Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы прогнозирования технологической и технической эффективности процессов и аппаратов пищевых производств. Учебное пособие
.pdf
21
)(t
,
)(1
)(
tnt
ttntn
tF
tf
t
t
)(t
.1)(
0
t
dtt
etF
)(t
)(t
00
0
1
1
1
,1)(
0
t
etF
;0t
,)(
0
1
0
t
ettf
0t
В подобных задачах важной характеристикой является интенсивность
отказа (коэффициент смертности)
определенная соотношением:
где n(t) – число объектов, «доживших» до возраста t, а
малый отрезок времени, т.е.
дящегося на единицу времени) «выбывших» в возрасте t элементов к общему
числу доживших до этого возраста элементов n(t).
Т.о. функция распределения полностью определяется видом функции интенсивности отказов
Эксперименты показали, что все время жизни объекта можно разбить на
.
- это отношение удельного числа (т.е. прихо-
исследуемых элементов возраста t,
- достаточно
три периода. На первом из них
убыванию. На техническом языке это можно объяснить наличием в исследуе-
мой совокупности элементов с явными и скрытыми дефектами (сборки, некондиционности отдельных свойств и т.п.), которые приводят к относительно
быстрому выходу из строя этих элементов. Это период «приработки» или «обкатки».
Затем наступает период нормальной эксплуатации, характеризующийся
приблизительно постоянным сравнительно низким уровнем «смертности» элементов. Природа смертей или отказов в этот период носит внезапный характер
(аварии, несчастные случаи и т.п.) и не зависит от возраста объекта.
Последний период жизни (или эксплуатации) объекта – период старения
и износа. Природа отказов в этот период – в необратимых физиологических или
физико-технических явлениях, приведших к ухудшению качества объекта, к его
«старению».
Если
приработки,
распределения и плотность вероятностей времени жизни элемента имеют вид:
и
- нормальная эксплуатация,
некоторые числовые параметры (
имеет высокие значения и тенденцию к
- период
- старение), то функция
Это и есть распределение Вейбулла.
.
22
1
1
1
0
M
1
1
2
1
2
2
0
D
dxexz
xz
0
1
1
)tt
t
;0 ,0 ,1)(
0
0
tetF
t
.)(
0
0
t
etf
;
1
0
M
.
1
2
0
D
Числовые характеристики:
(здесь
6. Экспоненциальное (показательное) распределение
Это распределение является частным случаем распределения Вейбулла
(когда
положительно определенных случайных величин экспоненциальное распределение имеет такое же значение, как нормальное для случайных величин, определенных на всей действительной оси.
Оно описывает распределение длительности жизни элемента, работающего в режиме нормальной эксплуатации. Только этот закон обладает важным
свойством, что вероятность безотказной работы элемента на данном временном
). Однако представляет большой самостоятельный интерес. Для
- гамма – функция Эйлера).
;
интервале (t,
сит только от длины интервала
Экспоненциально распределенную случайную величину можно интерпретировать как промежуток времени между двумя последовательными
наступлениями «пуассоновского» события.
Функция распределения и плотность распределения вероятностей:
Числовые характеристики:
Назначение ниже рассмотренных законов распределения – предоставление исследователю необходимого аппарата для построения разного рода статистических критериев и интервальных оценок параметров.
не зависит от времени предшествующей работы t, а зави-
.
23
2
2
m
,...,,
21
1 ,0
a
22
2
2
1
2
...)(mm
.0
2
2
1
,0 ,0
0
22
2
2
xприdtet
m
Г
xпри
mF
x
tm
m
m
dtetyГ
ty
0
1
)(
Ry
!1 , yyГтоNy
.0
2
2
1
,0 ,0
)(
2
1
2
2
)(
2
xприex
m
xпри
xf
xm
m
m
7.
Распределение
последовательности m независимых случайных величин
рованной нормальной функцией распределения
Выяснилось, что случайная величина
няется закону, функция распределения которого
где m – число степеней свободы, а Г(у) – значение гамма – функции Эйлера в точке у:
- распределение («хи квадрат» - распределение)
появилось впервые при рассмотрении распределения
с норми-
.
подчи-
раметром – числом степеней свободы m. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.
,
Если
Плотность распределения «хи квадрат» имеет вид:
Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним па-
.
.
24
m
,...,,,
210
2
,0
2
1
1
2
0
1
mi
i
m
mt
2
1
2
1
2
2
1
1
m
t
m
x
m
Г
m
Г
m
xf
. x
xf
t
0x
21
mm
2
,0
;,...,,
1
21 m
2
,...,,
21 m
2
1
1
2
2
1
2
1
21
1
1
),(
m
j
j
m
i
i
m
m
mmF
),(
21
mmF
2
)(
1
2
m
),(
2
2
m
.
)(
1
)(
1
),(
2
2
2
1
2
1
21
m
m
m
m
mmF
8. Распределение Стьюдента (t – распределение)
Пусть
случайные величины. Тогда плотность распределения случайной величины
задается формулой:
Это распределение называется распределением Стьюдента с m степенями
свободы. Функция плотности
относительно точки
ление Стьюдента быстро приближается к нормальному.
9. F – распределение (Фишера – Снедекора)
- независимые
является унимодальной и симметричной
. С возрастанием числа степеней свободы распреде-
- нормально распределенные
Рассмотрим
случайных величин
Очевидно, что
симых и соответствующим образом нормированных
чайных величин
независимых и
можно определить как отношение двух незави-
и
т.е.
- нормально распределенных
и положим
.
- распределенных слу-
25
1
m
2
m
),( ba
.0 , 0
;0 ,
)(
)(
1
),(
xпри
xпри ex
aГ
b
xf
bxa
a
ba
a
0a
21
,aa
21
и aa
21
0 ,0 aa
xзначенийостальныхдля
дляxx
aГaГ
aaГ
xf
aa
aa
. ,0
1;x0 ,)1(
)()(
)(
)(
11
21
21
),(
21
21
Ft , ,
2
Распределение этой случайной величины получило название F – распределения и определяется двумя параметрами
10. Г – распределение (гамма – распределение)
Двухпараметрический закон Г – распределения случайной величины
описывается функцией плотности распределения вероятностей:
Здесь
– параметр масштаба.
– гамма – функция Эйлера,
11. B – распределение (бета – распределение)
и
.
– параметр «формы» и b > 0
Случайная величина
с параметрами
Основное прикладное значение Г – и В – распределений – в их богатых
вычислительных возможностях: функции распределения
гих могут быть вычислены (после надлежащего преобразования переменных) в
терминах Г – и В – распределений.
Кроме того, Г – и В – распределения иногда используются и при реалистическом моделировании. С помощью Г – распределения описывается, например, распределение доходов и сбережений населения в определенных специальных ситуациях. В – распределение используется для описания реальных
распределений, сосредоточенных на отрезке [0,1] (например, для описания распределений величин субъективных вероятностей, полученных в ходе экспертного опроса).
, подчиняющаяся закону B – распределения
имеет плотность вероятности:
и ряд дру-
26
,
ji
yx ,
,
,
η
1
y
2
y
…
j
y
…
n
y
1
x
11
p
12
p
…
jp1
…
np1
)(1xp
2
x
21
p
22
p
…
jp2
…
np2
)(2xp
… … … … … … …
…
i
x
1i
p
2i
p
…
ij
p
…
in
p )(ixp
… … … … … … …
…
m
x
1m
p
2m
p
…
mj
p
…
mn
p
)(mxp
1
yp
2
yp
…
j
yp
…
)(nyp
),...,2,1( mix
i
),...,2,1( njy
j
1.4. Двумерная случайная величина.
Закон распределения
Мы рассмотрели случайную величину, каждое значение которой определяется одним числом. Но на практике часто встречаются ситуации, при которых говорят о системе нескольких случайных величин. Если результат эксперимента представляет собой систему из двух значений, то говорят о двумерной
случайной величине, если результат эксперимента – система из трех значений,
то говорят о трехмерной случайной величине.
Мы ограничимся рассмотрением двумерной случайной величины. Будем
обозначать ее
Примеры: 1). Дважды бросается игральная кость. Обозначим - число
очков при первом бросании, - число очков при втором бросании. Тогда
будет двумерной случайной величиной.
2). Из некоторой аудитории наугад выбирается один человек; - его рост
(в сантиметрах), - его вес (в килограммах).
3). В данном сельскохозяйственном районе выбирается участок посева
пшеницы площадью 1га; - количество внесенных удобрений, - урожай, полученный с участка.
Теоретически двумерную случайную величину
вать как случайный вектор или точку на плоскости со случайными координата-
ми (х,у).
Дискретная двумерная случайная величина задается таблицей распределения:
, а ее значения
.
можно рассматри-
личины ,
В этой таблице
- это возможные значения случайной ве-
- это возможные значения случайной величины ,
27
ij
p
i
x
,jy
ij
p
i
x
.jy
ij
p
min
j
ij
p
1 1
.1
i
x
.)(
1
n
j
ijii
pxPxp
....
22221
1
222 n
n
j
j
ppppxPxp
:
j
y
mj
m
i
jjijjj
ppppyPyp
...)(
1
21
y
.,, yxPyxF
- это вероятности того, что в результате испытания случайная величина
примет значение
- это вероятность совпадения событий
должно выполняться условие
Если просуммировать все вероятности, стоящие в i – ой строке, то получим вероятность того, что случайная величина приняла значение
Например:
Аналогично находятся вероятности того, что случайная величина приняла значение
и при этом случайная величина примет значение
и
Для вероятностей
т.е.
:
(суммируем вероят-
ности по столбцам).
Таким образом, получаем одномерные законы распределения для каждой
из случайных величин и (для случайной величины - это первый и по-
следний столбцы таблицы, для случайной величины - это первая и последняя
строки таблицы). Т.е., если известна таблица распределения двумерной случай-
ной величины (,), то по ней полностью определяются одномерные законы
или ряды распределения для каждой из случайных величин и в отдельности.
Функцией распределения двумерной случайной величины (,) называ-
ется вероятность совместного выполнения двух неравенств < x и
Геометрически – это вероятность попадания случайной точки (,) в
бесконечный квадрант с вершиной в точке (x,y), лежащий левее и ниже ее.
:
28
:, yxF
;1,0 yxF
yxF ,
;,, ,
2121
yxFyxFтоxx
;,, ,
2121
yxFyxFтоyy
yxF ,
;0,,,
FxFyF
;1,
F
;, yFyF
., xFxF
,
yxF ,
0, yxf
.,, dyyxfdxyxF
y
x
yxf ,
.,
yxf ,
0, yxf
y (x,y)
x
Рис. 1.10.
Свойства
1)
2)
если
если
3)
4)
5)
6)
Из свойства 6 следует, что, зная функцию распределения двумерной случайной величины
ставляющих одномерных случайных величин.
Двумерная случайная величина непрерывна, если ее функция распределе-
- неубывающая функция своих аргументов, т.е.
непрерывна слева по каждому из своих аргументов;
, можно найти функции распределения каждой из со-
ния
что
стью распределения вероятностей случайной величины
1)
непрерывна на всей плоскости хОу и существует такая функция
(интегрируемая в бесконечных пределах по обеим переменным),
;
Эта функция
Свойства
:
называется плотно-
29
;1),( dyyxfdx
yx
yxF
yxf
,
,
2
yxf ,
;, dyyxfxf
;),( dxyxfyf
S
dxdyyxfSyxP .),(),(
min
j
iji
pxM
1 1
;
min
j
ijj
pyM
1 1
;
;),( dxdyyxfxM
dxdyyxfyM ),(
M
M
,
;
2
MMD
.
2
MMD
2)
3)
4)
5)
1.5. Числовые характеристики двумерной случайной величины.
Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
Так же, как и для одномерной случайной величины, определяются моменты различных порядков для двумерной случайной величины. Рассмотрим важнейшие из них: начальные моменты первого порядка и центральные моменты
второго порядка.
Начальные моменты первого порядка – это математические ожидания
случайных величин и , входящих в двумерную случайную величину. Они
для всех точек (x,y), где
непрерывна;
вычисляются по следующим формулам:
для дискретной величины
для непрерывной величины
Совокупность значений
положения двумерной случайной величины. Геометрически – это координаты
центра рассеивания случайной величины
Центральные моменты второго порядка – это дисперсии случайных величин и , которые определяются следующим образом:
,
представляет собой характеристику
.
.
30
min
j
iji
MpxD
1 1
2
2
;
min
j
ijj
MpyD
1 1
2
2
;
2
2
,
MdxdyyxfxD
2
2
,
MdxdyyxfyD
D
D
yFxFyxF
,
., yfxfyxf
,
,
K
),cov(
)].()[(
MMMK
;
1 1
MMpyxK
ij
min
j
ji
лами:
При вычислении дисперсий удобнее пользоваться следующими форму-
для дискретной двумерной случайной величины
для непрерывной двумерной случайной величины
;
Дисперсии
направлении осей, соответственно, Ox и Oy.
Прежде чем перейти к рассмотрению еще одной важной характеристики
системы случайных величин, остановимся на понятиях зависимости и независимости случайных величин.
Случайные величины и
пределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая
величина. В противном случае величины зависимы.
Для независимых случайных величин должны выполняться равенства:
и
характеризуют рассеивание случайной точки в
называются независимыми, если закон рас-
.
и
Важную роль для характеристики связи между случайными величинами
и , входящими в систему
момент (или ковариация, или момент связи).
Корреляционным моментом системы
) называется второй смешанный центральный момент, т.е.
Более удобными для вычисления корреляционного момента двумерной
случайной величины являются следующие формулы:
для дискретной случайной величины
, играет, так называемый, корреляционный
(обозначается
или
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]