Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы прогнозирования технологической и технической эффективности процессов и аппаратов пищевых производств. Учебное пособие
.pdf
51
01
1
1
... bpbpbpbpB
m
m
m
mm
txpBtypA
mn
tx
pA
pB
ty
n
m
tVtX
,
то уравнение примет компактный вид:
Откуда
Динамическая система, оператор которой является линейным, называет-
ся линейной динамической системой.
На практике линейные системы встречаются очень часто.
В связи с линейностью этих систем к анализу их ошибок может быть с
большой эффективностью применен аппарат теории случайных функций.
Так же, как числовые характеристики линейных функций обычных случайных величин могут быть получены по числовым характеристикам аргументов, характеристики случайной функции на выходе линейной динамической системы могут быть определены, если известны оператор системы и характеристики случайной функции на входе.
Еще чаще, чем линейные системы, на практике встречаются системы не
строго линейные, но в известных пределах допускающие линеаризацию. Если
случайные возмущения на входе системы достаточно малы, то практически
любая система может рассматриваться – в пределах этих малых возмущений –
как приближенно линейная.
Прием приближенной линеаризации дифференциальных уравнений широко применяется в теории ошибок динамических систем.
2.4. Каноническое разложение действительной случайной функции
В практических задачах если нахождение математического ожидания при
линейном преобразовании затруднений не вызывает, то нахождение корреляционной функции может привести к чрезвычайно сложным и громоздким операциям.
Кроме того, часто бывает, что полученная из опыта, корреляционная
функция не имеет аналитического выражения и задана таблично. Тогда двойной интеграл приходится вычислять численно, а эта задача очень громоздкая и
трудоемкая.
Поэтому при решении практических задач чаще применяют другие методы линейных преобразований случайных функций, одним из которых является
метод канонических разложений.
В этом случае случайную функцию, над которой нужно произвести некоторые преобразования, предварительно представляют в виде суммы элемен-
.
.
тарных случайных функций вида:
.
52
tmtVMtm
VX
,0
V
m
0 tm
X
V
0
V
m
0 tm
X
DttVMtttXtXMttK
X
21
2
212121
,,
tLVtXL
Здесь V – обычная случайная величина, φ(t) – обычная (неслучайная)
функция.
Для такой функции характерно то, что в ней разделены две особенности
случайной функции: случайность сосредоточена в коэффициенте V, а зависимость от времени – в обычной функции φ(t).
Математическое ожидание элементарной случайной функции равно
.
Если
Поскольку любую случайную величину можно центрировать, т. е. привести к такому виду, когда ее математическое ожидание равно нулю, то в качестве случайной величины V в элементарной случайной функции удобнее брать
центрированную случайную величину
X(t) математическое ожидание будет тождественно равно нулю, т. е.
.
Корреляционная функция для такой центрированной элементарной случайной функции равна
где D – дисперсия случайной величины V.
Над элементарными случайными функциями очень просто выполняются
всевозможные линейные преобразования.
Если элементарная случайная функция преобразуется линейным оператором L, то при этом случайный множитель V, как не зависящий от t, выходит за
знак оператора, а неслучайная функция φ(t) преобразуется тем же оператором
L:
то
.
, для которой
и тогда для
,
Таким образом, если элементарная случайная функция поступает на вход
линейной системы, то задача ее преобразования сводится к простой задаче преобразования одной неслучайной функции φ(t).
Отсюда возникает идея: если на вход динамической системы поступает
некоторая случайная функция общего вида, то можно ее представить - точно
или приближенно – в виде суммы элементарных случайных функций и затем
подвергать преобразованию. Такая идея разложения случайной функции на
сумму элементарных случайных функций и лежит в основе метода канонических разложений.
.
53
tXtmtX
X
m
i
iiX
tVtmtX
1
i
V
t
i
tm
X
m
VVV ,...,,
21
ttt
m
,...,,
21
i
V
0
ij
K
ji
21
,ttK
X
m
i
iiiX
DttttK
1
2121
,
21
tt
m
i
iiX
DttD
1
2
tXLtY
tY
m
i
iiY
tVtmtY
1
tLt
ii
Если случайную функцию
женно – можно представить в виде суммы
где
X(t), то выражение (1) называют разложением случайной функции.
жения, а неслучайные функции
циями.
функциям, подвергается линейному преобразованию L, то коэффициенты разложения остаются неизменными, а математическое ожидание и координатные
функции подвергаются тому же линейному преобразованию L.
- случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю,
- неслучайные функции,
Случайные величины
Если случайная функция X(t), заданная разложением по элементарным
- математическое ожидание функции
называют коэффициентами разло-
(1),
– точно или прибли-
- координатными функ-
Если в разложении (1) случайные величины
при
Для такого разложения корреляционная функция
весьма просто:
Это выражение называется каноническим разложением корреляционной
функции.
Если взять
Если случайная функция X(t), заданная каноническим разложением, подвергается линейному преобразованию L, т. е.
, то разложение называется каноническим.
, то получим дисперсию случайной функции:
- некоррелированы, т. е.
выражается
.
.
, то при этом по-
лучается каноническое разложение случайной функции
тическое ожидание и координатные функции подвергаются тому же линейному
преобразованию L:
, причем матема-
, где
.
54
m
i
iiiY
DttttK
1
2121
,
m
i
iiY
DttD
1
2
tXtpBtYtpA
mn
,,
tmtpBtmtpA
XmYn
,,
ttpBttpA
imin
,,
mi ,...,2,1
.0
...
,0'
,0
1
0
n
n
Y
Y
Y
ym
ym
ym
00...0'0
n
i
ii
mi ,...,2,1
Тогда
Пусть работа динамической системы описывается линейным дифференциальным уравнением, которое в операторной форме имеет вид:
Тогда
Т. е. математическое ожидание и каждая из координатных функций тоже
удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению.
Таким образом, задача определения реакции линейной динамической системы на случайное воздействие сводится к обычной математической задаче
интегрирования (m + 1) обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих обычные неслучайные функции. Остается только вопрос о начальных
условиях.
Если начальные условия для данной динамической системы неслучайны,
то уравнение для математического ожидания должно интегрироваться при за-
.
.
,
;
.
.
данных начальных условиях:
А уравнения для координатных функций должны интегрироваться при
нулевых начальных условиях:
Случай, когда начальные условия случайны, более сложный, но следует
отметить, что на практике часто встречаются случаи, когда для моментов времени достаточно удаленных от начала случайного процесса, начальные условия
уже не оказывают влияния на его течение: вызванные ими переходные процессы успевают затихнуть. Системы, обладающие таким свойством, называются
, где
.
55
tX
2
2
2
2211
2
1
...//
X
x
X
exftxftxf
22
21
2
2
2
1
12
2
22
2121
12
1
,/,
XX
x
r
xxrxx
XX
e
r
ttxxf
X
r
21
tиt
0
X
r
2
1
2
2
21
2
1
,...,,
X
n
i
i
x
n
X
n
exxxf
tX
bat ,
n
ttt ,...,,
10
btta
n
,...,
0
1010
..., , ,
nn
tXtXtXtXtX
асимптотически устойчивыми. Для такой системы на участках времени, достаточно удаленных от начала, можно ограничиться исследованием при нулевых
начальных условиях.
2.5. Нормальный случайный процесс.
Однородный процесс
Случайный процесс
называется нормальным, если закон распреде-
ления системы любого числа n ее сечений представляет собой n – мерный нормальный закон. Одномерный закон распределения вероятностей нормального
процесса во всех сечениях одинаков и при среднем, равном нулю, выражается
равенством:
.
Двумерный закон распределения вероятностей нормального процесса
определяется следующим равенством:
где
личинами в сечениях
- нормированная корреляционная функция между случайными ве-
.
В том случае, когда сечения выбираются таким образом, что мгновенные
значения функции в них оказываются некоррелированными, то
Для n независимых сечений n – мерный закон распределения вероятно-
стей для таких сечений выражается равенством:
,
.
Случайный процесс
сом с независимыми приращениями, если для любых
, случайные величины
независимы.
.
, определенный при
называется процес-
таких, что
56
0
tXtX
0
t
tX
tX
0t
100 XP
tX
tX
0t
tttXttXP 1
t
t
t
tX
t
t
k
k
e
k
t
tP
!
ttM
X
ttD
X
2121
,min, ttttK
X
Случайный процесс с независимыми приращениями называется одно-
родным, если закон распределения случайной величины
от
, а определяется лишь длиной интервала.
Однородным процессом с независимыми приращениями является про-
цесс Пуассона. Пусть происходит поток случайных событий, которые реги-
не зависит
стрируются в порядке их поступления. Тогда случайная функция
событий потока с начала регистрации до момента времени t представляет со-
бой процесс Пуассона, если удовлетворяет следующим условиям:
1)
2)
3)
Это означает, что в этом процессе отсутствует последействие. Т. е. мож-
но как угодно точно знать картину процесса в одном промежутке времени, однако, это не может сказаться на вероятностях тех или иных результатов в неперекрывающемся с ним другом промежутке.
4) В случайный момент времени происходит приращение значения слу-
чайной функции
где λ – постоянное для данного процесса число,
лая более высокого порядка, чем
Т. о. процесс Пуассона представляет собой случайную функцию, прини-
мающую лишь целочисленные значения и не убывающую с ростом аргумента
. Она остается постоянной на всяком промежутке, в котором не произошло ни
одного события. График такой функции имеет ступенчатый вид.
Вероятность того, что число единичных приращений случайной функ-
определена для всех
;
- однородный процесс с независимыми приращениями.
на единицу, причем для любого момента времени
;
,
бесконечно ма-
.
- число
ции
Параметр λ > 0 характеризует среднее число единичных приращений
процесса Пуассона за единицу времени. Математическое ожидание, дисперсия
и корреляционная функция находятся по формулам:
К пуассоновским процессам относятся: поток заявок, поступающих на
телефонную станцию, процесс распада радиоактивного вещества, сбои радиоэлектронной аппаратуры и т. п.
будет равно k (k = 0, 1, 2, …) определяется по формуле:
.
;
;
57
12tt
tX
;constmtM
XX
.constDtD
XX
tX
X
m
12
tt
XXX
mtXmtXMttK
2121
,
21
,ttK
X
12
tt
XXX
KttKttK
1221
,
X
X
KK
X
K
3. Стационарные функции
3.1. Понятие стационарной случайной функции.
Характеристики стационарной случайной функции
На практике часто встречаются процессы, протекающие во времени приблизительно однородно, и имеющие вид непрерывных случайных колебаний
вокруг некоторого среднего значения. Причем с течением времени ни амплитуда, ни характер этих колебаний существенно не изменяются.
Такие процессы называются стационарными.
Любой стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго.
Различают функции стационарные «в широком смысле» и стационарные
«в узком смысле».
Стационарность «в узком смысле» более жесткое понятие, чем стационарность «в широком смысле». Из первого следует второе, но не наоборот.
Для функций стационарных «в широком смысле» математическое ожидание и дисперсия сохраняют постоянное значение для всех значений аргумента t,
а корреляционная функция зависит только от разности аргументов
Таким образом, если
Корреляционная функция является важнейшей характеристикой случайной функции. Она показывает, как быстро затухают колебания во времени. Для
стационарной случайной функции корреляционная функция равна среднему
значению парных произведений соответствующих отклонений значений функ-
ции
времени протекания процесса и отстоящих друг от друга на промежуток времени
от ее математического ожидания
:
Т.к. корреляционная функция
- стационарная случайная функция, то:
, взятых в любые два момента
зависит только от разности
.
, то для стационарной случайной функции она должна удовлетворять
следующим свойствам:
1)
2)
, т.е.
;
- четная функция;
58
;00
X
K
XX
DK 0
X
K
X
X
X
D
K
r
.1
0
0
X
X
X
D
K
r
11
.,...,,
21 n
ttt
tX
3)
4)
Для упрощения расчетов часто вместо корреляционной функции
используют нормированную корреляционную функцию, которая для стационар-
ной случайной функции имеет вид:
Нормированная корреляционная функция – функция безразмерная. Она
может принимать значения в пределах
процесса имеет различный вид. Если оказывается, что нормированная корреляционная функция равна единице, то это говорит о полном совпадении или прямой пропорциональности мгновенных значений двух рассматриваемых сечений.
Если нормированная корреляционная функция при каких – либо значениях аргумента имеет отрицательное значение, это говорит о том, что положительное отклонение процесса в одном сечении соответствует преимущественно
отрицательному отклонению в другом.
3.2. Определение характеристик стационарных случайных процессов
Для нахождения характеристик случайных функций из опыта надо взять
некоторое количество реализаций. В зависимости от того, насколько плавно
меняется случайная функция в этих реализациях, разбить рассматриваемый
.
, следовательно,
и в зависимости от характера
промежуток времени на равные интервалы точками
получить n сечений, т.е. n случайных величин. Занести значения в таблицу и по
этой таблице рассчитать необходимые характеристики.
Обычно полученные данные не позволяют сделать вывод о стационарности случайной функции. Но в силу того, что количество реализаций ограничено, следует, что присутствует элемент случайности, и, если отклонения от стационарности не носят закономерного характера, то возможна замена функции
стационарной. Для этого осредняют во времени оценки для математиче-
ского ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения, а затем для
полученной стационарной функции строят нормированную корреляционную
функцию.
Таким образом
59
x
r
tX
1
tX
2
1
0
Рис. 3.1.
Наличие отрицательных значений указывает на некоторую периодичность случайной функции.
Это значит, что положительным отклонениям от среднего в одном сечении соответствуют отрицательные отклонения через определенный промежуток
времени.
Такой характер корреляционной функции довольно часто встречается на
практике.
Обычно в этих случаях по мере увеличения амплитуда колебаний корреляционной функции уменьшается и корреляционная функция стремится к
нулю.
Рассматриваемый метод обработки опытных данных является довольно
сложным и громоздким, поскольку приходится рассматривать какое-то количество реализаций.
Т.к. стационарный случайный процесс протекает однородно во времени,
естественно предположить, что одна – единственная реализация, по достаточной продолжительности, может служить достаточным опытным материалом
для получения характеристик случайной функции.
Оказывается, такая возможность существует не для всех случайных процессов.
3.3. Эргодические случайные функции
Рассмотрим две случайные функции
своими реализациями (рис. 3.2.).
и
, представленные
60
tX
1
tX
2
tX
1
tX
2
X
K
0 t 0 t
Рис. 3.2.
Для
характерно, что для всех реализаций среднее значение и раз-
мах колебаний приближенно одинаковы. Т.е. если одну из реализаций продолжить во времени на достаточно большое время Т, то эта реализация может дать
достаточно хорошее представление о свойствах случайной функции в целом.
Про такую функцию говорят, что она обладает эргодическим свойством.
Для такой функции одна реализация достаточной продолжительности
может заменить при обработке множество реализаций той же продолжительности.
Для функции
если продолжить любую из ее реализаций во времени и вычислить среднее зна-
чение, то для каждой реализации это среднее значение будет свое.
Для эргодической функции по одной реализации достаточной продолжительности можно определять не только среднее, но и дисперсию, и корреляционную функцию.
Об эргодичности или неэргодичности случайного процесса можно судить
по виду его корреляционной функции.
Для эргодического случайного процесса корреляционная функция
стремится к нулю при
чайной функции неограниченно убывает по мере увеличения расстояния между
ними).
На практике нет возможности исследовать случайный процесс и его корреляционную функцию на бесконечном участке времени. Участок значений ,
с которым мы имеем дело, всегда ограничен.
Если при этом корреляционная функция стационарного случайного процесса при увеличении не убывает, начиная с некоторого , а остается приблизительно постоянной, это обычно есть признак того, что процесс не является эргодическим.
свойство эргодичности не выполняется, поскольку,
(корреляционная связь между значениями слу-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]