Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Идентификация динамических объектов. Учебное пособие
.pdf
где
R
ные характеристики);
(, )
lj
– коэффициенты приближения (нестационарные спектраль-
rj
(, )rt
– базисные функции обобщенного ряда;
t
– остаточный член обобщенного ряда.
()
ct
С учетом (10.3) система (10.2) представляется как
t
(, ) ( ) ()
tdt
Ha v
tT
. (10.5)
Подставив (10.4) в (10.5), получим эквивалентную систему алгебраических уравнений относительно нестационарных спектральных характеристик
n
l
rj
01
t
где
lij i lj j
t
() (, ) (, ) ( )
twtRtud
tT
(, ) () ()
wt u d t
ilij
tT
t
() (, ) (, ) ()
ct wt t u d
rj i r j
tT
0
n
j
1
, [1, ( 1)]iml, (10.6)
.
Система (10.6) может быть записана в векторно-матричной форме
()() () ()
tt t tUc v Δ
t
twttudjnliml
( ) ( , ) ( , ) ( ) , [1, ( 1) ], [1, ( 1)]
U
lirj
tT
Δ
ll
()
t
c
()
t
r
n
1
j
l
c
()
t
c
tr l
( ), [1, 1]
r
(), [1, 1]
ctj l
rj
(), [1, ( 1)]
ti ml
lij
, (10.7)
,
,
.
,
81
(, )
R
j
j
j
Если предположить, что остаточные члены
следовательно известен и вектор
сти матрицы
ные параметры
()ltU
описанная процедура позволит определить истин-
()
ta
, [1, ]jn .
()ltΔ
, то при условии невырожденно-
t
lj
известны, а
Следует отметить основное достоинство описанного подхода к
идентификации нестационарных параметров, которое заключается в
том, что решение интегральной системы (10.5) сводится к решению
линейной алгебраической системы (10.7), формируемой на интервале
[,]tTt , а это существенно упрощает задачу, поскольку определяемые
из системы (10.7) коэффициенты
(вектор ( )tc ) постоянны на
c
rj
[,]tTt .
Однако при этом имеет место и основной недостаток – существенное увеличение мерности решаемой задачи, так как теперь вместо
()
параметров
циентов
c
ta
, [1, ]jn , необходимо определять ( 1)nl коэффи-
,[0,], [1,]rljn.
rj
n
Реализация алгоритма предполагает решение следующих задач выбора:
(, )
1) вида формирующих функций
wt
i
;
2) способа приближенного представления идентифицируемых па-
раметров (обобщенного ряда (10.4));
(, )
t
3) вида базисных функций
4) способа восстановления параметров
ным оценкам
.
()rjtc
;
r
()
at
по идентифицирован-
Вопрос выбора функций
wt
, формирующих систему линейных
i
(, )
алгебраических уравнений, обсуждался в разделе 7.1. Аналогичная ситуация имеет место и здесь, т. е. в качестве формирующих функций
(, )
wt
следует выбирать ИХ полосовых фильтров с разнесенными по-
i
лосами пропускания, расположенными в пределах эффективной длительности АЧХ идентифицируемого объекта. Однако в отличие от стационарного случая здесь формирование системы уравнений выполня-
ется на интервале [ , ]tTt , т. е. длительность
фильтра и длительность
скользящего интервала должны быть со-
T
гласованы. С точки зрения приближения функций, чем меньше
82
T
ИХ полосового
w
T
, тем
меньше ошибка приближения и T надо уменьшать. С другой стороны,
T
длительность
причем, чем больше
T
ния
надо увеличивать. Таким образом, конкретных рекомендаций
w
по выбору
ИХ определяет качество АЧХ полосового фильтра,
w
T
, тем выше качество АЧХ и с этой точки зре-
w
T
пока дать невозможно, по крайней мере, до тех пор, по-
w
ка не будут обсуждены вопросы реализации способа приближения
идентифицируемых параметров, а далее возможны варианты либо выбора по приоритету (что важнее), либо компромиссное решение.
При выборе способа приближенного представления идентифицируемых параметров рассмотрим такие методы теории приближения
функций, как интерполирование, наилучшее равномерное приближение, и среднеквадратичную аппроксимацию.
Интерполяционный полином, обеспечивающий минимальную ошибку приближения, есть полином Лагранжа с узлами по Чебышеву.
В качестве одного из вариантов полинома наилучшего равномерного приближения рекомендован интерполяционный полином Лагранжа
с узлами по Чебышеву.
Наилучшую среднеквадратичную аппроксимацию обеспечивает
обобщенный ряд Фурье с полиномами Чебышева в качестве базисных
функций, причем этот ряд в нашем случае обладает не только среднеквадратичной, но и равномерной сходимостью, так как приближаемые
функции
Ct T ta
j
, [1, ]jn .
() [ ,]
Таким образом, с точки зрения точности приближения необходимо
использовать полиномы Чебышева и в этом смысле различие между
способами приближения теряется.
При решении практических задач, когда приближаемая функция
представлена в виде зашумленной реализации сигнала, предпочтительнее среднеквадратичная аппроксимация. Во-первых, как теория
она имеет наиболее простой и законченный вид. Во-вторых, среднеквадратичная близость, за счет наличия интегрального оператора, учитывает погрешность приближения на всем интервале аппроксимации, а
не в точке, а кроме того, интегральный оператор обладает сглаживающими свойствами. Следовательно, представляется целесообразным
отдать предпочтение среднеквадратичной аппроксимации, а именно
обобщенному ряду Фурье по ортонормированным полиномам Чебышёва первого рода.
83
(), 1,2,3,...,
f
f
R
Полиномы Чебышёва первого рода
Tt r
r
ортонормиро-
ваны на интервале [ , ]ab с весом
()
t
2
2[ ( ) ]
tabtab
.
ba
Вычисление коэффициентов Фурье при аппроксимации функции ( )
t
b
r
a
() () ()
r
ctftTtdt
предполагает использование квадратурных формул с реализацией их
на ЦВМ. Однако в точках
, поскольку в этих точках знаменатель ( )t равен нулю и вычисле-
в
ta
и
весовая функция обращается
tb
ние коэффициентов Фурье невозможно. Вручную подобного рода интегралы не берутся, особенно если ( )
t задана не в аналитическом
виде.
Исследования по использованию другого, близкого к полиномам
Чебышева базиса, проиллюстрировали неплохие результаты, когда в
качестве ортонормированного базиса использовались близкие по виду
и свойствам полиномы Лежандра
tr
r
, ортонормиро-
( ), 1, 2, 3, ...
ванные на [ , ]ab с весом ( ) 1t.
Таким образом, в качестве способа приближения и вида базисных
функций использован обобщенный ряд Фурье с базисными функциями
Лежандра.
Восстановление идентифицируемых параметров осуществляется по
найденным оценкам нестационарных спектральных характеристик
(оценкам коэффициентов Фурье). Ошибки определения искомых параметров возникают по следующим причинам.
Во-первых, в условиях задачи идентификации аппроксимируемые
(), [1, ],
функции
at j n
j
ори и остаточные члены ряда Фурье
()ltΔ
оказывается неизмеримым, и решать можно только усеченную
неизвестны, следовательно, неизвестны апри-
(, )
t
. В результате вектор
lj
систему
84
() () ()
j
j
tt tUc v
o
l
, (10.8)
решение которой
()tc
представляет собой оценку вектора ( )tc , а зна-
o
чит, удается определить лишь оценки искомых нестационарных параметров
l
() () (, )
at c t t
oo
jrjr
r
0
, [1, ]jn .
В результате будем иметь методическую погрешность идентификации
Во-вторых, с учетом помех
()
сигналов
ut
, система (10.8) принимает вид
TT
UUc Uv
ll l
() () ()tt teaa
мет o
()
ut
() () () () ()
ttt tt
.
, возникающих при измерении
, (10.9)
где
() () ()
tt t
UU U
ll l
t
U
() (, ) (, ) () , [1, ( 1)], [1, ( 1)]
twttudjmliml
lirj
tT
() () ()tt t
vvv
,
,
,
t
Восстановление оценок
метров осуществляется по оценкам
() (, ) ( ) , [1, ( 1)]
twtudiml
v
i
tT
0
(), [1, ],
atj n
j
()
ct
нестационарных спектраль-
rj
идентифицируемых пара-
.
ных характеристик, полученных в результате решения системы (10.9),
причем это восстановление может быть произведено либо сразу на
всем интервале аппроксимации, либо в отдельной точке этого интервала. Текущая идентификация предполагает информацию о свойствах и
85
поведении наблюдаемого объекта в момент Т, что представляет собой
точку правого конца интервала аппроксимации и логически именно
эту точку, казалось бы, необходимо выбирать в качестве точки восстановления. Однако как показывают многочисленные модельные исследования, хорошо вписывающиеся в рамки свойств полиномов Лежандра (впрочем, как и Чебышёва), ошибка идентификации минимальна при восстановлении идентифицируемых параметров в точке
T
, (10.10)
2
т. е. в середине интервала аппроксимации. Именно в этой точке полиномы Лежандра с нечетными индексами обращаются в нуль, что, вообще говоря, влияет на выбор значения параметра
– количества сла-
l
гаемых ряда Фурье. Недостатком выбора точки восстановления в виде (10.10) является вносимое в текущую идентификацию запаздывание
2T
на величину
по выбору точки
. В результате можно дать следующую рекомендацию
. Если предъявляются более жесткие требования к
информации об объекте именно в текущий момент, пусть даже в
ущерб точности этой информации, то следует полагать
. Если же
T
функционирование объекта в том технологическом процессе, в котором он используется, допускает небольшие запаздывания, но требует
более точной информации о свойствах объекта, то точку восстановления нужно выбирать в виде (10.10).
86
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Анисимов А.С. Алгоритмы идентификации импульсной характеристики:
учеб. пособие / А.С. Анисимов, Г.П. Чикильдин. – Новосибирск: Изд-во
НГТУ, 1996. – 93 с.
Анисимов А.С. Исследование алгоритмов идентификации импульсной и
2.
частотных характеристик / А.С. Анисимов, М.М. Симонов, Г.П. Чикильдин. –
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996. – 48 с.
Анисимов А.С. Алгоритмы преобразования линейных динамических
3.
моделей: учеб. пособие / А.С. Анисимов, В.Т. Кононов, Г.П. Чикильдин. –
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. – 146 с.
Бокс Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление: пер. с англ. /
4.
Дж. Бокс, Г. Дженкинс. – М.: Мир, 1974. – Вып.1. – 406 с.
Бокс Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление: пер. с англ. /
5.
Дж. Бокс, Г. Дженкинс. – М.: Мир, 1974. – Вып. 2. – 200 с.
Гроп Д. Методы идентификации систем: пер. с англ. / Д. Гроп. – М.:
6.
Мир, 1979. – 302 с.
Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: пер. с
7.
англ. / Л. Льюнг. – М.: Наука, 1991. – 432 с.
Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: пер.
8.
с англ. / С.Л. Марпл-мл. – М.: Мир, 1990. – 584 с.
Райбман Н.С. Построение моделей процессов производства /
9.
Н.С. Райбман, Чадеев В.М. – М.: Энергия, 1975. – 376 с.
10. Современные методы идентификации систем: пер. с англ. / под ред.
П. Эйкхофа. – М.: Мир, 1983. – 400 с.
Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов,
11.
В.Я. Арсенин. – М.: Наука, 1974. – 224 с.
Эйкхоф П. Основы идентификации систем управления: пер. с англ. /
12.
П. Эйкхоф. – М.: Мир, 1975. – 683 с.
87
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ ............................................... 3
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ ..................... 6
3. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ИМПУЛЬСНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ (ИХ) ............................................................................... 10
3.1. Общие положения ........................................................................................ 10
3.2. Алгоритмы идентификации на основе МНК ............................................ 13
3.3. Алгоритмы идентификации на основе РМНК ........................................... 18
3.4. Алгоритмы идентификации на основе АК ................................................ 19
4. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ .......................................................... 21
4.1. Общие положения ........................................................................................ 21
4.2. Алгоритмы идентификации на основе ММ ............................................... 23
4.3. Алгоритмы идентификации на основе проекционного МНК ................. 26
4.4. Качественный анализ проекционных методов .......................................... 28
5. РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ .......................................................... 32
5.1. Общие положения ........................................................................................ 32
5.2. Метод регуляризации А.Н. Тихонова ....................................................... 32
6. СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНОГО
СТАЦИОНАРНОГО ОБЪЕКТА ....................................................................... 38
6.1. Общие положения ........................................................................................ 38
6.2. Метод переходных функций ....................................................................... 38
6.3. Идентификация структуры посредством
6.4. Идентификация структуры по оценке ИХ объекта .................................. 41
7. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНОГО
СТАЦИОНАРНОГО ОБЪЕКТА ....................................................................... 44
7.1. Идентификация ЛНД-модели ..................................................................... 44
7.2. Идентификация ЛДД-модели ..................................................................... 49
8. САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ МОДЕЛИ .................................................... 62
8.1. Градиентные самонастраивающиеся модели ............................................ 62
8.2. Неградиентные самонастраивающиеся модели ....................................... 65
9. ОЦЕНИВАНИЕ РАСШИРЕННОГО ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ ....................................... 70
10. ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПАРАМЕТРОВ .................. 7 9
Библиографический список .................................................................................. 87
rl-процедуры .......................... 39
88
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]