Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы расчета и оптимизация режимов электроэнергетических систем. Учебное пособие.pdf
11
Из формулы (1.7) видно, что передаваемая активная мощность связа-
( )
2
ном 2 1 0
P P ak ak a= ++
( )
2
ном 2 1 0
Q Q bk bk b
= ++
ном
/k UU=
ном
U
ном
P
ном
Q
210
1aaa++ =
1
0
12
=
++ bb
b
( )
( )
* **
ij ij ij i j i j ij
S S S U U U UY
′′ ′
∆= − = − −
на прежде всего с углом нагрузки. Действительно, в большинстве случаев
δ << 90°. Тогда sinδ ≈ δ, и его значение может увеличиваться и умень-
шаться во много раз. В то же время модули напряжения и ЭДС при нормальных условиях могут изменяться максимум на несколько процентов.
При этих же условиях cosδ близок в единице и изменяется незначи-
тельно (еще меньше, чем модуль напряжения). Однако числитель в формуле (1.8) представляет собой разность двух близких величин. Поэтому
даже небольшое изменение одной из них оказывает значительное влияние
на реактивную мощность. Таким образом, реактивная мощность связана
главным образом с модулями напряжения и ЭДС.
5. Мощности потребителей (электрические нагрузки). В установившихся режимах эти мощности зависят от модуля напряжения в узле
нагрузки в соответствии со статическими характеристиками по напря-
жению P = f(U), Q = g(U) (при допущении, что частота постоянна).
Статические характеристики по напряжению удобно аппроксимиро-
вать в форме параболы:
, (1.9)
, (1.10)
где
;
– номинальное напряжение;
и
– мощно-
сти, потребляемые при номинальном напряжении; a1, a2, a0, b1, b2, b0 – коэффициенты аппроксимации, причем
,
.
При упрощенных расчетах электрические нагрузки часто задаются
в форме Р = const, Q = const.
6. Потери мощности в элементах сети. В трехфазной сети в симметричном и синусоидальном режимах для ветви с комплексным сопротивлением Zij (рис. 1.1) потери полной мощности, приходящиеся на три фазы,
могут быть определены следующим способом:
. (1.11)
12
Раскроем скобки, обозначив фазы напряжения как δi и δj:
( ) ( )
δδ δ δ
22
i j ji
jj
i j ij
ij
ij ij
U U UU e e
S
R jX
−−
+− +
∆= =
−
( )
22
2 cos δδ
i j ij i j
ij ij
U U UU
R jX
+− −
=
−
( )
22
22
2 cos
i j ij i j
ij ij
ij ij
U U UU
PR
RX
+ − δ −δ
∆=
+
( )
22
22
2 cos
i j ij i j
ij ij
ij ij
U U UU
QX
RX
+ − δ −δ
∆=
+
. (1.12)
Отсюда нетрудно получить формулы для потерь мощности в действи-
тельных числах:
, (1.13)
. (1.14)
Видно, что влияние модулей и фаз напряжения на потери активной
мощности идентично влиянию модулей и фаз напряжения на потери реактивной мощности (в отличие, например, от мощностей генераторов).
При этом увеличению потерь мощности соответствует повышение как
разности модулей, так и разности фаз напряжений в узлах.
7. Частота тока f. Значение частоты определяется балансом активной
мощности в системе. За счет жесткого регулирования активной мощности
генераторов баланс мощности всегда поддерживается таким, чтобы частота была почти в точности равна номинальной. Поэтому при расчете нормальных режимов принимается f = 50 Гц (в ЕЭС России). При этом расчетная схема замещения сети должна включать в себя минимум один базисный узел (источник бесконечной мощности), активная мощность которого «подстраивается» под режим, обеспечивая расчетное выполнение баланса мощности при номинальной частоте.
13
Среди рассмотренных параметров режима главными (базовыми)
параметрами являются напряжения в узлах схемы замещения электрической сети.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое режим системы?
2. Охарактеризуйте нормальные, аварийные, послеаварийные и ре-
монтные режимы электрических систем.
3. В чем различие между послеаварийными и ремонтными ре-
жимами?
4. Перечислите особые режимы электрических систем.
5. Какие напряжения используются в качестве параметров симмет-
ричных синусоидальных режимов?
6. Можно ли вместо напряжений в качестве параметров режима ис-
пользовать токи в ветвях?
7. В формулах (1.3) и (1.4) передаваемые мощности выражены через
напряжения без использования токов. Можно ли выразить эти мощности
через ток в ветви без использования напряжений?
8. Чему равна активная мощность генератора при нулевом сдвиге фаз
между ЭДС и напряжением генератора?
9. Чему равны коэффициенты аппроксимации статических характе-
ристик нагрузок по напряжению, если нагрузки заданы постоянной активной и реактивной мощностью?
14
2. УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ
12
, , ...,
k
UU U
ij
I
1
0.
k
ij
j
ji
I
=
≠
=
∑
( )
1
0.
k
i j ij
j
ji
U UY
=
≠
−=
∑
11
0.
kk
i ij j ij
jj
ji ji
U Y UY
= =
≠≠
−=
∑∑
.
i
S
*
*
.
3
i
i
i
S
IU=
2.1.
КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА
Пусть схема замещения электрической сети содержит k узлов с напряжениями
. Узлы попарно соединяются ветвями с проводимо-
стями Yij (рис. 1.1). Эти проводимости называются взаимными. Ток в ветви, направленный от узла i к узлу j, обозначим
. Если данная пара узлов
не имеет непосредственной связи, то Yij = 0 и Iij = 0.
Первый закон Кирхгофа для узла i имеет вид
(2.1)
Подставим (1.2) в (2.1), умножив все выражение на корень из трех:
(2.2)
Раскроем скобки:
(2.3)
В электрической сети условная земля представляет собой узел с нулевым напряжением. В общую нумерацию этот узел не включается, так как
он не входит во вторую сумму в формуле (2.3). Однако взаимная проводимость между узлом i и условной землей должна быть прибавлена
к сумме проводимостей в первом слагаемом. По смыслу это проводимость
поперечной ветви.
В узле i может быть включена электрическая нагрузка мощностью
Она представляет собой дополнительную ветвь с током
15
Учитывая этот ток как дополнительное слагаемое, окончательно получим
*
*
1
0
k
i
i ii j ij
j
i
ji
S
UY UY
U
=
≠
− +=
∑
уравнение
. (2.4)
Выражение (2.4) представляет собой уравнение узловых напряжений
в комплексной форме баланса токов. Здесь Yii – собственная проводимость
i-го узла, равная сумме проводимостей ветвей, сходящихся в этом узле.
Система уравнений узловых напряжений представляет собой мате-
матическую модель сети в установившемся режиме. Расчет режима на
ЭВМ заключается в решении системы уравнений относительно напряже-
ний. Уравнения узловых напряжений могут быть записаны как в виде (2.4), так и в других формах. При этом сеть должна содержать хотя бы
один узел, в котором заданы модуль и фаза напряжения. Такой узел называется базисным. Для базисных узлов уравнения узловых напряжений не
составляются.
Сеть также может содержать узлы, в которых заданы только модули
напряжений, а фазы являются неизвестными. Такие узлы называются
балансирующими по реактивной мощности и соответствуют мощным
синхронным машинам, в частности генераторам.
Разные типы узлов характеризуются разными способами задания
мощности условного потребителя, включенного в узле (последнее слагаемое в уравнении (2.4)). В узлах с неизвестными напряжениями задается
активная и реактивная мощности реального потребителя. Если потребитель отсутствует, то мощность принимается равной нулю.
В узлах, балансирующих по реактивной мощности, задается только
активная мощность. Если это генераторный узел, то активная мощность
отрицательна.
В базисных узлах мощность не задается.
В дальнейшем будем использовать следующую нумерацию узлов:
узлы 1…n – с неизвестными напряжениями; узлы (n+1)…m – балансирующие по реактивной мощности; узлы (m+1)…k – базисные.
16
Умножим уравнение типа (2.4) на сопряженный комплекс напряже-
*
i
U
2* *
1
0
k
i ii i j ij i
j
ji
UY U UY S
=
≠
− +=
∑
дм
ii i
U U jU= +
ij
ijij
jbgY −=
iii
jQPS −=
*
дi
U
мi
U
ния i-го узла
:
. (2.5)
Полученное уравнение представляет собой уравнение узловых
напряжений в комплексной форме баланса мощностей. На практике ис-
пользуются уравнения как в форме баланса токов, так и в форме баланса
мощностей.
2.2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ФОРМА
В большинстве случаев при расчете режимов электрических сетей
вместо комплексной формы используется действительная форма записи
уравнений. Она получается путем разложения уравнений в комплексной
форме на действительную и мнимую части. При этом комплексы напряжений могут быть представлены в алгебраической (декартова система координат) или в тригонометрической (полярная система координат) форме.
Запишем уравнения в декартовой системе координат. Введем следу-
ющие обозначения:
, (2.6)
, (2.7)
, (2.8)
где
,
– действительная и мнимая составляющие напряжения i-го
узла; gij, bij – действительная и взятая с обратным знаком мнимая составляющие проводимости Yij; Pi, Qi – активная и реактивная мощности, потребляемые в i-м узле.
17
Подставим (2.6), (2.7) и (2.8) в (2.5):
( )
( )
( )
( )( )
22
дм д м д м
1
k
i i ii ii i i j j ij ij
j
ji
U U g jb U jU U jU g jb
=
≠
+ −−− + −+
∑
0
ii
P jQ
+− =
( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
(
) (
)
(
) ( )
( )
д мд м
дд мм дм мд
дд мм дм мд
дм мд дд мм
дд м м м
дд м м
i i j j ij ij
i j i j i j i j ij ij
i j i j ij i j i j ij
i j i j ij i j i j ij
i j ij j ij i дj ij j ij
i j ij j ij i
U jU U jU g jb
UU UU jUU UU g jb
UU UU g UU UU b
j UU UU g UU UU b
U Ug Ub U Ub U g
jU U b U g U U
− + −=
= + + − −=
=+ +− +
+ − −+ =
= +− −−
− −+
(
)
дм
.
j ij j ij
g Ub
+
( )
( ) ( )
22
дм д д м м д м
11
0,
kk
i i ii i j ij j ij i j ij j ij i
jj
ji ji
U U g U Ug Ub U Ub Ug P
= =
≠≠
+ − + + − +=
∑∑
1... ,in
=
. (2.9)
Раскроем тройное произведение скобок, входящее в уравнение (2.9):
Подстановка полученного выражения в (2.9) позволяет легко разделить действительную и мнимую части уравнения, в результате чего получаются уравнения (2.10) и (2.11). Неизвестными в системе уравнений будут действительные и мнимые составляющие напряжений всех узлов, за
исключением базисных: Uд1, …, Uдm, Uм1, …, Uмm. Таким образом, общее
число уравнений в системе должно быть равно 2m.
Полная система уравнений узловых напряжений в действительной
форме баланса мощностей в декартовой системе координат имеет сле-
дующий вид:
(2.10)
18
( )
( ) ( )
22
дм д д м м д м
11
0,
kk
i i ii i j ij j ij i j ij j ij i
jj
ji ji
U U b U Ub U g U Ug Ub Q
= =
≠≠
+− −− ++=
∑∑
1... ,in=
(
)
( )
2
дд м мд м
11
0,
kk
i ii i j ij j ij i j ij j ij i
jj
ji ji
Ug U U g Ub U Ub U g P
= =
≠≠
− + + − +=
∑∑
(
)
1 ... ,in m= +
( )
22 2
дм
, 1 ... .
i ii
UU U in m+= =+
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Уравнения для базисных узлов в систему не входят, так как неизвестны генерируемые мощности. Но по этой же причине в систему не входят
также и уравнения вида (2.11) для узлов, балансирующих по реактивной
мощности. В результате общее число уравнений вида (2.10) и (2.11) оказывается равным (n+m), что меньше числа неизвестных.
Чтобы дополнить число уравнений до 2m, используют формулы (2.13)
для модулей напряжений в узлах, балансирующих по реактивной мощности. Кроме того, при записи уравнений вида (2.10) для этих узлов в первое
слагаемое целесообразно подставлять модуль напряжения вместо суммы
квадратов действительной и мнимой части (уравнение (2.12)).
2.3. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ МАТРИЦ
Двухмерной матрицей называется упорядоченный набор чисел, расположенных в виде таблицы. В дальнейшем будем обозначать матрицы
большими буквами, выделенными жирным шрифтом (без курсива),
например A.
Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной.
Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-
столбцом, вектором-столбцом или просто вектором. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой.
19
Элементы матриц обозначаются с помощью двух индексов, напри-
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
,
,
z ay ay
z ay ay
= +
= +
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
,
,
y bx bx
y bx bx
= +
= +
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
,
.
z cx cx
z cx cx
= +
= +
мер aij, где i – номер строки, j – номер столбца. Элементы, для которых
i = j, составляют главную диагональ матрицы.
Если для всех элементов квадратной матрицы выполняется равенство
aij = aji, то такая матрица называется симметричной.
Матрица, все элементы которой, за исключением главной диагонали,
равны нулю, называется диагональной.
Матрица, все ненулевые элементы которой сосредоточены вблизи
главной диагонали (включая саму диагональ), называется матрицей
ленточного типа.
Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали
равны 1, называется единичной. Единичная матрица имеет стандартное
обозначение E.
Суммой матриц A и B с элементами aij и bij называется матрица C,
каждый элемент которой cij = aij + bij. Очевидно, что складываемые матрицы должны иметь одинаковые размерности (количества строк и столбцов).
Произведением матрицы A с элементами aij и числа x называется
матрица B, каждый элемент которой bij = xaij.
Умножение матрицы на матрицу представляет собой более сложное
действие, которое требует дополнительных пояснений.
Пусть имеется три переменные x, y, z. Предположим, что эти переменные линейно зависимы, т. е. z = ay и y = bx, где a, b – постоянные коэффициенты. Можно также записать зависимость z = cx. При этом очевидно, что c = ab.
Теперь рассмотрим случай трех наборов переменных: 1) x1, x2; 2) y1, y2;
3) z1, z2. Линейные зависимости будут выражаться уже системами уравнений:
(2.14)
(2.15)
(2.16)
20
Коэффициенты можно представить в форме матриц:
11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
,,.
aa bb cc
aa bb cc
= = =
A BC
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 11 11 1 12 2 12 21 1 22 2
11 11 12 21 1 11 12 12 22 2
2 21 11 1 12 2 22 21 1 22 2
21 11 22 21 1 21 12 22 22 2
,
.
zabxbx abxbx
ab ab x ab ab x
z abxbx abxbx
ab ab x ab ab x
= + + + =
=+ ++
= ++ +=
=+ ++
11 11 12 21 11 12 12 22
21 11 22 21 21 12 22 22
.
ab ab ab ab
ab ab ab ab
++
=
++
C
1
n
ij ik kj
k
c ab
=
=
∑
Тогда по аналогии можно записать C = A×B, т. е. матрица C пред-
ставляет собой произведение матриц A и B.
Подставим (2.15) в (2.14):
Таким образом, матрица C имеет следующую структуру:
Видно, что каждый элемент матрицы C представляет собой сумму
произведений элементов соответствующей строки матрицы A и элементов
соответствующего столбца матрицы B.
В общем случае правило перемножения матриц A×B имеет следующий вид:
, (2.17)
где n – число столбцов матрицы A, которое должно быть равно числу
строк матрицы B. В общем случае A×B ≠ B×A, однако A×E = E×A = A,
где E – единичная матрица.