Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы прогнозирования технологической и технической эффективности процессов и аппаратов пищевых производств. Учебное пособие
.pdf
81
~
~
~
~
P
~
~~
P
~,
~
~,
~
~,
~
~
~
a
aM
Такого рода вопросы особенно актуальны при малом числе наблюдений,
когда точечная оценка
на
тической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.
ность (обычно 0,9; 0,95 или 0,99) такую, чтобы событие с вероятностью
можно было считать практически достоверным.
замене на
очень малой вероятностью 1-.
раметра попадет в интервал
роятностей рассматривалась вероятность попадания случайной величины в за-
данный неслучайный интервал, то здесь наоборот: величина - не случайна, а
интервал – случаен. Поэтому говорят: - вероятность того, что случайный ин-
может привести к серьезным ошибкам.
Чтобы дать представление о точности и надежности оценки
Поступают следующим образом: назначают достаточно большую вероят-
Если найти значение , для которого
то диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при
, будет
Равенство (1) запишем в виде:
Равенство (2) означает, что с вероятностью неизвестное значение па-
в значительной мере случайна и приближенная замена
в матема-
(1),
, а большие по модулю ошибки будут появляться с
(2).
. Отметим, что, если в теории ве-
тервал
Вероятность называют доверительной вероятностью, а интервал
- доверительным интервалом.
Если найдена несмещенная оценка для параметра и известен закон
распределения величины
решается просто методами теории случайных величин.
Однако, поскольку закон распределения для
деления исследуемой случайной величины, а, значит, и от его неизвестных параметров (в частности от ), то этот метод применить нельзя.
При большом числе опытов применяют следующий грубый приближенный прием: заменяют неизвестные параметры их точечными оценками.
Рассмотрим задачу о построении доверительного интервала для математического ожидания aнормально распределенной случайной величины. Эта задача имеет большое практическое значение, особенно при обработке результатов измерений.
Пусть производится серия независимых измерений для определения некоторой физической величины a. Обычно считают, что случайная ошибка измерения распределена по нормальному закону. Следовательно, результат измерения
ошибка также имеет нормальное распределение.
накроет точку .
, то задача нахождения доверительного интервала
зависит от закона распре-
Если отсутствуют систематические ошибки, то
.
82
n
i
i
x
n
a
1
1
~
21
~
,~aa
n
xxx ,...,,
21
n
xxx ,...,,
21
n
n
aa
u
~
tt ,
ttutP 21
x
t
dtex
2
2
2
1
tutP
t21
Таким образом, основная задача обработки результатов измерений –
оценка истинного значения измеряемой величины – математически формулируется как задача оценки математического ожидания или, по другому, центра
нормального распределения.
Частично решение этой задачи дает точечная оценка – выборочное сред-
нее
Однако, как мы говорили, если число измерений невелико, то значительно больший интерес представляет доверительная оценка, т. е. такой интервал
, который с заданной доверительной вероятностью (или, говорят,
надежностью) накрывает число a.
Рассмотрим эту задачу, когда - среднее квадратическое отклонение известно.
Итак, пусть получено n независимых результатов некоторого эксперимента:
Т.к. рассматриваемая случайная величина распределена нормально, то и
каждая из случайных величин
математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением
(следует из свойств математического ожидания и дисперсии).
Рассмотрим нормированную случайную величину
.
.
также распределена нормально с
.
Эта величина распределена нормально с математическим ожиданием,
равным 0 и дисперсией, равной 1. Для такой величины вероятность того, что
где
она примет значение из интервала
- функция Лапласа.
Т.к.
, то
определяется по формуле
,
.
83
2
1
t
t
t
n
aa
t
~
n
taa
n
ta
~~
i 1 2 3 4
5
i
x
-25
34
-20
10
21
42110203425
5
1
~
a
05,0
2
9,01
2
1
t
t
Откуда
ясь таблицей значений функции Лапласа, найти значение
тервала для нормированной случайной величины:
Т.е. мы получили доверительный интервал для центра распределения
нормально распределенной случайной величины при заданном .
Пример.
Произведено 5 независимых опытов над случайной величиной , рас-
пределенной нормально, с неизвестным параметром a и = 2. Результаты
опыта приведены в таблице:
. Таким образом, по заданному можно, пользу-
, т.е. границы ин-
.
Построить 90%-ный доверительный интервал.
Решение.
Найдем точечную оценку для математического ожидания:
.
По условию доверительная вероятность равна 0,9.
Тогда
По таблице значений функции Лапласа находим, что значению функции
0,05 соответствует значение аргумента -1, 65, т.е.
.
=1,65. Составим довери-
тельный интервал:
84
5
2
65,14
5
2
65,14 a
n
xxx ,...,,
21
,xf
,...,,,,...,,
2121 nn
xfxfxfxxxL
0
L
n
xxx ,...,,
~~
21
0
L
0
ln1
LL
L
или 2,53<a<5,47.
4.5. Методы статистического оценивания неизвестных параметров
Для получения оценок используют различные методы. Широко применяются метод максимального правдоподобия и метод моментов.
Оценки, полученные при помощи метода максимального правдоподобия,
отвечают большинству изложенных требований. Сущность метода максимального правдоподобия заключается в нахождении таких оценок неизвестных параметров, для которых функция правдоподобия при случайной выборке объема
n будет иметь максимальное значение. Если
случайной величины
,зависящая от параметра , то функцией правдоподобия называется
функция
Для нахождения оценки максимального правдоподобия необходимо раз-
решить уравнение
обращает L в максимум. Вместо уравнения
сматривать уравнение
Метод максимального правдоподобия обладает важными достоинствами:
он всегда приводит к состоятельным (хотя иногда и смещенным) оценкам, распределенным асимптотически нормально, имеющим наименьшую возможную
дисперсию по сравнению с другими, асимптотически нормальными оценками,
и наилучшим образом (в некотором смысле) использующим всю информацию о
неизвестном параметре, содержащуюся в выборке. Однако на практике он часто
приводит к необходимости решать весьма сложные системы уравнений.
Другим способом, часто приводящим к значительно более простым и
удобным характеристикам, является метод моментов. Моменты выборки являются оценками для моментов распределения величины , которые зависят
, плотностью которой является функция
и отобрать то решение
чаще бывает удобнее рас-
.
- выборка значений
.
, которое
от неизвестных параметров. В свою очередь оцениваемые параметры могут
быть выражены в виде определенных функций теоретических моментов. Заменяя эти последние их оценками, т. е. моментами выборочного распределения,
85
baxy
.2cbxaxy
мы получим оценки дл параметров. Нужно отметить, что этот метод иногда
приводит к малоэффективным оценкам. Поэтому иногда оценки, получаемые с
помощью этого метода, принимаются в качестве первого приближения, по которому можно определять другими методами оценки более высокой эффективности.
4.6. Сглаживание экспериментальных зависимостей
по методу наименьших квадратов
Одной из важных задач математической статистики является задача обра-
ботки результатов экспериментов и, в связи с этим, возникает вопрос о сглаживании экспериментальных зависимостей.
Если целью опыта является исследование зависимости некоторой физи-
ческой величины у от физической величины x, и предполагается, что эти величины связаны функциональной зависимостью y = f(x), то из опыта требуется
определить вид этой зависимости.
В результате опыта получаем ряд экспериментальных данных, которые
изображаем в виде графика.
Расположение точек на графике дает некоторое представление о виде за-
висимости между величинами x и y. Однако, в связи с неизбежными ошибками
измерения, обычно наблюдается некоторый разброс точек, т.е. уклонения от
общей закономерности.
Поэтому возникает задача о сглаживании экспериментальных зависимо-
стей таким образом, чтобы правильно отразить общую тенденцию зависимости
величины y от величины x.
Наиболее часто в этих случаях применяется метод наименьших квадра-
тов. Вид функциональной зависимости можно предположить по расположению
экспериментальных точек на графике.
Например: для точек, изображенных на рис.4.6. явно подходит линейная
зависимость
зависимость
, а для точек на рис.4.7. просматривается квадратичная
y y
0 x 0 x
Рис. 4. 5. Рис. 4. 6.
86
)(xfy
n
i
ii
xfy
1
2
.min)(
baxy
.,,...,,,,
2211 nn
yxyxyx
.baxy
baxy
n
i
ii
baxybayx
1
2
,,,
n
i
ii
n
i
iii
baxy
дb
дФ
xbaxy
дa
Ф
1
1
12
2
Кроме того, часто тип зависимости известен заранее из физических сооб-
ражений.
Но в любом случае требуется определить параметры искомой зависимо-
сти таким образом, чтобы эта зависимость наилучшим образом отображала
экспериментальную зависимость.
Согласно методу наименьших квадратов это условие выполняется, если
сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от точек сглаживающей
кривой
Рассмотрим применение этого метода для нахождения параметров линей-
ной зависимости
ний исследуемых величин:
чек на графике предполагаем, что x и y связаны линейной зависимостью
y
0 x
Необходимо найти параметры a и b искомой зависимости так, чтобы
- минимальна, т.е.
. Пусть в результате опыта получено n пар значе-
По расположению то-
Рис. 4.7.
функция Ф
Продифференцируем эту функцию по a и b:
и приравняем полученные производные к нулю.
была минимальна.
87
n
i
ii
n
i
iii
baxy
xbaxy
1
1
0
,0
n
i
n
i
ii
n
i
n
i
n
i
iiii
nbxay
xbxaxy
1 1
1 1 1
2
0
0
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 2 3 7 10
13
17
20
22
25
29
y
248
225
204
171
121
138
82
101
73
49
или
Таким образом, получили систему, решив которую, найдем a и b.
Отметим, что, преобразовав эту систему, можно показать, что все суммы,
входящие в уравнения системы, выражаются через начальные или центральные
моменты первого и второго порядков.
Примеры
1. В результате эксперимента получена зависимость между двумя вели-
чинами в виде 10 пар точек. Экспериментальные данные приведены в таблице
4.4. и на графике (рис.4.8.).
Таблица 4.4.
(1)
y
250
200
150
100
50
0 5 10 15 20 25 30 x
Требуется по методу наименьших квадратов подобрать и построить прямую, изображающую связь между x и y.
Рис. 4. 8.
88
.130 ,15
00
yx
130 ,15
iiii
yyxx
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
-13
-12
-8
-5
-2 2 5 7 10
14
y
118
95
74
41
-9 8 -48
-29
-57
-81
10
1
214105722581213
i
i
x
10
1
1128157294889417495118
i
i
y
10
1
22222
22222
2
;78014107522581213
i
i
x
.558481145710
2974858292748951211813
10
1
i
ii
yx
.0102112
,027805584
ba
ba
.770.9 ,152,7 ba
770,915152,7130 xy
.05,247152,7 xy
.3230 ;2470 yy
Решение.
Для удобства вычислений перейдем к условным вариантам, взяв в качестве ложного нуля точку:
Тогда
Составим таблицу для новых вариант:
Таблица 4.5.
Проведем необходимые вычисления:
.
;
;
Подставим полученные значения в систему (1):
Решив систему, получим
Переходя к первоначальным вариантам запишем уравнение сглаживающей прямой:
или
Построим эту прямую по точкам:
89
05,247152,7 xy
100
0
U
.
0
at
eUU
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
i
t
(сек)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i
t
(вольт)
100
75
55
40
30
20
15
10
10 5 5
ae10
1005
05,010
a
e
y
250
200
150
100
50
0 5 10 15 20 25 30 x
Рис. 4. 9.
2. Конденсатор, заряженный до напряжения
вольт, разряжается
через некоторое сопротивление. Зависимость напряжения U между обкладками конденсатора от времени t зарегистрирована на участке времени 10 сек с интервалом 1 сек.
Напряжение измеряется с точностью до 5 вольт. Результаты измерения
приведены в таблице 4.6.
Согласно теоретическим данным зависимость напряжения от времени
должна иметь вид:
Основываясь на опытных данных, подобрать методом наименьших квадратов значение параметра a.
Таблица 4.6.
Решение.
Т.к. за 10 сек напряжение падает до 5 вольт, то
или
.
90
xe
,3x
,310 a
a
at
eUU
0
.56100
229,0
eU
i
i
t
a
=0,28
a
=0,29
a
=0,30
a
=0,31
a
=0,32
a
=0,33
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100.0
75.5
57.1
43.2
32.6
24.6
18.6
14.1
10.7
8.0
6.1
100.0
74.8
56.0
41.9
31.3
23.5
17.6
13.1
9.8
7.4
5.5
100.0
74.1
54.9
40.7
30.1
22.3
16.5
12.2
9.1
6.7
5.0
100.0
73.3
53.8
39.5
28.9
21.2
1.6
11.4
8.4
6.1
4.5
100.0
72.6
52.7
38.3
27.8
20.2
14.7
10.6
7.7
5.6
4.1
100.0
71.9
51.7
37.2
26.7
19.2
13.8
9.9
7.1
5.1
3.7
a
83.3
41.0
17.4
13.6
25.7
51.4
22222
3.31309.41400.56558.74750.100100a
.0.415.554.758.9101.13106.17155,2320
222222
a
С помощью таблицы значений функции
тельного значения 0,05 она достигает при
тельно, параметр a должен иметь значение, близкое к 0,3.
Возьмем несколько значений a, близких к a=0,3:
=0,28; a=0,29; a=0,31; a=0,32; a=0,33.
Составим таблицу значений функции
Например, a=0,29, t=2:
Таблица 4.7.
определяем, что приблизи-
т.е.
для этих значений a.
а, следова-
В нижней строке таблицы помещены значения суммы квадратов отклоне-
ний между значениями напряжения, помещенными в таблице 4.6. и вычисленными значениями напряжения в таблице 4.7.
Например, при a=0,29 получим:
Построим по точкам график функции
:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]