Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы прогнозирования технологической и технической эффективности процессов и аппаратов пищевых производств. Учебное пособие
.pdf
41
txtxtx
n
,...,,
21
tX
tx
3
tx
2
tx
1
1
t
2
t
1
tt
11211
..., , , txtxtx
n
2
tt
22221
..., , , txtxtx
n
tX
txF /
1
xtXPtxF /
1
tX
tX
'//
1
x
txFtxf
Таким образом, в результате n опытов получаем n реализаций:
.
Т. е. случайная функция
ется в случайную величину, а в результате каждого опыта – в обычную (неслучайную) функцию.
X(t)
0
при фиксированном значении t превраща-
t
Рис. 2.1.
В сечении при
при
Каждое сечение случайной функции – это случайная величина, имеющая
свой закон распределения, который, вообще говоря, зависит от аргумента t.
Такой закон распределения называется одномерным.
Одномерной функцией распределения случайной функции
функция распределения
рованном значении t:
Если случайная величина
ции
которая определяется как производная от функции распределения:
- непрерывна, то говорят об одномерной плотности распределения,
получаем значения
:
сечения этой случайной функции при фикси-
, являющаяся сечением случайной функ-
;
.
является
.
.
42
tX
tM
X
tXMtM
X
tM
X
tX
tD
X
tX
tXDtD
X
tM
X
tDtXX
Если для обычных случайных величин числовые характеристики – это
определенные числа, то для случайных функций они являются, вообще говоря,
функциями аргумента t.
Математическим ожиданием случайной функции
случайная функция
математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции:
Таким образом, математическое ожидание случайной функции – это некоторая средняя неслучайная функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции.
X(t)
0 t
, которая при каждом значении аргумента t равна
.
Рис. 2.2.
называется не-
Дисперсией случайной функции
, которая при каждом значении аргумента t равна дисперсии соответ-
ствующего сечения случайной функции
Дисперсия случайной функции при каждом значении t характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего, т. е.
математического ожидания
Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дис-
персии, т. е.
Одномерных законов распределения случайной функции недостаточно
для правильного суждения о внутренней структуре случайного процесса. Необ-
.
называется неслучайная функция
:
.
.
43
tX
21
tи t
1
tX
2
tX
tX
tX
212
,/, ttyxF
1
tX
2
tX
.)(,)(,/,
21212
ytXxtXPttyxF
)(1tX
)(2tX
212
,/, ttyxF
.
,/,
,/,
212
2
212
yx
ttyxF
ttyxf
21
, и , tytx
1
t
2
t
tM
X
tD
X
ходимо иметь представление о наличии и степени зависимости между сечениями случайной функции.
Значения случайной функции в различных сечениях (если расстояние
между ними не очень велико) в определенной мере зависят одно от другого.
в одном сечении определяет с некоторой вероятностью его ближайшее
следующее значение. Это связано с тем, что реальные процессы, какими бы
случайными они не были, не могут протекать сколь угодно быстро, а имеют
инерционность. Случайный процесс на участке Т можно с определенным приближением описать, указав совместный (n – мерный) закон распределения вероятностей для n его сечений с учетом связей между случайными величинами в
разных сечениях. Чем на большее число сечений n разделен случайный процесс, тем точнее описывается он на рассматриваемом участке. Однако практически редко удается получить аналитическое описание n – мерного распределения случайного процесса. Поэтому при исследовании законов распределения
случайной функции ограничиваются рассмотрением частных случаев: совместными законами распределения двух сечений случайной функции.
Пусть
чайной функции
Двумерным законом распределения случайной функции
закон распределения двух ее сечений.
Двумерной функцией распределения
совместного распределения этих сечений
Если
ния определяется следующим образом:
- два момента времени, а
, соответствующие этим моментам времени.
и
дважды дифференцируема, то двумерная плотность распределе-
- непрерывные случайные величины и
и
и
- два сечения слу-
называется
называется функция
:
Таким образом, двумерный закон распределения представляет собой
функцию четырех аргументов:
ет вероятное описание реализации процесса в двух сечениях
определить совместную вероятность двух состояний процесса в этих сечениях.
Могут быть различные типы случайных функций, имеющие одинаковые мате-
матические ожидания
чайных функций будет иметь плавные закономерные изменения во времени,
реализация других случайных функций будет носить хаотический характер ко-
и дисперсии
. Двумерный закон распределения да-
и
и позволяет
, но реализация одних слу-
44
),(21ttK
1
t
2
t
1
t
2
t
.,
221121
tMtXtMtXMttK
XXX
1
tX
2
tX
12
tt
1
tX
2
tX
1
t
2
t
1
t
2
t
., tDttK
XX
)( и )(
21
tXtX
).,(),(
1221
ttKttK
),(21ttK
:,21ttr
X
лебаний без явной связи амплитуд во времени. Для описания внутренней структуры случайной функции используется специальная характеристика, которая
называется корреляционной (автокорреляционной) функцией. Корреляционная
функция определяет степень зависимости между двумя сечениями случайной
функции для различных сечений.
Корреляционной функцией случайной функции X(t) называется неслучай-
ная функция
любой паре значений
ответствующих сечений случайной функции:
Корреляционная функция является мерой связи между случайными величинами
кой мере процесс сохраняет свое значение с течением времени; она показывает,
в какой мере будущее значение случайной функции зависит от ее значения в
настоящее время. Для случайной функции, плавно изменяющейся во времени,
корреляционная функция убывает медленно. Между ее сечениями с ростом ин-
тервала
случайной функции, подверженной частым и резким изменениям, эта связь
быстро сходит на нет. Так как степень затухания функции корреляции с увеличением интервала τ зависит от скорости, с которой в среднем протекает процесс, то по характеру функции корреляции судят о скорости протекания процесса. Таким образом, корреляционная функция может являться характеристикой степени стабильности потока материала.
и
двух действительных аргументов
и
равна корреляционному моменту (ковариации) со-
, поэтому ее используют для того, чтобы оценить, в ка-
связь значений
и
сохраняется. Напротив, для
и
, которая при
Если аргументы
функция обращается в дисперсию случайной функции:
Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает: в качестве основных характеристик случайной
функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляцию.
Т.к. корреляционный момент двух случайных величин
сит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, то кор-
реляционная функция симметрична относительно своих аргументов:
Вместо корреляционной функции
ванной корреляционной функцией
и
совпадают, т.е.
=
можно пользоваться нормиро-
= t, то корреляционная
не зави-
45
21
21
21
),(
,
tt
ttK
ttr
XX
X
X
)( и )(
21
tXtX
1
t
2
t
.1
,
),(
22
t
tD
t
ttK
ttr
X
X
X
X
X
.1,
21
ttr
X
.,
221121
tMtYtMtXMttK
YXXY
tt
ttK
R
YX
XY
XY
21
,
1
t
2
t
tX
tY
21
,ttK
XY
tX
tY
,
которая представляет собой коэффициент корреляции случайных величин
.
При
В остальных случаях:
Если X(t) и Y(t) – две случайные функции, то взаимной корреляционной
функцией связи этих функций называется неслучайная функция
Нормированная корреляционная функция связи равна
=
= t нормированная корреляционная функция равна единице:
.
Взаимная корреляционная функция двух случайных процессов выражает
степень вероятностной зависимости между ними. Если взаимная корреляцион-
ная функция равна нулю при всех значениях
и
нице, это говорит о тесной связи между
реляционную функцию удобно использовать для оценки степени связи двух по-
токов материалов, близости их свойств и т. п.
Определение характеристик случайных функций непосредственно из
опыта применяется далеко не всегда: во – первых, потому, что опыты могут
оказаться сложными и дорогостоящими, во – вторых, в ряде случаев это бывает
невозможно.
будут некоррелированными, а если же
2.2. Определение характеристик случайных функций.
Оператор динамической системы
и
и
, то случайные функции
близка к еди-
. Поэтому взаимную кор-
46
.txAty
.tXAtY
В таких случаях, как и для случайных величин, применяют косвенные
методы исследования случайных функций, когда характеристики случайных
функций определяются косвенно по характеристикам других случайных функций, с ними связанных.
Рассмотрим динамическую систему А, под которой будем понимать лю-
бой прибор, систему автоматического управления и т.п. На вход системы
непрерывно поступают какие-то входные данные, которые система перерабатывает и непрерывно выдает некоторый результат. Будем называть поступающие на вход системы данные «воздействием», а выдаваемый результат «реак-
цией» системы на это воздействие. Самый простой случай: на вход системы А
подается только одно воздействие, представляющее собой функцию времени
x(t), а реакция системы на это воздействие есть другая функция времени y(t).
Условно схема работы системы изображена на рисунке:
Воздействие Реакция
x(t) A y(t)
Рис. 2.3.
Система А осуществляет над входным воздействием некоторое преобра-
зование, в результате которого функция x(t) преобразуется в другую функцию
y(t). Символически это записывается следующим образом:
При исследовании динамической системы в первую очередь решается ос-
новная задача: по заданному воздействию x(t) определить реакцию системы
y(t). В действительности воздействие x(t) никогда не поступает на вход системы
в чистом виде: оно всегда искажено некоторыми случайными ошибками (возмущениями), в результате которых на систему фактически воздействует не заданная функция x(t), а случайная функция X(t). Соответственно, и вырабатывает система в качестве реакции случайную функцию Y(t).
Таким образом возникает задача: на вход динамической системы посту-
пает случайная функция X(t), система подвергает ее известному преобразованию, в результате чего на выходе системы появляется случайная функция:
Известны характеристики случайной функции X(t): математическое ожи-
дание и корреляционная функция. Требуется найти аналогичные характеристики случайной функции Y(t). Эта задача может быть решена в одном частном, но
47
dt
tdx
ty
dxty
t
0
txAty
txAtxAtxtxA
21
2
1
txActxcA
tX
tm
X
21
,ttK
X
tY
tX
dt
tdX
tY
dt
tdm
tm
X
Y
21
21
2
21
,
,
dtdt
ttKd
ttK
X
Y
очень важном случае, когда преобразование А является линейным, соответственно , и система А тоже линейна.
Правило А, по которому функция x(t) преобразуется в функцию y(t),
называется оператором; например, оператор дифференцирования
оператор интегрирования
Если динамическая система преобразует поступающую на ее вход функ-
цию x(t) в функцию y(t):
ром динамической системы.
Наиболее важным для практики является класс линейных операторов.
Оператор А называется линейным однородным, если он обладает следу-
ющими свойствами:
1)
2)
К таким операторам относятся операторы дифференцирования и интегри-
рования.
1. Оператор дифференцирования.
.
, то оператор А называется операто-
;
, где с = const.
,
Пусть
корреляционной функцией
случайной функцией
вания:
т.е. математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания.
т.е. корреляционная функция производной от случайной функции равна второй
смешанной производной от корреляционной функции исходной случайной
функции.
– случайная функция с математическим ожиданием
и случайная функция
линейным однородным оператором дифференциро-
.
Тогда
,
,
связана со
и
48
tX
tm
X
21
,ttK
X
tY
tX
t
dXtY
0
t
XY
dmtm
0
1 2
0 0
212121
,,
t t
XY
ddKttK
tX
tXLtY
tY
tX
tmLtm
XY
tX
2121
,,
21
ttKLLttK
X
tt
Y
ttKtD
YY
,
2. Оператор интегрирования.
Пусть
корреляционной функцией
случайной функцией
т.е. математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания.
т.е. корреляционная функция интеграла от случайной функции равна повтор-
ному интегралу от корреляционной функции исходной случайной функции.
Можно доказать, что если L – линейный однородный оператор преобра-
– случайная функция с математическим ожиданием
и случайная функция
линейным однородным оператором интегрирования
.
Тогда
,
,
связана со
и
зует случайную функцию
нахождения математического ожидания случайной функции
нить тот же оператор к математическому ожиданию случайной функции
т.е.
жды применить тот же оператор к корреляционной функции случайной функции
цию на выходе линейной системы, а дисперсию, характеризующую точность
работы системы в условиях наличия случайных возмущений. Дисперсию мож-
но найти, зная корреляционную функцию:
знать дисперсию на ее входе, а существенно важно знать корреляционную
функцию. Линейная система может совершенно по- разному реагировать на
случайные возмущения, поступающие на ее вход, в зависимости от того, какова
внутренняя структура этих случайных возмущений; состоят ли они, например,
, сначала по одному аргументу, потом – по другому:
Во многих практических задачах важно знать не корреляционную функ-
Для определения дисперсии на выходе линейной системы недостаточно
, а для нахождения корреляционной функции надо два-
в случайную функцию
, то для
надо приме-
.
.
,
49
tX
ttm
x
sin
2
12
21
,
tt
XX
eDttK
X
D
tX
tY
tX
tX
dt
d
tY
ttm
dt
d
tm
XY
cos
2
12
21
21
2
21
212
,
,
2
12
tteD
dtdt
ttKd
ttK
tt
X
X
Y
ttKtD
YY
,
21
ttt
XYDtD 2
tD
Y
XYDD 2
X
D
tX
по преимуществу из высокочастотных или низкочастотных колебаний. Внутренняя же структура случайного процесса описывается не его дисперсией, а
корреляционной функцией.
Пример.
На вход дифференцирующего механизма поступает случайная функция
с математическим ожиданием
ции
стемы.
Решение.
Случайная функция
оператором дифференцирования:
Тогда
и корреляционной функцией
, где
. Определить математическое ожидание и дисперсию на выходе си-
на выходе системы связана с воздействием
- постоянная дисперсия случайной функ-
.
;
.
Т.к.
не зависит от t, следовательно,
Таким образом, дисперсия на выходе дифференцирующего механизма зависит не только от дисперсии
характеризующего быстроту затухания корреляционной связи между сечениями случайной функции
Если коэффициент мал, корреляционная связь затухает медленно, случайная функция изменяется со временем сравнительно плавно, и, естественно,
дифференцирование такой функции приводит к сравнительно малым ошибкам.
Напротив, если коэффициент велик, корреляционная функция убывает быстро; в составе случайной функции преобладают резкие, беспорядочные
высокочастотные колебания; естественно, дифференцирование такой функции
приводит к большим случайным ошибкам. В таких случаях обычно прибегают
, то при
на входе, но также и от коэффициента ,
при возрастании промежутка между ними.
получим
.
, т.е.
50
dt
d
p
txpty
dt
tdx
ty
2
p
2
2
2
dt
txd
txp
txb
dt
tdx
b
dt
txd
b
dt
txd
b
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
01
1
1
1
01
1
1
1
...
...
txbpbpbpb
tyapapapa
m
m
m
m
n
n
n
n
01
1
1
01
1
1
...
...
dt
d
p
01
1
1
... apapapapA
n
n
n
nn
к сглаживанию дифференцируемой функции, т. е. так меняют оператор системы, чтобы он давал меньшие случайные ошибки на выходе.
2.3. Линейная динамическая система
В математике и технике широко применяется условная форма записи
операторов, которая позволяет избегать сложных преобразований и записывать
формулы в простой и удобной форме.
Оператор дифференцирования часто обозначается буквой p:
торую помещают перед функцией, подлежащей дифференцированию в виде
множителя: запись
Двойное дифференцирование обозначается множителем
Пусть работа динамической системы А описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, связывающим реакцию системы y(t) с воздействием x(t).
В обычной форме записи это дифференциальное уравнение имеет вид:
равносильна записи
.
.
:
, ко-
В символической форме это уравнение может быть записано в виде:
где
Если обозначить полиномы, входящие в уравнение:
- оператор дифференцирования.
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]