Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы прогнозирования технологической и технической эффективности процессов и аппаратов пищевых производств. Учебное пособие
.pdf
61
,
tX
T
X
dttx
T
m
0
.
1
,
tXtXМK
X
,
X
mtXtX
.
X
mtXtX
T
X
dttxtx
T
K
0
.
1
.,...,,
21 n
ttt
При решении практических задач часто суждение об эргодичности процесса выносится не на основе исследования поведения корреляционной функции при
ществом процесса (его предположительной «разложимостью» на элементарные
процессы различного типа, появляющиеся с некоторыми вероятностями).
а на основании физических соображений, связанных с су-
3.4. Определение характеристик эргодических
случайных функций
Пусть
ским свойством, т. е., напомним, ее характеристики, найденные усреднением
множества реализаций, совпадают с соответствующими характеристиками, полученными усреднением во времени одной реализации x(t), которая наблюдалась на интервале (0,T) достаточно большой продолжительности.
Характеристики эргодической случайной функции могут быть вычисле-
ны как средние по времени Т.
Математическое ожидание:
Известно, что корреляционная функция стационарной случайной функ-
ции может быть вычислена по формуле:
- стационарная случайная функция, обладающая эргодиче-
где
На практике эти интегралы обычно вычисляют приближенно, заменяя ко-
нечными суммами.
Для этого интервал времени Т разбивают на n равных частей длиной t и
обозначают середины
Тогда
62
tX
1
t
2
t
3
t
n
i
n
i
ii
n
i
iX
tX
nn
T
tX
T
ttX
T
m
1 11
111
n
i
iX
tX
n
m
1
1
X
K
,...2 , tt
,
n
T
t
,
n
mT
n
T
mtm
.tmnT
n
mn
n
mT
TT
mn
i
miiXX
tXtX
mnn
mT
KK
1
1
0
T t
Рис. 3.3.
Тогда
Итак,
Аналогично можно вычислить корреляционную функцию
для , равных 0,
тогда
.
, где
где m = 0, 1, …, n.
.
,
.
63
tX
.sincos
0
tVtUmtX
kk
k
kkX
k
U
k
V
kVU
DDD
kk
dK
T
D
k
T
Xk
cos
2
0
0k
.
1
0
0
dK
T
D
T
X
.
2
2
1
TT
.
1
kk
tt
kk
sin ,cos
,. ,...,...,,
21 k
3.5. Спектральное разложение стационарных случайных функций
Если какой-либо колебательный процесс представляется в виде суммы
гармонических колебаний различных частот (так называемых «гармоник»), то
спектром колебательного процесса называется функция, описывающая распределение амплитуд по различным частотам. Спектр показывает какого рода колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура.
Аналогично можно говорить о спектральном составе случайной функции.
Для стационарных случайных функций спектр описывает распределение
дисперсий по различным частотам.
Стационарную «в широком смысле» функцию
можно представить в виде канонического разложения:
Здесь
скими ожиданиями, равными нулю и дисперсиями, одинаковыми для любой
пары случайных величин с одним и тем же индексом, т.е.
и
- некоррелированные случайные величины с математиче-
,
на интервале (0,Т)
(1)
.
.
- координатные функции (неслучайные).
Равенство (1) называют спектральным разложением стационарной слу-
чайной функции.
Стационарная случайная функция, рассмотренная на конечном проме-
жутке, всегда может быть представлена в виде спектрального разложения.
Спектр разложения представляет случайную функцию разложенной на
гармонические колебания различных частот
ды этих колебаний являются случайными величинами.
причем амплиту-
64
0
cos
k
kkX
DK
,0
0
k
kXX
DKD
k
D
1
2
3
4
k
k
T
T2
2
,
X
S
X
S
Корреляционная функция стационарного процесса имеет спектральное
разложение вида:
Тогда
т.е дисперсия стационарного случайного процесса равна сумме дисперсий всех
гармоник ее спектрального разложения.
Распределение дисперсий по различным частотам можно проиллюстрировать графически в виде так называемого спектра стационарной случайной
функции или спектра дисперсий (рис. 3.4.).
.
0
Построить подобный спектр дисперсий можно только на конечном
участке времени (0,Т). Если
ности дисперсии, приходящейся на единицу длины данного интервала частот:
Кривая
частотам непрерывного спектра и функция
изображающая плотность распределения дисперсий по
Рис. 3.4.
, то в этом случае говорят о средней плот-
.
называются спектральной
плотностью дисперсии (рис.3.5.).
65
X
S
X
D
.tX
0
.
dSD
XX
tX
X
S
0
.cos
2
dKS
XX
0
.cos
dSK
XX
0
Площадь, ограниченная этой кривой, равна дисперсии
функции
Рис. 3.5.
ω
стационарной
Спектральная плотность является характеристикой стационарного случайного процесса, она описывает его частотный состав и показывает долю от
общей дисперсии, которая может быть приписана данной полосе частот. Спек-
тральная плотность стационарной случайной функции
шения дисперсии, приходящейся на данный интервал частот, к длине этого ин-
тервала при условии, что последний стремится к нулю.
Однако
ностью определяется корреляционной функцией.
В свою очередь, корреляционная функция определяется через спектральную плотность следующим образом:
не является самостоятельной характеристикой, она пол-
(2)
- это предел отно-
(3)
66
.
X
X
X
D
S
s
.
2
1
deSK
j
XX
.
1
deKS
j
XX
,0
XX
KD
0
2
1
dSdSD
XXX
X
K
X
K
X
S
X
S
21
21
0
SS
X
Формулы (2) и (3) называются формулами Винера - Хинчина. Они являются преобразованиями Фурье.
Нормированная спектральная плотность имеет вид:
Полная площадь, ограниченная графиком нормированной спектральной
плотности, равна единице.
В экспоненциальном виде формулы Винера - Хинчина представляют собой комплексную форму преобразований Фурье:
Поскольку дисперсия стационарного случайного процесса
то
Спектральная плотность используется в основном для стационарных процессов. Она отражает усредненные во времени свойства процесса. Поэтому для
нестационарных процессов, свойства которых меняются во времени, спектральная плотность во многом не имеет смысла.
Если
монотонно убывающая функция, то спектральная плотность
.
этого процесса также выражается монотонно убывающей функцией. Чем шире
график корреляционной функции
ности
меняется процесс, тем меньшее значение в процессе имеют высокие частоты.
что не существует никаких стационарных случайных функций, корреляционная
функция которых была бы постоянна на каком – либо интервале
бы равна нулю вне этого интервала. Напротив, если спектральная плотность
постоянна на каком – либо участке частот
нулю вне его, то корреляционная функция такого спектра существует и равна
Функция
, тем уже график спектральной плот-
. Это является следствием характера процесса: чем медленнее из-
при любых значениях ω положительна. Отсюда следует,
и была
, т. е.
и равна
67
12
2
0
sinsin
X
X
S
K
2
sin
2
cos
2
1212
2
0 X
S
0
1
a
2
a
SK
X
sin
0
1
t
2
t
21
tt
tX
1
tX
2
tX
;
max
2
max
1
2
X
X
X
X
S
dS
S
0
2
.
2
2
dKdr
X
X
X
.
Тогда, если
Случайные процессы с такой спектральной плотностью называются «белым шумом» и находят широкое применение в прикладных расчетах и теоретических построениях. Идеальным «белым шумом» является случайный процесс
с постоянной плотностью для всех частот от 0 до . В природе такие процессы
не существуют, но понятие «белого шума» является удобной абстракцией для
тех процессов, у которых спектральная плотность примерно постоянна на всем
практически реальном диапазоне частот.
Для идеального «белого шума» корреляционная функция везде, кроме
точки τ = 0, равна нулю. Это говорит о том, что для «белого шума» совершенно
отсутствует связь между значениями случайной функции для любых значений
аргументов
ным случаем разусреднения.
Как было сказано выше, корреляционная функция случайного процесса
и
3.6. Эффективная ширина спектра. Средний интервал корреляции
, если
и
, то
. Процесс с «белым шумом» является предель-
.
определяет степень зависимости его значений в двух сечениях
. Однако не всегда удобно характеризовать стабильность процесса через
функциональную зависимость. Желательно эту характеристику выражать через
численный параметр.
Полезными характеристиками стационарных случайных функций с непрерывным спектром являются эффективная ширина спектра
интервал корреляции
ции):
(эффективная длительность корреляционной функ-
и
и средний
68
10
X
r
X
r
X
S
max
X
S
,2
txb
dt
d
b
dt
d
btya
dt
d
a
dt
d
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
0
1
1
10
1
1
1
......
tx
tX
ty
tY
,......
0
1
10
1
1
txbpbpbtyapapa
m
m
m
m
n
n
n
n
tx
apapa
bpbpb
ty
n
n
n
n
m
m
m
m
0
1
1
0
1
1
...
...
Геометрически средний интервал корреляции
моугольника с высотой
вой
геометрически равна основанию прямоугольника с высотой
площадь которого равна площади под кривой
Величины
т.е. чем уже ширина спектра стационарного процесса, тем больше интервал
корреляции его сечений, и наоборот.
линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами
Линейной динамической системой с постоянными коэффициентами
называется система, которая описывается линейными дифференциальными
уравнениями с постоянными коэффициентами:
при
и
3.7. Преобразование стационарных случайных процессов
связаны между собой неравенством
, площадь которого равна площади под кри-
. Соответственно, эффективная ширина спектра
равен основанию пря-
при
.
,
Здесь
-реализация выходного случайного процесса
Напишем это уравнение в преобразованной по Лапласу операторной
форме:
где p – оператор дифференцирования.
Из этого уравнения:
- реализация входного случайного сигнала
(1)
,
.
или
69
tx
tA
tB
ty
n
m
tA
tB
apapa
bpbpb
pH
n
m
n
n
n
n
m
m
m
m
0
1
1
0
1
1
...
...
pH
tY
tX
tX
tX
tj
etx
jH
tj
ejHty
jA
jB
jH
n
m
(2)
Обозначим
Функция
при входной переменной к операторному полиному, стоящему при выходной
переменной операторного уравнения называется передаточной функцией.
Иначе передаточная функция определяется как отношение преобразованного по Лапласу выходного сигнала к преобразованному по Лапласу входному
сигналу, определяемых из уравнения (1) при нулевых начальных условиях.
Иногда передаточную функцию называют динамическим коэффициентом
усиления.
Если на вход линейной динамической системы подается стационарный
входной сигнал, то при достаточно больших значениях t, т.е. по окончании пе-
реходного периода, выходную функцию
В случае, когда входное воздействие
но простую аналитическую функцию, часто удается найти реакцию системы в
виде простой аналитической функции. В частности, когда воздействие
, равная отношению операторного полинома, стоящего
можно считать стационарной.
представляет собой достаточ-
(3)
представляет собой гармоническое колебание определенной частоты, система
отвечает на него также гармоническим колебанием той же частоты, но измененным по амплитуде и фазе.
Т. к. координатные функции спектрального разложения стационарной
случайной функции
прежде всего необходимо научиться определять реакцию системы на гармони-
ческое колебание заданной частоты .
Пусть на вход системы поступает гармоническое колебание вида:
Тогда реакция системы будет представлять собой также гармоническое
колебание частоты , умноженное на комплексный множитель
представляют собой гармоническое колебание, то
.
, т. е.
Можно показать, что
.
70
jH
pH
j
tX
X
m
.
X
S
XY
m
a
b
m
0
0
XY
SjHS
2
2
iH
tj
eUtx
tj
ejHUty
tX
X
m
X
K
tY
XY
m
a
b
m
0
0
2
2
2
jA
jB
jH
n
m
X
S
Функция
стемы.
Для определения частотной характеристики достаточно в передаточную
функцию
Пусть случайная функция
спектральную плотность
Тогда
Т. е. при преобразовании стационарной случайной функции линейной динамической системой ее спектральная плотность умножается на квадрат модуля
частотной характеристики системы, который показывает как реагирует система
на колебания той или иной частоты.
Этот множитель
рактеристики системы.
вместо оператора дифференцирования p подставить
называется частотной характеристикой линейной си-
.
имеет математическое ожидание
;
получил название амплитудно-частотной ха-
.
и
Если на вход системы поступает воздействие
которая величина (возможно случайная), не зависящая от t, то реакция системы
на это воздействие имеет вид:
.
Сделаем вывод из вышесказанного. Если на вход линейной динамической
системы (1) поступает стационарная случайная функция
ским ожиданием
найти характеристики случайной функции
следующим образом:
1. Находим математическое ожидание на выходе:
2. Находим амплитудно – частотную характеристику системы:
и корреляционной функцией
на выходе системы поступаем
.
, то для того, чтобы
, где U - не-
с математиче-
3. Находим спектральную плотность
.
на входе:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]