Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы прогнозирования технологической и технической эффективности процессов и аппаратов пищевых производств. Учебное пособие
.pdf
71
deKS
jXX
1
XY
SjHS
2
.
2
1
deSK
j
XX
Y
K
0
YY
KD
0
dSD
YY
2
1
0
dSD
YY
txtyty 3'2
tX
1
X
m
2
eK
X
Y
m
Y
D
XY
m
a
b
m
0
0
3 ,1 ,2
001
baa
.
4. Находим спектральную плотность на выходе:
.
5. Находим корреляционную функцию
Если в задаче требуется найти не всю корреляционную функцию
на выходе системы, а только дисперсию
или в силу четности спектральной плотности
Пример.
Работа линейной динамической системы описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка
На вход системы поступает стационарная случайная функция
, то при
.
получаем
.
с ма-
тематическим ожиданием
Найти математическое ожидание
мы.
Решение.
1. Математическое ожидание на выходе:
Из уравнения системы находим
и корреляционной функцией
и дисперсию
на выходе систе-
.
.
.
72
31
1
3
Y
m
123p
pH
12
3
j
jH
2
2
2
123j
jH
14
9
2
)1(
2
j
deKS
jXX
1
dее
j
2
1
0
0
22
11
dede
jj
0 0
)2()2(
11
dede
jj
0
22
2
11
2
11
jj
e
j
e
j
2
4
4
2
11
2
11
jj
4
4
14
9
22
2
XY
SjHS
414
136
22
Тогда
2. Амплитудно – частотная характеристика системы:
Т. к. передаточная функция имеет вид
. Тогда
3. Спектральная плотность на входе:
=
.
=
,
, то
.
=
=
4. Спектральная плотность на выходе:
.
.
73
0 0
22
414
136
ddSD
YY
414
1
22
4
1
15
1
14
1
15
4
414
1
2222
5
9
2
arg
2
1
15
136
2arg
2
1
15
436
00
tgtgD
Y
tX
iii
tt
1
tX
i
i
t
tX
i
A
i
i
t
5. Дисперсия на выходе:
.
Методом неопределенных коэффициентов разложим дробь
на простейшие дроби:
. Тогда
3.8. Импульсные случайные функции
Результат протекания процесса
ни t. Любые самые совершенные средства съема, обработки и анализа инфор-
мации о процессе имеют определенные ограничения по частоте. Поэтому всегда можно выделить какой – то отрезок времени
рого фактические значения о процессе отсутствуют, и величина
тервала
является импульсным (рис. 3.6.).
X(t)
принимается равной значению, полученному в момент времени
Это приводит к тому, что графическое изображение случайной функции
известен только для момента време-
, в течение кото-
.
для ин-
.
t
Рис. 3.6.
74
tX
tX
tX
Новая информация о процессе скачкообразно изменяет значения функции
, т. е. функция
Импульсная случайная функция представляет собой последовательность
импульсов, следующих друг за другом через некоторые промежутки времени.
Случайными в таких функциях могут быть амплитуда, форма, длительность
времени появления импульса и т. п.
Простейшим импульсным случайным процессом является следующий: в
течение времени t происходят события, подчиненные закону Пуассона. При
наступлении события случайная функция
чение независимо от того, какое оно было до этого, и сохраняет это значение
постоянным до наступления следующего события.
в этот момент получает импульс.
скачкообразно меняет свое зна-
4. Элементы математической статистики
4.1. Генеральная совокупность. Выборка и способы ее представления
Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах
из данных наблюдений или экспериментов. Эти выводы и заключения относятся не к отдельным испытаниям, из повторения которых и складывается данное
массовое явление, а представляют собой утверждения об общих вероятностных
характеристиках данного процесса, т. е. о вероятностях, законах распределения,
математических ожиданиях и т. д. Такое использование фактических данных
как раз и является отличительной чертой статистического метода.
Пусть изучается некоторая случайная величина и с этой целью производится ряд независимых опытов или наблюдений, в каждом из которых вели-
чина принимает то или иное значение.
Под генеральной совокупностью понимают все допустимые значения
случайной величины. На практике обычно располагают лишь ограниченным
числом значений исследуемой случайной величины, представляющим выборку
из генеральной совокупности.
Выборка называется репрезентативной, если она дает достаточное представление об особенностях генеральной совокупности.
Если о генеральной совокупности ничего не известно, то единственной
гарантией репрезентативности выборки может служить случайный отбор.
Из случайного характера выборок вытекает, что любое суждение о генеральной совокупности по выборке само случайно.
Предположим, что в результате эксперимента получена выборка из n значений случайной величины .
75
minmax
xx
k
xxx ,...,,
21
i
x
i
m
i
m
n
m
i
i
i
x
k
i
i
nm
1
k
ii1
1
ii
mx ,
ii
x,
1
x
2
x
…
k
x
i
m
1
m
2
m
…
k
m
1
x
2
x
…
k
x
i
1
2
…
k
i
m
i
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
ряд.
Элементы выборки, упорядоченные по величине, образуют вариационный
Разность между максимальным и минимальным элементами выборки
называется размахом выборки.
Если число элементов выборки равно n и среди них присутствует k различных:
называется частотой, а число
.
Понятно, что
Последовательность пар
ским рядом.
Для наглядности статистический ряд записывается в виде таблицы (табл.
4.1. или табл. 4.2.):
Таблица 4.1.
Таблица 4.2.
, причем элемент
, а
встречается
- относительной частотой элемента
.
или
называется статистиче-
раз, то число
Графики, построенные по данным табл. 4.1. или табл. 4.2. называются,
соответственно, полигоном частот (рис. 4.1.) или полигоном относительных
частот (рис.4.2.)
1
0
x 0
x
76
maxmin
xx
nk lg 2,31
k
xx
h
minmax
i
m
n
m
i
i
2
11
ii
i
xx
x
Интервал
Длина интервала
Середина
интервала
Число точек
в интервале
Относительная
частота
1
2
.
.
.
i
.
.
.
k
1
min
,xx
2
1
,xx
.
.
.
i
i
xx ,
1
.
.
.
max1
,xx
k
1
x
2
x
.
.
.
i
x
.
.
.
k
x
1
m
2
m
.
.
.
i
m
.
.
.
k
m
1
2
.
.
.
i
.
.
.
k
Рис. 4. 1. Рис. 4. 2.
При обработке выборок больших объемов используют метод «сгруп-
пированных данных»: выборка объема n преобразуется в статистический ряд.
Для этого весь диапазон изменения случайной величины в выборке
делится на k равных интервалов. Число интервалов можно выби-
рать по полуэмпирической формуле
с округлением до ближайшего целого.
Длина интервала h равна
Число элементов выборки, попавших в i – ый интервал, обозначим через
, тогда
величины в i –ый интервал. Все точки, попавшие в i – ый интервал, относят к
его середине
Статистический ряд имеет вид:
Таблица 4.3.
определяет относительную частоту попадания случайной
.
.
эмпирического или выборочного распределения (рис.4.3.).
График, построенный по данным таблицы 4.3., называется гистограммой
77
1
min
,xx
2
1
,xx
max1
,xx
k
h
i
h
i
min
x
1
x
2
x
3
x
4
x
1k
x
max
x
n
xxx ,...,,
21
x
n
n
n
x
xF
n
n
n
xF
x
n
xF
n
xF
n
xF
x
0xF
n
1xF
n
Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из
прямоугольников, основаниями которых являются интервалы
,…,
всей ступенчатой фигуры равна 1.
………..
0
длины h, а высоты равны
Рис. 4.3.
. Таким образом, площадь
,
x
Пусть в результате эксперимента получена выборка
ной величины , а x – некоторая точка оси Ox. Обозначим через
борочных значений, расположенных левее x на той же оси. Отношение
представляет собой частоту наблюденных в выборке значений случайной величины , меньших x. Эта частота есть функция от x. Обозначим ее
Функция распределения
пирической или выборочной функцией распределения (в отличие от функции
распределения генеральной совокупности или теоретической функции распределения). При достаточно большом объеме выборки функцию распределения
генеральной совокупности приближенно можно заменить выборочной функцией распределения.
Формально функция
функции распределения
, однако ее значения дают не вероятности, а ча-
, получаемая по выборке, называется эм-
обладает всеми свойствами теоретической
.
случай-
число вы-
:
стости неравенства
мального элемента выборки,
та выборки,
в данной выборке. Для x, меньших (и равных) мини-
, для x, больших максимального элемен-
. Если расположить элементы выборки в виде вариацион-
78
xF
n
n
1
n
m
xF
n
n
1
n
k
xF
n
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
n
x
ного ряда, то в промежутке между двумя соседними элементами
няет постоянное значение, равное числу, кратному
). При переходе через точки оси Ox, отвечающие элементам выборки,
претерпевает разрыв, скачком изменяясь от одного своего значения к другому
на величину
График эмпирической функции распределения имеет вид:
1
, а при совпадении k наблюдений – на
, (т.е. равное дроби вида
.
сохра-
4.2. Оценки параметров распределения и требования к ним
Для нахождения закона распределения случайной величины по опытным
данным надо располагать большим статистическим материалом, что не всегда
возможно. Однако, на практике, редко встречается такая ситуация, когда закон
распределения полностью неизвестен. Чаще всего бывает так, что вид закона
распределения ясен заранее (из каких – либо теоретических соображений), а
требуется найти только некоторые параметры, от которых он зависит. В некоторых задачах и сам вид закона распределения несуществен, а требуется найти
только его числовые характеристики. В таких случаях можно обойтись сравнительно небольшим числом наблюдений – порядка одного или нескольких десятков.
По выборке могут быть рассчитаны статистические характеристики (выборочное среднее, выборочная дисперсия и др.), которые являются оценками
соответствующих генеральных параметров. Оценки, полученные по выборке,
сами являются величинами случайными.
0
Рис. 4.4.
x
79
n
xxx ,...,,
~~
21
n
0
0
~
P
n
n
xxx ,...,,
~~
21
~
M
n
n
xxx ,...,,
~~
21
Возникает вопрос о требованиях, которые следует предъявлять к статистическим оценкам, чтобы эти оценки были в каком – то определенном смысле
надежными. Эти требования формулируются обычно с помощью следующих
трех свойств оценок: состоятельности, несмещенности и эффективности.
1. Состоятельность.
Оценка
стоятельной, если по мере роста числа наблюдений n (т. е. при
стремится по вероятности к оцениваемому значению , т. е. если для сколь
угодно малого
С одной стороны, требование состоятельности представляется необходимым для того, чтобы оценка имела практический смысл.
С другой стороны, свойство состоятельности – это асимптотическое (по
числу наблюдений n) свойство, т.е. оно может проявиться лишь при столь
больших объемах выборок, до которых мы на практике не «добираемся». Кроме
того, в большинстве ситуаций можно предложить несколько состоятельных
оценок одного и того же параметра.
Поэтому свойства состоятельности недостаточно для полной характеристики надежности оценки.
2. Несмещенность.
Оценка
смещенной, если при любом объеме выборки n результат ее осреднения по всем
возможным выборкам данного объема приводит к точному истинному значе-
неизвестного параметра называется со-
) она
при
неизвестного параметра называется не-
.
нию оцениваемого параметра, т. е.
смещенности устраняет систематическую погрешность оценивания, которая,
вообще говоря, зависит от объема выборки n и в случае состоятельности оценки
стремится, как правило, к нулю при
выяснить, то оно легко устраняется.
3. Эффективность.
Оценка
фективной, если она среди всех прочих оценок того же самого параметра обла-
дает наименьшей мерой случайного разброса относительно истинного значения
оцениваемого параметра.
Эффективность является решающим свойством, определяющим качество
оценки, и оно, вообще говоря, не предполагает обязательного соблюдения
свойства несмещенности.
неизвестного параметра называется эф-
. Удовлетворение требованию не-
. Если смещение оценки удалось
80
n
xxx ,...,,
21
M
~
n
xxx ,...,,
21
n
i
i
x
n
1
1
~
~
n
i
i
n
i
i
x
n
x
n
s
1
22
1
2
2
~
1
~
1
D
n
nMs12
D
2
s
n
i
i
x
n
s
n
n
s
1
2
22
1
~
1
1
1
~
4.3. Оценки для математического ожидания и дисперсии
Пусть в результате эксперимента получена выборка
ной величины . Оценкой для математического ожидания
величины является выборочное среднее
наблюденных значений
Эта оценка является состоятельной и несмещенной. Ее эффективность
или неэффективность зависит от вида закона распределения величины . Если
распределена по нормальному закону, то оценка
Для других законов распределения это может быть и не так.
При больших объемах выборок в качестве оценки для дисперсии можно
пользоваться выборочной дисперсией
:
, равное среднему арифметическому
.
является эффективной.
этой случайной
.
случай-
Однако эта оценка является смещенной, т. к.
чит, что, пользуясь этой оценкой вместо дисперсии
некоторую систематическую ошибку в меньшую сторону. Это существенно при
малых объемах выборок. Чтобы ликвидировать это смещение надо ввести по-
правку, умножив
дет являться исправленная выборочная дисперсия:
Оценки неизвестного параметра в виде одного числа называются точечными. Однако в ряде задач требуется не только найти для параметра подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность.
Т. е. требуется знать – к каким ошибкам может привести замена парамет-
на
. Тогда несмещенной оценкой для дисперсии бу-
4.4. Интервальные оценки
, мы будем совершать
.
. Это зна-
ра его точечной оценкой
что эти ошибки не выйдут за известные пределы?
, и с какой степенью уверенности можно ожидать,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]