений.
Если методы Ньютона второго порядка используются для решения
уравнений режима в форме баланса мощностей в декартовой системе координат, то эти уравнения сами по себе являются квадратичными. Поэтому все вторые производные представляют собой постоянные величины, и их достаточно вычислить только на первой итерации.
Необходимо заметить, что разложение квадратичных уравнений в ряд
Тейлора с учетом первых и вторых производных по сути представляет собой простое алгебраическое преобразование. При этом уравнения остаются идентичными исходным, происходит лишь замена переменных (неизвестных) на их невязки. В результате схема вычислений сводится к итерационному решению системы квадратичных уравнений специальными методами, ориентированными именно на квадратичные уравнения.
В настоящее время среди модификаций метода Ньютона наибольшее
распространение получили методы по параметру. Эти методы показали
достаточно хорошую сходимость. В то же время число вычислительных
операций в пределах одной итерации в методах по параметру значительно
меньше, чем в методах второго порядка, особенно при больших размерностях системы уравнений.