Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы расчета и оптимизация режимов электроэнергетических систем. Учебное пособие.pdf
41
4.6. ВЫБОР ШАГА (ПАРАМЕТРА) ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
( )
2
12
1
W , , , 0.
n
in
i
xx x==
∑
( )
2
12
1
F W ,,,
n
in
i
xx x
=
=
∑
( )
( )
2
12
1
F W , , , min.
n
in
i
t xx x
=
= ⇒
∑
Систему уравнений (4.6) можно записать в следующей форме:
(4.18)
При произвольных значениях переменных (не соответствующих решению исходной системы уравнений) левая часть (4.18) будет положительной. Очевидно, что чем она меньше, тем ближе значения переменных
к решению. Поэтому в процессе решения уравнений итерационными ме-
тодами значение функции
должно уменьшаться.
В ускоренном методе Зейделя и в методе Ньютона по параметру шаг метода выбирается таким образом, чтобы это уменьшение было максимально быстрым. Иными словами, шаг метода t на каждой итерации находится
по условию
(4.19)
Минимизация функции (4.19) относится к классу задач одномерной
оптимизации. Она может быть решена несколькими численными метода-
ми. Рассмотрим метод золотого сечения, получивший наибольшее рас-
пространение в силу своей простоты и эффективности.
Зададим интервал от a до b, в пределах которого может находиться
шаг метода. Обычно принимают для метода Зейделя a = 0, b = 2, а для метода Ньютона a = 0 , b = 1. Очевидно, что при t = 0 следующее приближение переменных будет равно предыдущему, т. е. итерация фактически не
делается, а значение функции F(t) будет таким же, как на предшествующей итерации. Значение t = 1 соответствует стандартным методам Ньюто-
на и Зейделя.
Золотым сечением называется такое деление отрезка, при котором
отношение длины всего отрезка к длине его большей части равно отноше-
42
нию длины большей части к длине меньшей части. Это деление можно
1
11
bt
ba
bt t a
−
−
=
−−
2
22
ta
ba
t a bt
−
−
=
−−
2
11
3 1 0,tt− +=
2
22
1 0.tt+ −=
12
3 5 51
,
22
tt
−−
= =
( )
1
35
,
2
t a ba
−
=+−
( )
2
51
.
2
t a ba
−
=+−
.ba− ≤ε
осуществить двумя способами: в точке t1, расположенной ближе к началу
отрезка a, чем к концу b, и в точке t2, расположенной ближе к b, чем к a.
В соответствии с определением золотого сечения можно записать следующие пропорции:
, (4.20)
. (4.21)
При условии, что a = 0, а b = 1, пропорции (4.20) и (4.21) преобразу-
ются к уравнениям
(4.22)
(4.23)
Отбросив посторонние корни, не попадающие в пределы отрезка, по-
лучим
. При произвольных границах отрезка фор-
мулы для точек разделения примут следующий вид:
(4.24)
(4.25)
Алгоритм поиска минимума функции F(t) представляет собой после-
довательное деление исходного отрезка до тех пор, пока его длина не станет меньше заданной точности расчета ε. Это соответствует выполнению
условия
(4.26)
43
Те части отрезка, на которых заведомо не может быть минимума,
.
2
ab
t+=
в процессе деления отбрасываются. Переход от предыдущего отрезка к следующему осуществляется по определенным правилам.
1. Если F(t1) < F(t2), то очевидно, что минимум не может находиться на
участке от t2 до b. Таким образом, этот участок отбрасывается. Для нового
отрезка принимается b = t2, а левая граница a остается прежней. В силу
свойств золотого сечения точка t1 предыдущего отрезка становится точкой t2 нового отрезка. Поэтому следует принять t2 = t1 и F(t2) = F(t1). Заново
нужно рассчитать только одну точку нового отрезка – точку t1. В этом и заключается главное преимущество золотого сечения: при любых других
способах деления отрезка необходимо вычислять обе новые точки.
2. Если F(t1) > F(t2), то отбрасывается участок от a до t1. Для нового
отрезка принимается a = t1, а правая граница b остается прежней. Точка t2
предыдущего отрезка становится точкой t1 нового отрезка. Поэтому принимают t1 = t2 и F(t1) = F(t2), а точку t2 рассчитывают заново.
3. Если F(t1) = F(t2), то минимум находится между точками t1 и t2. По-
этому можно было бы принять a = t1 и b = t2, отбросив как правую, так
и левую части предыдущего отрезка. Однако на практике равенство функций F(t1) и F(t2) маловероятно. Поэтому для упрощения алгоритма его
обычно учитывают в правилах № 1 или № 2, заменяя знак «<» на «≤» или
знак «>» на «≥».
Окончательно значение шага метода вычисляется после выполнения
условия (4.26) по формуле
(4.27)
Деление на 2 здесь не обязательно, поскольку заданной точности рас-
чета удовлетворяет не только середина оставшегося отрезка, но и любая
другая его точка.
44
4.7. УЧЕТ СЛАБОЙ ЗАПОЛНЕННОСТИ МАТРИЦЫ
ИП
1
2
3
4
5
6
7
8
9
УЗЛОВЫХ ПРОВОДИМОСТЕЙ
Одним из топологических свойств электрических сетей является сла-
бая заполненность (разреженность) матрицы узловых проводимостей.
Каждый узел сети соединяется лишь с небольшим числом других узлов,
и, таким образом, значительная часть взаимных проводимостей равна нулю. При этом чем больше узлов содержит сеть, тем менее заполненной является матрица узловых проводимостей.
Правильный учет данного свойства при расчетах режимов позволяет
существенно уменьшить объем вычислений и используемой памяти ЭВМ.
Существуют различные способы учета разреженности матрицы узловых
проводимостей. Достаточно простым и в то же время эффективным способом является приведение матрицы к ленточному типу путем изменения
нумерации узлов. Оно осуществляется по определенным правилам.
1. Выбирается узел с наименьшей степенью (степенью называется
число ветвей, сходящихся в данном узле) или один из таких узлов, если их
несколько. Этому узлу присваивается номер 1.
2. Нумеруются узлы, смежные с узлом 1, в порядке возрастания их
степеней.
3. То же самое производится для остальных пронумерованных узлов
в порядке возрастания их номеров.
В качестве примера на рис. 4.1 приведена схема сети, узлы которой
пронумерованы по данным правилам.
Рис. 4.1. Пример нумерации узлов
(стрелками обозначены электрические нагрузки потребителей)
45
Построена также матрица соединений узлов сети S. Если узлы, соот-
=
1
010000
00
011000000
111010000
000110000
001110100
000001100
000011110
000000111
000000011
S
*
2
1
22
**
1,2
2
11
2 1 1 12 1
1 1,2 1,2
4
0.
2
S
UU
Y
SS
U U U UU U
UY Y
±−
=+ ⇒ − + =⇒=
ветствующие номерам строки и столбца, соединены друг с другом, то
данный элемент матрицы равен 1. В противном случае соответствующий
элемент равен 0. Элементы главной диагонали равны 1.
Матрица соединений имеет то же расположение нулевых элементов,
что и матрица узловых проводимостей. Видно, что полученная матрица
относится к ленточному типу.
4.8. СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ РЕЖИМА
Вернемся к формуле (3.2). Она позволяет рассчитать напряжение
в начале линии через напряжение в ее конце. Однако это уравнение можно
использовать и для нахождения напряжения в конце линии (штрихи
у напряжений опущены):
Хотя полученная формула представляет собой выражение для модуля
напряжения U1, правая часть содержит еще одну неизвестную – фазу δ2
(4.28)
46
напряжения
2
U
*
2
1
22
1,2
Im 4 0.
S
UU
Y
±− =
( )
( )
*
1
1 1 1,2 1,2 1 1,2 1 1, 2
1,2
Im Im 0,
S
P jQ R jX P X Q R
Y
= − + =−=
1,2
1
1 1,2
.
X
Q
PR
=
. Это объясняется тем, что фаза напряжения U1 принята
равной нулю. Поскольку результат расчета по последней формуле (4.28)
может быть только действительным числом, мнимая часть числителя
должна быть равна нулю. Это равенство и представляет собой уравнение
для нахождения δ2:
(4.29)
Если уравнение (4.29) имеет решение, то формула (4.28) дает два воз-
можных значения напряжения U1 при одном и том же напряжении U2
и мощности нагрузки. Это значит, что сеть может работать в двух режимах.
Наличие нескольких (в данном случае двух) решений уравнений ре-
жима обусловлено нелинейностью уравнений. Можно показать, что решение, соответствующее знаку «+» перед корнем, является статически
устойчивым, а второе решение – неустойчивым.
Однако уравнение (4.29) не всегда имеет решение. В качестве приме-
ра рассмотрим случай, когда подкоренное выражение в этом уравнении
представляет собой действительное число. Из (4.29) следует, что при этом
δ2 = 0 и
т. е. должно выполниться условие
(4.30)
В последних двух выражениях осуществлен переход от проводимо-
стей к сопротивлениям с сохранением подстрочных индексов.
47
При выполнении условия (4.30) подкоренное выражение (дискрими-
( )
( )
2 22
2 1 1,2 1 1,2 2 1 1,2
4 4 1 tg ,D U PR Q X U PR=− + =− +ϕ
1
1
tg
Q
P
ϕ=
Рис. 4.2. Апериодическая сходимость
Рис. 4.3. Колебательная сходимость
нант) в (4.28) примет вид
(4.31)
где
.
При D = 0 устойчивое и неустойчивое решения совпадают (уравне-
ние (4.28) имеет единственное решение). Такой режим называется
предельным по статической устойчивости.
Если D < 0, то уравнение (4.28) не имеет решений, и установившегося
режима не существует. Из (4.31) видно, что выходу режима за пределы существования способствует понижение напряжения источника питания, повышение передаваемой мощности и большие сопротивления элементов сети.
4.9. СХОДИМОСТЬ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Сходимостью итерационного процесса решения уравнений называет-
ся его способность приходить к решению. В противном случае говорят,
что процесс расходится.
По характеру приближения значений переменных к решению разли-
чают апериодическую и колебательную сходимости (рис. 4.2, 4.3).
(x – переменная; x0 – решение)
48
Расходимость также может иметь апериодический (рис. 4.4) и колеба-
Рис. 4.4. Апериодическая расходимость
Рис. 4.5. «Зацикливание»
тельный характер. В некоторых случаях наблюдается «зацикливание»
итерационного процесса, когда через определенное число итераций значения переменных начинают повторяться, не сходясь к решению (рис. 4.5).
итерационного процесса
Применительно к одной и той же задаче разные численные методы
будут иметь различную сходимость. В то же время в рамках одного численного метода сходимость итерационного процесса зависит от вида и количества решаемых уравнений, числовых значений их коэффициентов,
а также от начального приближения переменных.
4.10. УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ ЗЕЙДЕЛЯ
И ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
Метод Зейделя можно рассматривать как усовершенствованную модификацию метода простой итерации. Различие между ними заключается в том, что в методе Зейделя используется рекуррентная формула (4.2),
а в методе простой итерации – формула (4.1). Нетрудно видеть, что рассмотренный выше итерационный метод обратной матрицы представляет
собой один из вариантов метода простой итерации.
Методы Зейделя и простой итерации во многом сходны, а в случае
одной переменной различия между ними полностью исчезают.
Сначала рассмотрим условия сходимости метода простой итерации для
линейной задачи с одной неизвестной (этот случай является самым простым
49
из всех возможных). Рекуррентная формула имеет вид x
Рис. 4.6. Апериодическая сходимость
Рис. 4.7. Апериодическая расходимость
Рис. 4.8. Колебательная сходимость
Рис. 4.9. «Зацикливание»
[p+1]
= f(x
[p]
). Графи-
ческая интерпретация различных случаев решения этой задачи показана на
рис. 4.6–4.9.
метода простой итерации
метода простой итерации
метода простой итерации
метода простой итерации
Ход итерационного процесса показан на рисунках штриховой лома-
ной линией, состоящей из горизонтальных и вертикальных участков. Решение, как и прежде, находится в точке x0.
Из сравнения рис. 4.6 и 4.7 видно, что итерационный процесс сходит-
ся, если наклон функции f(x) меньше наклона прямой y = x. Рисунки 4.8
50
и 4.9 показывают, что этот же вывод справедлив не только для положи-
df
1
d x
<
8765432
1 71 61 51 41 31 21 11 0
0.U BU BU BU BU BU BU BU B++++++++=
тельного, но и для отрицательного наклона функции f(x). Таким образом,
критерий сходимости метода простой итерации при решении уравнения
с одним неизвестным можно записать в виде
. (4.32)
Данный критерий справедлив не только для линейных, но и для нелинейных задач. Однако следует учитывать, что производная нелинейной
функции меняется при изменении x. Поэтому критерий (4.32) записывается для конкретного интервала значений переменной a ≤ x ≤ b.
В качестве примера нелинейной задачи рассмотрим магистральную
сеть с тремя линиями, схема замещения которой показана на рис. 4.10.
Сопротивления линий и мощности нагрузок для простоты будем считать
чисто активными. Это соответствует сети постоянного тока или может
приближенно соответствовать кабельной сети переменного тока. Нагрузки
заданы постоянной мощностью.
Рис. 4.10. Магистральная сеть с активными нагрузками
и сопротивлениями
Режим данной сети описывается тремя квадратичными уравнениями
вида (2.5). Их можно свести к одному уравнению восьмой степени:
(4.33)