Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы расчета и оптимизация режимов электроэнергетических систем. Учебное пособие.pdf
21
Транспонированием матрицы A с элементами aij называется замена ее
Т
.
ij ji
aa=
*
*
11
nk
i
i ii j ij j ij
j jn
i
ji
S
UY UY UY
U
= = +
≠
−= −
∑∑
×=YU I
U
I
−−
−−
−−
=
nnnn
n
n
YYY
YYY
YYY
,2,1,
,22,21,2
,12,11,1
...
............
...
...
Y
строк столбцами. В результате получается транспонированная матрица AТ, каждый элемент которой
Обратной по отношению к матрице A называется матрица A–1, для
которой выполняется условие A×A–1 = A–1×A = E.
2.4. МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ УРАВНЕНИЙ РЕЖИМА
Матричное исчисление является удобным инструментом для записи
и преобразования систем уравнений.
Запишем систему уравнений баланса токов (2.4) в матричной форме.
Для простоты предположим, что узлы, балансирующие по реактивной
мощности, отсутствуют. Слагаемые, содержащие напряжения базисных
узлов и мощности потребителей, перенесем в правую часть:
. (2.18)
Матричная запись системы уравнений (2.18) имеет вид
, (2.19)
где Y – матрица узловых проводимостей;
напряжений;
– вектор-столбец задающих (узловых) токов (см. ниже).
– вектор-столбец неизвестных
Матрица узловых проводимостей имеет следующую структуру:
.
22
Матрица Y является квадратной и симметричной. При большом числе
U
I
1
2
...
n
U
U
U
=
U
=
n
I
I
I
...
2
1
I
*
*
1
k
i
i j ij
jn
i
S
I UY
U
= +
= −
∑
××=×ZYU ZI
= ×U ZI
[ ]
0
д номi
UU=
[ ]
0
м
0
i
U =
узлов она становится разреженной, т. е. содержит много нулевых элементов. Данное свойство часто используется при расчете сложных электрических систем. Однако элементы главной диагонали всегда отличны от нуля.
Векторы-столбцы
и
имеют вид
,
,
где
; эта величина называется задающим током i-го узла.
Умножим обе части уравнения (2.19) слева на матрицу Z = Y–1:
. (2.20)
Матрица Z, обратная матрице узловых проводимостей, называется
матрицей узловых сопротивлений. Поскольку Z×Y = E, то (2.20) прини-
мает вид
. (2.21)
Метод расчета режима, основанный на использовании этого выражения, называется методом обратной матрицы. Нелинейность уравнений
приводит к тому, что расчет может быть осуществлен только численно
путем последовательных приближений.
Алгоритм расчета
1. Задаются нулевые приближения действительных Uд и мнимых Uм
составляющих искомых напряжений. Обычно принимают
. Верхний индекс в квадратных скобках здесь и далее обозначает
,
номер приближения.
23
2. Вычисляются задающие токи при данном приближении напря-
[ ]
[
]
1
pp+
= ×U ZI
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
1
дд
1
д
1
мм
1
д
ε,
ε.
pp
ii
p
i
pp
ii
p
i
UU
U
UU
U
+
+
+
+
−
≤
−
≤
жений.
3. Рассчитывается следующее приближение напряжений по матрич-
ному уравнению
(2.22)
.
4. Проверяются условия сходимости с заданной точностью ε:
(2.23)
В знаменателе последнего выражения стоит действительная состав-
ляющая напряжения вместо мнимой. Это позволяет избежать деления на
число, близкое или равное нулю, а также применить для действительной
и мнимой части одно и то же значение ε.
Если условия (2.23) выполнились для всех узлов от 1 до n, то расчет
заканчивается. Если не выполнилось хотя бы одно условие хотя бы для
одного узла, то осуществляется возврат к пункту 2.
Рассмотренный метод обладает достаточно быстрой сходимостью
(т. е. позволяет найти решение при сравнительно небольшом числе итераций). Однако нахождение обратной матрицы связано с громоздкими вычислениями. Кроме того, матрица Z не содержит нулевых элементов, что
не дает возможности упростить расчеты сложных систем с учетом их топологии. Поэтому метод обратной матрицы имеет ограниченное применение, главным образом в сетях с небольшим числом узлов. Он эффективен
в тех случаях, когда для одной и той же сети производятся многократные
расчеты режимов, поскольку обратная матрица при этом вычисляется
только один раз.
24
2.5. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ И ВЗАИМНЫХ ПРОВОДИМОСТЕЙ
22
11
ijij
ijij
ijijij
ij
XR
jXR
jXRZ
Y
+
−
=
+
==
,
1
,
k
ii пп i ij
j
ji
YY Y
=
≠
= +
∑
Схема замещения электрической сети содержит продольные и попе-
речные ветви. Продольной называется ветвь, по которой протекает ток
нагрузки, а поперечной – ветвь, включенная на полное напряжение сети.
Взаимные проводимости узлов – это всегда проводимости продоль-
ных ветвей. В общем случае (рис. 1.1)
. (2.24)
Собственную проводимость узла можно рассчитать по формуле
(2.25)
где Y
– эквивалентная проводимость поперечных ветвей, отходящих от
пп,i
i-го узла.
Собственные и взаимные проводимости должны быть приведены
к одному классу напряжения.
В качестве примера рассмотрим сеть с двумя линиями, между кото-
рыми включен трансформатор (рис. 2.1). Схема замещения сети показана
на рис. 2.2.
Рис. 2.1. Сеть с двумя линиями и трансформатором
25
кл кл
1,2
2 22 2
тр кл тр кл кл
11
,
R jX
Y
kZ k R X
−
= =
+
2,3
22
1
,
тт
т
тт
R jX
Y
Z
RX
−
= =
+
вл вл
3,4
22
вл
вл вл
1
,
R jX
Y
Z
RX
−
= =
+
1,1 1, 2
,YY=
2,2 1,2 2,3
,
Y YY= +
3,3 2,3 3,4 вл
.
т
YYYYjB
= + ++
Рис. 2.2. Схема замещения сети с двумя линиями и трансформатором
Сеть включает в себя два класса напряжения. Высшее напряжение
находится со стороны источника питания (ИП), а низшее – со стороны
нагрузок. В качестве коэффициента трансформации kтр примем отношение
высшего напряжения трансформатора к низшему (в общем случае
с учетом регулировочного ответвления). Взаимные проводимости, приведенные к высшему напряжению, равны:
где Zкл, Zт, Zвл – сопротивления соответственно кабельной линии, трансформатора и воздушной линии.
Собственные проводимости узлов (за исключением базисного):
Из приведенных выражений видно, что алгоритмически удобнее сначала вычислять взаимные, а затем собственные проводимости. При этом
операция приведения к одному классу напряжения осуществляется при
расчете взаимных проводимостей.
26
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Назовите основные формы записи уравнений режимов электриче-
ских систем.
2. Что такое собственная проводимость узла?
3. При расчете режимов мощности в базисных узлах не задаются.
Значит ли это, что они равны нулю?
4. Сеть содержит пять узлов с неизвестными напряжениями, один
узел, балансирующий по реактивной мощности, и один базисный узел.
Чему будет равно число уравнений режима в действительной форме записи в декартовой системе координат?
5. Что такое матрица ленточного типа?
6. Как изменится матрица узловых проводимостей в результате
транспонирования?
7. Если сеть содержит два класса напряжений, то проводимости могут
быть приведены как к высшему, так и к низшему напряжению. В каком
случае значения проводимостей получатся больше?
27
3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РАСЧЕТА РЕЖИМОВ
2* *
1 1,1 1 2 1,2 1
* 2* *
2 1 1,2 2 2,2 2 3 2,3 2
* 2*
3 2 2,3 3 3,3 3 4 3,4
0,
0,
0.
U Y U UY S
UUY UY UUY S
UUY UY UUY
′ ′′
− +=
′′ ′ ′
− + − +=
′
− +− =
1
U
′
2 34
,,U UU
′
2
U
′
2*
*
1 1,1 1
1
21
1 1,2 1 1,2
.
UY S
S
UU
UY UY
′
+
′
′
= = +
′′
3.1.
РАСЧЕТ РЕЖИМА РАЗОМКНУТОЙ СЕТИ ПО ДАННЫМ КОНЦА
Уравнения установившегося режима электрических сетей нелинейны
и в общем случае могут быть решены только численно. Тем не менее, существуют частные случаи, в которых уравнения решаются аналитически.
Одним из этих случаев является расчет режима «по данным конца». Он
может быть использован при следующих условиях:
1) сеть является разомкнутой и неразветвленной;
2) напряжение источника питания неизвестно, но известно напряже-
ние потребителя, наиболее удаленного от источника питания.
Классический алгоритм расчета «по данным конца» изучается в рамках дисциплины «Электроэнергетические системы и сети». Ниже рассмотрена интерпретация этого метода с позиций решения системы уравнений узловых напряжений.
В качестве примера используем сеть, показанную на рис. 2.1 и 2.2.
Запишем уравнения узловых напряжений для этой сети:
(3.1)
Здесь штрих у напряжений первого и второго узлов означает приведение к высшему напряжению.
Задано напряжение
ми в системе являются напряжения
(его фаза принята равной нулю). Неизвестны-
.
Напряжение
легко найти из первого уравнения системы:
(3.2)
28
Аналогичным образом можно выразить напряжения
34
,UU
( )
2* *
*
2 2,2 2 1 1,2 2 1,2
2
3 2 21
**
2,3
2 2,3 2 2,3
,
UYUUYS Y
S
U U UU
Y
UY UY
′ ′′
−+
′ ′′
= =+− +
′′
( )
2*
3 3,3 3 2 2,3 2,3
вл
4 3 32 3
*
3,4 3,4
3 3,4
.
т
UY UUY Y
Y jB
U U UU U
YY
UY
′
−
+
′
= =+− +
№ фор-
*
1
1 1,2
S
UY
′
Падение напряжения в кабельной линии
*
2
*
2 2,3
S
UY
′
Падение напряжения в обмотках трансформатора, обу-
( )
1,2
21
2,3
Y
UU
Y
′′
−
Падение напряжения в обмотках трансформатора, обу-
вл
3
3,4
т
Y jB
U
Y
+
Падение напряжения в воздушной линии, обусловлен-
( )
2,3
32
3,4
Y
UU
Y
′
−
Падение напряжения в воздушной линии, обусловлен-
го и третьего уравнений:
из второ-
(3.3)
(3.4)
Формулы (3.2), (3.3) и (3.4) представляют собой аналитическое реше-
ние системы уравнений (3.1). Это решение легко обобщить на неразветвленную сеть с произвольным числом элементов. Физический смысл отдельных слагаемых представлен в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Физический смысл решения уравнений узловых напряжений
мулы
Слагаемое Физический смысл
(3.2)
(3.3)
(3.3)
словленное передачей мощности S2
словленное мощностью, передаваемой в кабельную
линию; выражено через ток, определяемый по закону
Ома для кабельной линии
(3.4)
(3.4)
ное токами в поперечных ветвях в конце линии
ное мощностью, передаваемой в трансформатор; выражено через ток, определяемый по закону Ома для
обмоток трансформатора
Метод расчета «по данным конца» можно использовать для опреде-
ления напряжения источника питания, необходимого для того, чтобы
напряжение потребителя имело заданную величину.
29
3.2. РАСЧЕТ ЛИНИИ С РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ
н
,
I
iL=
( )
0
3dU I l z dl=
(
)
dlrlIdP
0
2
3=
( )
Il
Для линий распределительных сетей ниже 1000 В характерно большое количество ответвлений. Как правило, если линия находится в эксплуатации, то нагрузки ответвлений по отдельности неизвестны, но известна мощность или ток в начале линии. При этих условиях можно ввести допущение, что нагрузка является не сосредоточенной, а равномерно
и непрерывно распределенной вдоль линии (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Линия с равномерно распределенной нагрузкой
Пусть известны напряжения источника питания U0, ток в начале линии Iн и коэффициент мощности нагрузки cosφ. Требуется определить
напряжение в конце линии, а также потери активной мощности при условии, что нагрузка непрерывно и равномерно распределена вдоль линии.
Ток нагрузки на единицу длины рассчитывается по очевидному выражению
(3.5)
где L – длина линии.
Падение напряжения и потери активной мощности на участке бесконечно малой длины dl, расположенном на расстоянии l от начала линии,
соответственно равны
где
плексное) и активное погонные сопротивления линии.
, (3.6)
, (3.7)
– ток в линии на расстоянии l от начала; z0 и r0 – полное (ком-
30
Поскольку через участок линии длиной dl получает питание вся
( ) ( ) ( )
φφ
.
jj
Il Ile L lie
−−
= = −
( ) ( )
00
00 0
33
LL L
jj
U dU L l ie z dl ie z L l dl
−ϕ −ϕ
∆= = − = − =
∫∫ ∫
( )
2
2
00
н0
0
3 33
2 22
L
j jj
Ll
LL
iez iez Iez
−ϕ −ϕ −ϕ
−
=−==
( )
( )
3
2
2 2 23 2
0 00н0
00
0
33
3
L
LL
Ll
P dP ir L l dl ir irL IrL
−
∆= = − =− = =
∫∫
0
UU U= −∆
н0
3
j
U Ie zL
−ϕ
′
∆=
2
н0
3P I rL
′
∆=
нагрузка, расположенная правее (рис. 3.1), ток на этом участке
(3.8)
Проинтегрируем выражения (3.6) и (3.7) по длине линии с уче-
том (3.8). В результате получим общее падение напряжения и суммарные
потери мощности в линии:
, (3.9)
. (3.10)
Напряжение в конце линии
. (3.11)
Если ли бы вся нагрузка Iн была сосредоточена в конце линии, то па-
дение напряжения и потери мощности были бы равны
, (3.12)
. (3.13)
Отсюда видно, что падение напряжения в линии с распределенной
нагрузкой в два раза меньше, а потери мощности – в три раза меньше, чем
с той же нагрузкой, сосредоточенной в конце линии.