Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы прогнозирования технологической и технической эффективности процессов и аппаратов пищевых производств. Учебное пособие
.pdf
11
Rxxf 0)(
1)( dxxf
x
dttfxF )()(
xFxf '
b
a
dxxfbaP .)(
ba,
ba,
Для непрерывных случайных величин законом распределения является
функция плотности распределения вероятностей f(x), которая определяется
следующим образом:
1)
2)
Геометрическая интерпретация условия 2 состоит в следующем: площадь
фигуры под кривой плотности равна единице (рис. 1.3.).
f(x)
0 x
Свойства плотности:
.
Рис. 1.3.
,
1)
2)
3)
Геометрическая интерпретация свойства 3: вероятность события
равна площади «столбика» под кривой плотности y = f(x) с основа-
нием
f(x)
0 x
a b
(рис. 1.4.).
Рис. 1.4.
;
;
12
M
M
;
1ii
i
pxM
.dxxfxM
;
cMcM
;)(
MMM
MMM
xP
5,0
MPMP
Аналогом плотности для дискретной случайной величины является ее ряд
распределения.
Законы распределения вероятностей случайной величины дают исчерпывающие сведения о случайной величине. Однако при практическом изучении
случайной величины зачастую оказывается достаточно гораздо более скромной
информации в виде нескольких числовых характеристик распределения, позволяющих оценить такие ее свойства, как центр группирования значений случайной величины и мера их случайного рассеивания, в многомерном случае – степень взаимозависимости различных компонентов случайной величины.
В качестве характеристик центра группирования значений случайной величины используют ее среднее значение – математическое ожидание
ду Mo и медиану Me.
Математическое ожидание
определяется следующим образом:
, мо-
для дискретной величины
для непрерывной случайной величины
Математическое ожидание является основной и наиболее употребительной характеристикой центра группирования значений случайной величины.
Его свойства:
1) Mc=c, c=const;
2)
3)
4)
Модальное значение (или просто мода) Мо случайной величины определяется как такое возможное значение случайной величины, при котором значе-
ние плотности f(x) (в непрерывном случае) или вероятности
ет своего максимума. Таким образом, мода представляет собой как бы наиболее
часто осуществляющееся, наиболее типичное значение случайной величины.
Случайная величина может не иметь моды, может иметь одну моду, а может
иметь много мод.
Медиана Me случайной величины определяется как ее средневероятное
значение, т.е. значение, которое обладает следующим свойством: вероятность
того, что анализируемая случайная величина окажется больше Me, равна вероятности того, что она окажется меньше Me.
Для непрерывных случайных величин это означает:
- для независимых случайных величин.
достига-
.
13
D
.)(
2
MMD
.)(
22
MMD
2
1
2
)(MpxD
i
i
i
22
)()(
MdxxfxD
2
.
D
Геометрически это означает, что прямая x = Me делит площадь под кривой плотности y = f(x) на две равные части.
Для дискретных случайных величин значения, точно удовлетворяющего
определению медианы, может не существовать.
Асимметричное унимодальное (с одной вершиной) распределение характеризуется тем, что большая часть значений расположена с одной стороны от
среднего, в то время как меньшая часть значений расположена на большом удалении с другой стороны.
Примером такого ярко выраженного асимметричного распределения является распределение доходов в стране или некотором районе: основная масса
работающих имеет доход ниже среднего, а незначительная часть имеет высокие
и очень высокие доходы. Таким образом, среднее значение лежит слишком далеко вправо. Более правильную картину дает медиана Me, равная значению, которое делит распределение на две равные части.
Для характеристики того, как сильно могут отклоняться от своего центра,
значения случайной величины служат дисперсия, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Если говорить о форме кривой плотности, то эти характеристики описывают степень ее «размазанности» по всему диапазону изменения случайной величины: чем больше величина каждой из этих характеристик, тем более «размазанным» выглядит соответствующее распределение.
Дисперсия
равна математическому ожиданию квадрата отклонения
случайной величины, т.е.
Более удобная для вычисления дисперсии формула:
В частности, эта формула приобретает вид:
Часто дисперсию обозначают
- для дискретной случайной величины,
- для непрерывной случайной величины.
.
Среднеквадратическое отклонение
чением квадратного корня, т.е.
получается из дисперсии извле-
14
V
V
%.100
M
V
V
k
v
k
.
k
k
Mv
k
,)(
k
M
.
k
k
MM
Mv
1
,0)(
1
MM
DMM
2
2
)(
3
3
3
1
Среднеквадратическое отклонение в ряде случаев оказывается более
удобным и естественным для характеристики степени рассеивания, в первую
очередь из-за своей однородности (в смысле единиц измерения) с различными
характеристиками центра группирования.
Коэффициент вариации
рассеивания естественнее описывать некоторой относительной характеристикой в сопоставлении со средним. Коэффициент вариации
(в процентах) среднеквадратического отклонения к соответствующему математическому ожиданию, т.е.
Из определения ясно, что
Для более полного представления о случайной величине, кроме рассмотренных выше числовых характеристик, можно использовать некоторые начальные и центральные моменты.
используется в тех случаях, когда степень
- это отношение
- величина безразмерная.
Начальным моментом к-го порядка
ся математическое ожидание величины
Центральным моментом к-го порядка
вается математическое ожидание величины
Очевидно, что
,
Центральный момент третьего порядка
случайной величины называет-
, т.е.
случайной величины назы-
т.е.
.
служит для количественной
характеристики степени скошенности кривой распределения. Безразмерной характеристикой для этой цели является коэффициент асимметрии
.
Симметричные распределения имеют нулевой коэффициент асимметрии.
Распределения вероятностей с «длиной частью» кривой плотности, располо-
15
0
1
0
1
2
3
4
4
2
.02
женной справа от ее вершины, характеризуется положительной асимметрией, а
распределения с «длинной частью», расположенной слева от ее вершины, обладают отрицательной асимметрией.
f(x)
0 x 0 x
Поведение плотности распределения в районе его модального значения
обусловливает геометрическую форму соответствующей кривой в окрестности
точки ее максимума, ее островершинность. Количественная характеристика
островершинности – эксцесс (или коэффициент эксцесса)
лезной характеристикой при решении ряда задач.
f(x)
Рис. 1.5.
оказывается по-
.
Для нормального распределения, которое служит как бы своеобразным
началом отсчета в измерении степени островершинности,
ния с более высокой и острой вершиной плотности имеют положительный экс-
цесс, а с менее острой – отрицательный.
1.3. Модели законов распределения вероятностей, наиболее
распространенные в практике статистических исследований
Законы распределения, используемые в статистических исследованиях, в
зависимости от роли, которую они при этом играют, можно разбить на две
группы:
1). Законы распределения, используемые для описания механизмов реальных процессов или систем. К ним относятся биномиальное распределение,
распределение Пуассона, нормальное (гауссовское) распределение, равномерное распределение, экспоненциальное распределение, распределение Вейбулла
и др.
Распределе-
16
2
0 1 2
….............
k
….............
n
i
P
)0(
n
P )1(nP
)2(
n
P
….............
kP
n
….............
nP
n
.)(
knkk
nn
qpCkP
,npM
,npqD
.npq
2). Законы распределения вероятностей, используемые при реализации
техники статистических вычислений – это
ние, t – распределение, Г – распределение, В – распределение.
Рассмотрим некоторые из них.
1. Биномиальное распределение
В практике статистических исследований довольно часто встречаются
случайные величины, которые индуцируются последовательностью независимых случайных экспериментов следующего типа: в результате реализации каждого случайного эксперимента интересующее нас событие А может произойти
(с некоторой вероятностью р) или не произойти (соответственно с вероятностью q = 1 - p). При многократном повторении этого эксперимента вероятность
р осуществления события А остается одной и той же, а наблюдения, составляющие эту последовательность экспериментов, являются взаимно независимыми. Серию экспериментов подобного типа принято называть последовательно-
стью испытаний Бернулли.
При определенных условиях в схему испытаний Бернулли хорошо укладываются такие случайные эксперименты как бросание монеты или игральной
кости, проверка (по альтернативному признаку) изделий массовой продукции,
обращение к «обслуживающему устройству» с исходами «свободен – занят» и
т.п.
Для биномиального закона ряд распределения имеет вид:
- распределение, F – распределе-
Здесь
Числовые характеристики:
2. Распределение Пуассона
Если исследователя интересует число наступлений определенного события за единицу времени, когда факт наступления этого события в данном эксперименте не зависит от того, сколько раз и в какие моменты времени оно осуществлялось в прошлом и не влияет на будущее, а испытания производятся в
стационарных условиях, то для описания распределения такой случайной величины используют закон Пуассона.
17
,0p
n
)(
np
e
k
kP
k
n
!
)(
M
D
Этот закон можно также описывать как предельный случай биномиального распределения, когда вероятность осуществления интересующего нас события в единичном эксперименте очень мала, а число экспериментов n, производимых в единицу времени, достаточно велико, т.е.
произведение np стремится к некоторой положительной постоянной величине
и при этом
Закон Пуассона часто называют законом редких событий. Вероятности
того, что в n экспериментах событие А появится k раз находятся по формуле:
λ интерпретируется как среднее число осуществления события А в единицу времени.
Числовые характеристики:
Закон Пуассона используется для описания сбоев автоматической линии
и числа отказов сложной системы (работающих в «нормальном» режиме) в
единицу времени, числа «требований на обслуживание», поступивших в единицу времени в систему массового обслуживания, статистических закономерностей несчастных случаев и редких заболеваний.
Это распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. Особое значение нормального закона распределения состоит в том, что сумма многих независимых произвольно
распределенных случайных величин приближенно распределена по нормальному закону, причем тем ближе, чем больше членов в этой сумме (центральная
предельная теорема).
Во многих случайных величинах, изучаемых в экономике, биологии, технике, медицине и других областях естественно видеть суммарный эффект многих независимых причин. Но центральное место нормального закона объясняется не только этим.
Этот закон наиболее изучен и обладает сравнительно простыми математическими свойствами. Даже в случае отклонения исследуемых экспериментальных данных от нормального закона существуют по крайней мере два пути
его целесообразной эксплуатации:
1) использовать его в качестве первого приближения; при этом нередко
оказывается, что подобное допущение дает достаточно точные, с точки зрения
конкретных целей исследования, результаты.
2) подобрать такое преобразование исследуемой случайной величины,
которое видоизменяет исходный «не нормальный» закон распределения, превращая его в нормальный.
.
,
,
3. Нормальное (гауссовское) распределение
.
18
2
2
2
2
1
)(
ax
exf
x
at
dtexF
2
2
2
2
1
a
Кроме того, нормальный закон распределения имеет большое теоретическое значение: с его помощью выведен целый ряд других важных распределений, построены статистические критерии и др.
Плотность вероятностей:
,
где a- математическое ожидание, т.е. среднее значение, - среднеквадратическое отклонение.
Функция распределения вероятностей:
.
Графики этих функций представлены на рисунках 1.6. и 1.7.
f(x)
0 a x
Рис. 1.6.
F(x)
1
0
x
Рис. 1.7.
19
0a, 1
,
2
1
)(
2
2
x
ex
.
2
1
)(
2
2
dtexФ
t
x
ba,
. ,0
, ,
1
, ,0
)(
bx
bxa
ab
ax
xf
,1
, ,
, ,0
bx
bxa
b-a
x-a
ax
xF
ab
1
Если
плотность распределения вероятностей и функция распределения вероятностей
имеют вид:
Для этих функций составлены таблицы значений.
4. Равномерное (прямоугольное) распределение
Случайная величина распределена равномерно на
вероятности постоянна на этом отрезке и равна 0 вне его:
, то нормальный закон называют стандартным и тогда
, если ее плотность
Тогда функция распределения вероятностей имеет вид:
Графики этих функций представлены на рис. 1.8. и 1.9.
f(x)
0 a b x
Рис. 1.8.
20
,
2
baM
,
12
)(
2
abD
.
32
ab
tPtF )(
F(x)
1
0 a b x
Рис. 1.9.
Примерами реальных ситуаций, связанных с необходимостью рассмотрения равномерно распределенных случайных величин, могут служить:
анализ ошибок округления при проведении числовых расчетов (такая
ошибка распределена равномерно на интервале от -5 до +5 единиц округляемого десятичного знака),
время ожидания «обслуживания при точно периодическом, через каждые
Т единиц времени, включении (прибытии) «обслуживающего устройства» и
при случайном поступлении (прибытии) заявки на обслуживание в этом интервале (например, время ожидания пассажиром прибытия поезда метро при условии точных двухминутных интервалов движения поездов метро и случайного
момента появления пассажира на платформе будет распределено равномерно на
интервале [0,2мин.]).
Числовые характеристики:
5. Распределение Вейбулла
Это распределение применимо к случайным величинам, характеризующим длительность жизни элемента, сложной системы или индивидуума (задачи
теории надежности, анализ коэффициентов смертности в демографии и т.п.).
Пусть - время жизни анализируемого объекта.
- его функция распределения, которую полагают непре-
рывной и дифференцируемой.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]