Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы прогнозирования технологической и технической эффективности процессов и аппаратов пищевых производств. Учебное пособие
.pdf
31
.),(
MMdxdyyxxyfK
,,
,,
K
,
D
.
D
0
K
0,
.1,1
.1,1
n
,...,,
21
n
,...,,
21
n
,...,,
21
для непрерывной случайной величины
Можно доказать, что, если случайные величины и независимы, то их
корреляционный момент равен нулю. Кроме корреляционного момента для ха-
рактеристики связи между случайными величинами применяют безразмерный
коэффициент, называемый коэффициентом корреляции
числяется по формуле:
где
Т.к. для независимых случайных величин
.
Случайные величины, для которых корреляционный момент (а, значит, и
коэффициент корреляции) равен нулю, называются некоррелированными. Таким образом, из независимости случайных величин следует их некоррелированность, но не наоборот. Можно привести примеры некоррелированных случайных величин, являющихся, однако, зависимыми.
Коэффициент корреляции характеризует наличие линейной вероятностной зависимости между случайными величинами, которая состоит в том, что
при возрастании одной случайной величины, другая возрастает (или убывает)
по линейному закону. Коэффициент корреляции изменяется в пределах:
который вы-
, то, очевидно,
функциональной зависимости между
тем сильнее степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами.
чайной величины обобщаются на случай n – мерной случайной величины
которой представляют собой ковариации соответствующих пар случайных величин, входящих в n – мерную случайную величину
Значения 1 он принимает только в случае точной линейной
и
Чем больше по модулю значение коэффициента корреляции,
Рассмотренные формулы для числовых характеристик двумерной слу-
.
Ковариационной матрицей n – мерной случайной величины
называется симметрическая действительная матрица, элементы
, в остальных случаях
:
32
...
.................... . . .. . . .
. . .
. . .
21
22221
11211
mnmm
n
n
KKK
KKK
KKK
K
jiij
KK
ji
и
iii
DK
.
i
n
,...,,
21
,
1 ...
.................. . . ....
. . . 1
. . . 1
21
221
112
mm
n
n
R
ji
ij
ij
K
i
j
η
0 1 2
3
i
xP
0
0,037
0,167
0,250
0,125
1 0,055
0,167
0,125
0 2
0,029
0,041
0
0 3
0,004
0 0 0
j
yP
., , , , ,
MM
,
где
- дисперсия случайной величины
Корреляционный матрицей n – мерной случайной величины
называется нормированная ковариационная матрица
где
Пример.
Задана двумерная дискретная случайная величина (табл. 1):
Таблица 1
- ковариация случайных величин
- коэффициент корреляции случайных величин
. Очевидно, что
и
.
ловые характеристики
Найти одномерные законы распределения случайных величин и и чис-
Решение.
33
i
x
j
iji
pxP
i
x
0
P
1
P
2
P
3
P
j
yP
j
y
0
P
1
P
2
P
3
P
η
0 1 2
3
i
xP
0
0,037
0,167
0,250
0,125
0,579
1
0,055
0,167
0,125
0
0,347
2
0,029
0,041
0
0
0,070
3
0,004
0 0 0
0,004
j
yP
0,125
0,375
0,375
0,125
1
50,0004,03070,02347,01579,00
M
Одномерный закон распределения случайной величины ξ – это совокупность ее возможных значений
.
Вычислим значения этих вероятностей для
= 0,037 + 0,167 + 0,250 + 0,125 = 0,579;
= 0,055 + 0,167 + 0,125 + 0 = 0,347;
= 0,029 + 0,041 + 0 + 0 = 0,070;
= 0,004 + 0 + 0 + 0 = 0,004.
Аналогично найдем одномерный закон распределения для случайной величины η.
Вычислим значения вероятностей
= 0,037 + 0,055 + 0,029 + 0,004 = 0,125;
и соответствующих им вероятностей
= 0, 1, 2, 3:
для
= 0, 1, 2, 3:
= 0,167 + 0,167 + 0,041 + 0 = 0,375;
= 0,250 + 0,125 + 0 + 0 = 0,375;
= 0,125 + 0 + 0 + 0 = 0,125.
Заполним таблицу 1. Для этого запишем вероятности для значений случайной величины ξ в последний столбец, а для случайной величины η – в нижнюю строку табл. 1. Получим табл. 2.
Таблица 2
Числовые характеристики вычислим по приведенным выше формулам:
;
34
5,1125,03375,02375,01125,00
M
41,050,0004,03070,02347,01579,00
2
3222
D
75,05,1125,03375,02375,01125,00
2
2222
D
64,041,0
87,075,0
;25,05,150,0033023013004,003
032022041,012029,002
031125,021167,011055,001
125,030250.020167,010037,000
K
.45,0
87,064,0
25,0
,
.
1
x
2
x
…
n
x
P
1
p
2
p
…
n
p
1
x
2
x
…
n
x
P
1
p
2
p
…
n
p
;
;
1.6.Функции случайных величин
Аппарат случайных величин широко используется при решении различных задач, связанных со случайными явлениями. Порой при этом надо знать
законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин.
Определение этих законов возможно из опыта, однако зачастую сам опыт
оказывается дорогостоящим и сложным. Поэтому применяются некоторые косвенные методы такие, например, как представление интересующей исследователя случайной величины в виде функции случайных величин. Тогда, зная законы распределения аргументов, часто удается найти закон распределения функции случайных величин.
Рассмотрим функцию от одной случайной величины.
Пусть - некоторая дискретная или непрерывная случайная величина с
;
;
;
известным законом распределения, а - неслучайная функция, тогда
- случайная величина являющаяся функцией от случайной величины
то ряд распределения случайной величины
Если - дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения
будет иметь вид:
35
n
xxx
,...,,
21
i
x
xF
xf
xy
),(1y
yFyF
1
.
11
yyfyf
xy
yFyF
11
.
11
yyfyf
;
i
i
i
pxM
;
2
2
2
MpxpMxD
i
iii
i
i
;dxxfxM
.
2
2
2
MdxxfxdxxfMxD
Если при этом среди значений
столбцы с равными значениями
ствующие вероятности складывают.
Если - непрерывная случайная величина с функцией распределения
и плотностью распределения вероятностей
монотонно возрастающая функция, имеющая обратную функцию
функция распределения и плотность распределения вероятностей случайной
величины
Если
находятся по формулам:
и
- монотонно убывающая функция, то
и
объединяют в один столбец, а соответ-
есть равные, то
и при этом
то
Однако на практике часто встречаются случаи, когда нет особой необходимости полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики.
Зная закон распределения аргумента, математическое ожидание и дисперсию можно находить по следующим формулам:
для дискретной величины
для непрерывной случайной величины
Однако во многих случаях для нахождения числовых характеристик
функции случайной величины не требуется знать даже закона распределения
аргумента, а достаточно знать только некоторые числовые характеристики случайной величины, являющейся аргументом. В таких случаях решение ряда задач значительно упрощается. По преимуществу такие упрощенные методы от-
36
tE
it
eMtE
.
k
k
itx
petE
k
.dxxfetE
itx
,10
E
;1tE
tE
ba
;atEetE
itb
n
kk1
k
;...)()()(
21
tEtEtEtE
n
tE
.xF
tE
.
2
1
dttEetf
itx
носятся к линейным функциям. Для нахождения числовых характеристик
функции случайной величины по числовым характеристикам аргумента применяют ряд теорем о числовых характеристиках функций, в частности, свойства
математического ожидания и дисперсии.
1.7. Характеристические функции случайных величин
Характеристической функцией
комплекснозначная неслучайная функция действительного аргумента t, определяемая равенством
Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной случайной величины:
Свойства характеристической функции:
1)
2) Если
- характеристическая функция случайной величины и
случайной величины называется
.
, то
3) Если
ны, то
4) По характеристической функции
функция распределения
- абсолютно интегрируема, то
, где
- независимые в совокупности случайные величи-
Если - непрерывная случайная величина,
однозначно восстанавливается
37
1
2
xf
1
xf
2
.
21
yxf ,
21
,,
21
z
.21z
DyxPzPzF ,
dxdyyfxfdxdyyxf
DD
2121
,
.
2121
dxdyyfxfdxdyyfxf
xzxz
.
21
z
xz
z
dxdyyfxfzF
1.8. Закон распределения суммы двух случайных величин.
Задача композиции
Пусть независимые случайные величины
пределения, соответственно,
цию этих плотностей, т.е. найти плотность распределения случайной величины
По существу, надо рассмотреть совместное двумерное распределе-
ние
ны найти в плоскости xOy область возможных значений
ствующих событию
множество точек заштрихованной области D на рис. 1.11.
y
D z = x + y
0 x
и для определения функции распределения случайной величи-
или
и
Рис. 1.11.
и
. Требуется произвести компози-
Этим значениям соответствуют
имеют плотности рас-
соответ-
=
Продифференцируем обе части равенства:
38
.21dxxzfxfzf
21
ffzf
tEtEtE
21
1
2
1
2
1
2
.21zf
.0 0, x,
0;x ,0
11
1
1
x
e
xf
.0 0,y ,
0;y ,0
22
2
2
y
e
yf
21
и
dxeedxxzfxfffzf
xz
z
x
21
212121
2
0
1
*
z
xzx
z
z
eedxee
0
12
21
0
21
122122
1
Получим
Эту формулу называют формулой композиции двух распределений или
формулой свертки. Для обозначения композиции (свертки) применяют символическую запись
.
С помощью этой формулы можно показать, что сумма некоторых одинаково распределенных случайных величин распределена по тому же закону, что
и каждая из составляющих (например, сумма нормально распределенных случайных величин).
Другой подход к решению задачи композиции основан на применении
свойств 3 и 4 характеристической функции. Т.к.
, то по
найденной характеристической функции случайной величины можно восстановить закон распределения этой величины.
Пример.
Случайные величины
и
независимы и имеют показательное рас-
пределение с параметрами
и
соответственно. Найти плотность распреде-
ления вероятностей случайной величины, равной сумме случайных величин
и
, т.е.
Решение.
По условию
Т.к. возможные значения
неотрицательны, интегрировать будем в
пределах от 0 до z.
39
zzzz
eeee
21122
12
21
12
21
1
.
0;z ,0
21
21
12
21
zz
ee
zf
M
D
,
,
xy
M
.
MxMMy
и
.
MMM
.
Ответ:
1.9. Линеаризация функций
Методы непосредственного определения числовых характеристик функций случайных величин применимы к линейным функциям. На практике очень
часто встречаются случаи, когда исследуемая функция случайных величин хотя
и не является строго линейной, но практически мало отличается от линейной и
при решении задачи может быть приближенно заменена линейной.
Действительно, любая непрерывная дифференцируемая в достаточно узких пределах изменения аргументов функция, может быть приближенно заменена линейной (линеаризована).
Ошибка, возникающая при этом, тем меньше, чем уже границы изменения аргументов и чем ближе функция к линейной.
Если область практически возможных значений случайных аргументов
настолько мала, что в этой области функция может быть с достаточной для
практики точностью линеаризована, то, заменив нелинейную функцию линейной, можно применить к последней тот аппарат числовых характеристик, который разработан для линейных функций. Зная числовые характеристики аргументов, можно будет найти числовые характеристики функции. При этом будет
получено приближенное решение задачи, но в большинстве случаев точного
решения и не требуется.
Рассмотрим линеаризацию функции одного случайного аргумента. Пусть
- случайная величина, математическое ожидание
и дисперсия
кото-
рой известны, а диапазон ее практически возможных значений ограничен пределами
и функция на участке
этом участке кривая
проведенной в точке с абсциссой, равной
Тогда и случайные величины
висимостью:
. Пусть случайная величина является функцией от , т.е.
мало отличается от линейной. Тогда на
может быть приближенно заменена касательной,
, уравнение которой имеет вид:
приближенно связаны линейной за-
40
,
MM
.
2
DMD
0
tX
Dt
0
0
tt
0
tX
tX
tx
чим:
Применяя свойства числовых характеристик линейных функций, полу-
Аналогично можно осуществить линеаризацию функции нескольких аргументов.
2. Случайные функции
2.1. Понятие случайной функции. Законы распределения случайной функции.
Характеристики случайной функции
Случайная величина в результате эксперимента принимает одно, заранее
неизвестно какое, но единственное значение. На практике часто приходится
сталкиваться со случайными величинами, изменяющимися в процессе эксперимента, т. е. со случайными функциями. Изучением случайных явлений, в которых случайность проявляется в форме процесса, занимается специальная отрасль теории вероятностей – теория случайных функций (корреляционная теория).
Теория случайных функций применяется, например, в теории автоматического управления. Процессы управления неизбежно сопровождаются ошибками, возникающими в результате воздействия случайных возмущений («помех»). Эти возмущения по своей природе являются случайными функциями.
Для того, чтобы рационально выбрать конструктивные параметры системы
управления, необходимо изучить ее реакцию на непрерывно воздействующие
случайные возмущения, а единственным аппаратом, пригодным для такого исследования, является аппарат теории случайных функций.
Случайной функцией одного неслучайного аргумента t, называется
функция X(t), если каждому значению t из некоторого множества действительных чисел D поставлена в соответствие случайная величина X(t).
Если в качестве аргумента выступает время t, то обычно случайную
функцию называют случайным процессом.
Случайная величина
, называется сечением случайной функции X(t).
Если произвести n опытов и провести сечение случайной функции X(t) в
каждом опыте при
В результате каждого опыта случайная величина
обычной функции
, то получим n значений случайной величины
, которая называется реализацией случайной функции.
, соответствующая значению аргумента
.
принимает вид
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]