Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы прогнозирования технологической и технической эффективности процессов и аппаратов пищевых производств. Учебное пособие
.pdf
1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Н.В. Ерёмина
МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ
И ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОЦЕССОВ
И АППАРАТОВ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ
Учебное пособие
Для студентов вузов
Под редакцией В.А. Павского
Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим
центром высшего профессионального образования
для межвузовского использования в качестве учебного
пособия для студентов технических специальностей
Кемерово 2006
2
УДК 664.002.5 (075)
ББК 36я7
Е70
Рецензенты:
И.В. Ковалев, ученый секретарь научно-исследовательского института
систем управления, волновых процессов и технологий,
д-р техн. наук, профессор;
А.Н. Антамошкин, заведующий кафедрой информатики и моделирования
Красноярского государственного университета, д-р техн. наук, профессор
Под редакцией
В.А. Павского, зав. кафедрой высшей математики Кемеровского
технологического института пищевой промышленности, канд. техн. наук
Рекомендовано редакционно-издательским советом
Кемеровского технологического института
пищевой промышленности
Ерёмина, Н.В.
Е70 Методы прогнозирования технологической и технической эффектив-
ности процессов и аппаратов пищевых производств : учебное пособие /
Н.В. Ерёмина; под редакцией В.А. Павского; Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. - Кемерово, 2006. - 100 с.
ISBN 5-89289-408-1
Содержит основы корреляционной теории (теории случайных функций). Рассматриваются законы распределения, характеристики случайных функций, методы их
определения, в частности стационарные случайные функции и функции, обладающие
эргодическим свойством. Приводятся основные сведения из классического курса теории вероятностей и математической статистики.
Предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов технических вузов.
УДК 664.002.5 (075)
ББК 36я7
ISBN 5-89289-408-1
© Н.В. Ерёмина, 2006
© КемТИПП, 2006
3
Введение
Современная практика разработки и совершенствования технологической
и технической эффективности процессов и аппаратов пищевых производств
требует от исследователя знать основы теории автоматического управления и
кибернетические основы современной теории непрерывного смешивания материалов, уметь анализировать технологические процессы и аппараты как динамические системы с использованием методов технической кибернетики, формировать математические модели технологических процессов и аппаратов по
результатам обработки экспериментальных данных, моделировать и анализировать динамические системы на ЭВМ с использованием современных пакетов
программного обеспечения.
Цель данного учебного пособия – это краткое изложение всех перечис-
ленных выше аспектов.
Особое внимание уделено теории случайных функций (корреляционной
теории), поскольку эта теория оказывается достаточной при решении многих
практических задач, в частности, при теоретическом анализе систем (смесительных агрегатов). Учебное пособие состоит из четырех разделов, в которых
изложены основы теоретико – вероятностного аппарата, теории случайных
функций и математической статистики.
Пособие предназначено для магистрантов и аспирантов, использующих в
теоретических исследованиях корреляционную теорию. Однако, поскольку в
пособии изложены только основы теоретического материала, то для более глубокого его понимания следует обращаться к дополнительной литературе, список которой приводится в конце пособия.
Для понимания всего материала, изложенного в пособии, от читателя до-
статочно знания высшей математики в объеме программы высших технических
учебных заведений.
4
,...,...,,
21 n
n
AAA ,...,,
21
,...
21 n
AAAA
,,...,,
21 n
AAA
.,...,,
21 n
AAA
n
AAA ,...,,
21
,...
21 n
AAAA
1. Основы теоретико-вероятностного аппарата
1.1. Случайное событие. Вероятность случайного события
Прежде, чем приступить к изложению основных результатов теории ве-
роятностей, формализуем основные понятия, с которыми она имеет дело. Одним из исходных является понятие «случайного эксперимента» (испытания,
опыта). В зависимости от конкретного содержания этого понятия применяется
соответствующий математический аппарат к решению той или иной конкретной задачи. Одна и та же реальная задача допускает в зависимости от конечных
целей исследования несколько вариантов конкретизации понятия «случайный
эксперимент». Число возможных исходов случайного эксперимента не всегда
можно пересчитать. Всякий случайный эксперимент, связанный с необходимостью фиксации величины какого-либо параметра обследуемого объекта, измеряемого в физических единицах непрерывной природы (температура, давление,
время, вес и т. п.), имеет, как принято говорить, континуальное множество возможных исходов. Таким образом, множество исходов случайного эксперимента
может быть конечным, если число элементов в нем конечно; счетным, если его
элементы можно занумеровать числами 1, 2, 3, …, n,… континуальным (множество всех точек числовой прямой, плоскости и т.п.).
Каждый исход случайного эксперимента называется элементарным (не-
разложимым) событием (или элементарным исходом), а совокупность всех
возможных элементарных исходов – пространством элементарных событий.
В результате случайного эксперимента обязательно происходит одно из элементарных событий, причем одновременно с ним не может произойти ни одно
из остальных элементарных событий, т.е. эти события несовместны. Обозначается пространство элементарных событий - Ω, элементарные события -
Любое «неэлементарное» случайное событие А, которое мо-
жет наступить в результате рассматриваемого эксперимента, представляет собой подмножество пространства элементарных событий, т.е. событие А наступает при осуществлении по меньшей мере одного из элементарных исходов.
Все пространство элементарных событий Ω определяется как событие до-
стоверное.
Объединение (сумма) событий
- это такое событие
которое заключается в наступлении хотя бы одного из
событий
составляющих события
Пересечение (произведение) событий
т.е. состоит из всех различных элементарных событий,
- это такое событие
которое заключается в обязательном наступлении всех
5
,,...,,
21 n
AAA
.,...,,
21 n
AAA
21
, AA
21AA
,,...,,
21 n
AAA
n1,...,ji, ,
, ,...
1
ji
n
AA
jiAA
i
i
p
,
i
.1......
21
n
ppp
Ai
i
i
pAP
:
,10 AP
,
N
N
AP
A
A
N
событий
временно входят во все рассматриваемые события
Противоположное событие (к событию А) – это такое событие A, кото-
рое состоит в ненаступлении события А, т.е. состоит из всех возможных элементарных событий, не входящих в А.
Невозможное событие - это событие, противоположное достоверному,
т.е. оно не содержит ни одного элементарного события.
Все остальные события будем называть случайными.
Случайные события
тате испытания они не могут произойти одновременно, т.е.
Полная группа событий – это набор попарно несовместных событий
которые в сумме образуют все пространство элементарных собы-
тий , т.е.
т.е. состоит из элементарных событий, которые одно-
называются несовместными, если в резуль-
.
Каждому элементарному событию
которая неотрицательная числовая характеристика
ления, называемая вероятностью события
Вероятность любого случайного события А определяется как сумма вероятностей всех элементарных событий, составляющих событие А, т.е.
Всегда
нице, а для невозможного – нулю.
Классический способ вычисления вероятности случайного события А выражается формулой
для достоверного события вероятность равна еди-
пространства соответствует не-
возможности его появ-
причем
.
где N –число всех возможных элементарных исходов эксперимента,
- число благоприятных этому событию А исходов (т.е. элементарных исходов,
входящих в это событие). Эта формула применима только в том случае, когда
все элементарные исходы равновероятны.
Апостериорно-частотный подход к вычислению вероятности отталкивается от так называемого статистического определения вероятности.
6
A
n
n
n
AW
A
n
n
AP
A
n
lim
,
212121
AAPAPAPAAP
21
AAP
1
A
2
A
1
A
2
A
.
2121
APAPAAP
ABPAPBAP /
ABP /
ABP /
BP
./ BPABP
BPAPBAP
Если производятся серии из n экспериментов и при этом число экспери-
ментов, в которых наступило событие А равно
вается относительной частотой или частостью события А.
Тогда вероятность случайного события A определяется как предел относительной частоты этого события при неограниченном увеличении числа экспериментов n, т. е.
Основные правила действий с вероятностями:
1. Вероятность объединения (суммы) событий
где
- вероятность совместного появления событий
, то число
.
назы-
и
.
Таким образом, если события
2. Вероятность пересечения (произведения) событий.
Здесь
условии реализации события А. Если наступление события А не влияет на вероятность события В, то условная вероятность
роятности
В этом случае события А и В независимы.
В реальном мире независимые события встречаются очень редко.
В практических задачах, если зависимость между событиями слабая и не-
существенна при решении конкретной задачи, события считают независимыми.
Это связано с тем, что независимые события более изучены и решение
многих задач при таком допущении значительно упрощается.
- условная вероятность, т.е. вероятность события В при
, т.е.
и
Тогда
- несовместны, то
.
равна безусловной ве-
.
7
n
HHH ,...,,
21
i
n
i
HAA
1
./...//
2211 nn
HAPHPHAPHPHAPHPAP
n
HHH ,...,,
21
n
HHH ,...,,
21
.
/...//
/
/
22 nnii
ii
i
HAPHPHAPHPHAPHP
HAPHP
AHP
i
H
i
HP
i
H
A
P
ni ,...,2,1
При решении многих практических задач зачастую сталкиваются с ситуа-
цией, когда прямое вычисление вероятности интересующего события А трудно
или невозможно, в то время как вполне доступно вычисление условных вероятностей этого события (при различных условиях). Если условия представляют
собой n попарно несовместных событий
дит с одним и только одним из них, т. е.
то для вычисления вероятности события А используют формулу полной
вероятности:
События
Отметим, что обычно требуют, чтобы гипотезы образовывали полную
группу событий, однако выполнение этого требования необязательно.
Если событие A осуществилось, то для вычисления послеопытных (апо-
стериорных) вероятностей гипотез
обычно называют гипотезами.
применяют формулу Байеса:
и событие A происхо-
,
Особое значение формула Байеса приобретает для таких испытаний, в ко-
торых гипотезы
опытные) вероятности
,
может иметь место, например, если отсутствует прибор, позволяющий регистрировать факт осуществления этих гипотез, или же если применение прибора
для регистрации осуществления гипотез приводит к разрушению предмета
наблюдения. Для подобных испытаний переоценка вероятностей гипотез после
опыта может быть проведена на основании наблюдаемого события A, тесно
связанного с гипотезами. Такой подход часто используется в задачах медицинской и технической диагностики.
Если эксперимент состоит в проведении n независимых испытаний (т.е.
результат каждого испытания не зависит от исхода предыдущего), и в каждом
из этих испытаний некоторое событие А («успех») может наступить с одной и
той же вероятностью p (тогда вероятность наступления «неуспеха» q = 1- p), то
непосредственно не наблюдаемы, хотя их априорные (до-
и соответствующие им условные вероятности
, известны из дополнительных опытов. Такая ситуация
Независимые испытания
8
,)(
knnk
nn
qpCkP
.
!!
!
knk
n
C
k
n
),(
1
)( x
npq
kP
n
npq
npkx
2
2
2
1
)(
x
ex
)()( xx
),()()(
1221
xФxФkkkP
n
,
1
1
npq
npkx
,
2
2
npq
npkx
dtexФ
x
t
2
2
2
1
)(
.1)()( xФxФ
;1,0p
.9npq
,
!
)(
e
k
kP
k
n
.np
вероятность того, что в n испытаниях «успех» наступит ровно k раз находится
по формуле Бернулли:
При большом числе испытаний применяют одну из следующих прибли-
женных формул:
Локальная формула Муавра – Лапласа:
где
для которой
Интегральная формула Муавра – Лапласа:
;
- табулированная функция,
.
где
где
- табулированная функция,
для которой
Формулы Муавра – Лапласа применяются обычно, если
Если n – велико, а одна из вероятностей p или q – мала, то применяют
приближенную формулу Пуассона:
При этом λ должно быть ни мало ни велико.
В большинстве случаев результат случайного эксперимента может быть
описан одним или несколькими числами. Например: число дефектных изделий,
обнаруженных при качественном контроле n случайно отобранных из массовой
где
1.2. Случайная величина
9
,...,,
i
x
i
p
1
x
2
x
…
n
x
i
p
1
p
2
p
…
n
p
n
xxx ,...,,
21
n
ppp ,...,,
21
.11
ni
i
p
,x
.)( xPxF
продукции изделий или число сбоев автоматической линии за наугад выбранную рабочую смену.
Под случайной величиной понимают переменную, принимающую в ре-
зультате эксперимента то или иное значение в зависимости от исхода испытания. Можно также сказать, что случайная величина – это функция, определенная на пространстве элементарных событий .
Обозначают случайные величины обычно -
.
Поскольку случайная величина – это функция, определенная на множе-
стве элементарных событий, то ее возможные значения и их общее число определяются структурой соответствующего пространства
. Следует отличать
теоретически возможные значения случайной величины от практически осуществившихся в эксперименте, т.е. от наблюденных ее значений.
Если в качестве результата эксперимента регистрируется одно число, то
соответствующую случайную величину называют одномерной или скалярной.
Если же результатом каждого эксперимента является регистрация целого набора чисел, то соответствующую случайную величину называют многомерной
или векторной (двумерной, трехмерной и т.д.).
Одномерная случайная величина является дискретной или непрерывной в
зависимости от того, в каком пространстве элементарных событий она определена – дискретном или непрерывном.
Для исчерпывающего задания случайной величины недостаточно знать
полный набор ее возможных или наблюденных значений. Необходимо также
правило сопоставления каждому значению случайной величины
сти его появления
(в дискретном случае) или правило сопоставления каждой
- вероятно-
области значений случайной величины – вероятности того, что рассматриваемая случайная величина примет одно из значений из этой области (в непрерывном случае). Такое правило называется законом распределения вероятностей
случайной величины.
Для дискретной случайной величины законом распределения является
ряд распределения, который имеет вид:
Здесь
- возможные значения случайной величины;
- вероятности этих значений,
Любая случайная величина полностью определяется своей функцией рас-
пределения вероятностей F(x). Это функция, которая ставит в соответствие
любому заданному действительному значению х величину вероятности события
т.е.
10
i
x
i
p
;1)(0 xF
xF
;0)( F
;1)( F
).()( aFbFbaP
Для дискретной случайной величины F(x) является ступенчатой функцией, значения которой увеличиваются скачками при переходе через очередное
значение
на величину
.
Для непрерывной случайной величины F(x) – непрерывна.
Из определения F(x) вытекают следующие свойства:
1)
2)
3)
4)
– неубывающая;
Графики функции распределения для непрерывной и дискретной случайных величин изображены на рис. 1.1. и 1.2.
1
F(x)
0 x
Рис. 1.1. (для дискретной случайной величины)
F(x)
1
0 x
Рис. 1.2. (для непрерывной случайной величины)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]