Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Идентификация динамических объектов. Учебное пособие
.pdf
R
4. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
ИДЕНТИФИКАЦИИ
ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
4.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Данные методы базируются на том, что идентифицируемая ИХ
представляется в виде обобщенного ряда Фурье по полной системе
некоторых базисных функций
() () () (),
wt at at t
wr r wr r R
rr
00
R
(4.1)
где
a
коэффициенты Фурье;
wr
()rt
базисные функции;
()Rt
остаточный член ряда Фурье.
Таким образом, задача идентификации сводится к определению
оценок коэффициентов Фурье
a
[0,]rR , а собственно оценка им-
оwr
пульсной характеристики будет определяться как
R
() ()
wt a t
r
wr r
0
оо
. (4.2)
Такой подход существенно уменьшает мерность матрицы формируемой системы уравнений, поскольку
K
, а это в свою очередь
w
улучшает обусловленность матрицы, по сравнению, например, с прямым МНК.
()rt
В качестве базисных функций
обычно используют ортонор-
мированные на интервале [0, ) функции Лагерра
r
() 2
teCt
rri
ti
0
i
21
, (4.3)
2( )
j
ri
CCCrR
(1) 0
ri ri r
2
(1)
i
,1,[0,]
, (4.4)
где 0 – некоторый параметр, используемый для сохранения
свойств функций Лагерра при переходе от бесконечного интервала к
конечному.
Для функций Лагерра справедливы соотношения:
1)
sup ( ) (0) 2
[0, )
t
2) эффективная длительность
из условия
3)
4)
5)
6) длительность
вия
() 2/
r
() (0)
t
rr
TrT r
rr
j
2,0( 1) / , 2,25( 1) /
(0,1) (0,05)
() Lp[ ()] 2
st
rr
() () / 2
ss
ri
() 2//1(/)
j
r
()
при
t
r
при
()rT
tT
r
r-ой функции на уровне
находится в виде
()r
; (4.5)
; (4.6)
r
()
s
()
s
() ()
спектра
ss
() ( 1)
ri ri
()
r
находится в виде
()
; (4.7)
(1)
r
; (4.8)
2
; (4.9)
на уровне
из усло-
()
(1 / ) 1 /
2
. (4.10)
Первые пять функций Лагерра показаны на рис. 4.1.
22
x
x
Рис. 4.1
Поскольку задача идентификации ИХ сводится к вычислению оценок коэффициентов Фурье
a
, то в зависимости от того, каким спо-
оwr
собом они вычисляются, различают метод моментов (ММ) и проекционный МНК (ПМНК).
4.2. АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ НА ОСНОВЕ ММ
В ММ помимо ИХ ( )wt в ряд Фурье раскладываются входной ( )
t
и выходной ( )yt сигналы
() ()
xt a t
xi i
i
0
yt a t
,
Если подставить разложение ИХ ( )wt , входного ( )
() ()
yj j
0
j
. (4.11)
t и выходного
()yt сигналов в исходное уравнение свертки
t
() ( ) ( )
yt w xt d
0
,
то получим
23
jri
000
() ( ) ( ) .
at aa td
yj j wr xi r i
t
0
(4.12)
Преобразуя (4.12) по Лапласу, с учетом (4.7) после несложных
преобразований получаем бесконечномерную систему линейных
уравнений
ii
aa ai
xi j wj yj
()
jj
00
2β , [0, )
. (4.13)
Имея в виду, что входной и выходной сигналы измеряются с
помехами, причем на конечных интервалах, система уравнений (4.13)
преобразуется к виду
ii
aa avi
jj
xij
o( )
00
2,[0,)
wj y j i
o
, (4.14)
где оценки коэффициентов Фурье
T
axttdt
xi i
o
() () ,
0
T
ayttdt
yj j
o
0
а обобщенная помеха представляется в виде
i
причем
vaa a
iwixij yj
aa a xttdtxttdt
xi x i xi i i
aa a yt tdtyt tdt
yj y i yi j j
j
0
o
o
()
T
() () () () ,
0
T
() () () () .
0
24
2,
() ()
T
T
, (4.15)
(4.16)
Оценки
x
x
x
a
могут быть вычислены через моменты измеренных сигналов
():yt
и
в виде
C
где
коэффициенты функции Лагерра (4.4).
ri
a
и
o
r
коэффициентов Фурье согласно (4.3) и (4.15)
oyr
T
it
aC
aC
yr ri yi
te x t dt
xi
*
0
T
it
te y t dt
yi
*
0
r
2
o
rrixi
o
0
i
r
2,
i
0
, (4.17)
()
(4.18)
()
, (4.19)
*
(4.20)
*
()xt
Таким образом, в системе алгебраических уравнений (4.14), сформированной относительно коэффициентов Фурье ИХ, определено всё,
за исключением обобщенной помехи, информация о которой отсутствует и поэтому приходится решать лишь усеченную систему алгебраических уравнений
ii
aa a
o( ) o o
ij wj yj
00
jj
2
, (4.21)
которая может быть представлена в векторно-матричном виде
aiRjR
A
o
x
,[0,],[0,]
o( )
xij
a
Aa a
oo o
a
o
w
i
o
y
j
2
wy
,[0,]
ajR
o
wj
,
,[0,]
ai R
o
yj
0
25
, (4.22)
,
o( )
xija
при
ij
,
0
.
Решение этой системы отыскивается по рекуррентным соотношениям
y
J
y
y
y
y
J
a
o0
y
a
wr
1
o
a
o0
x
aa
w
rr
2
jj
2;
o0
aaa
oo()o
jxrjwj
00
(4.23)
o0
x
1
,
1,rR
. (4.24)
4.3. АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
НА ОСНОВЕ ПРОЕКЦИОННОГО МНК
Проекционный метод наименьших квадратов (ПМНК) базируется
на минимизации функционала
T
H
1
22
M
aT
[() ()] [() ()]
H
по искомым коэффициентам
ˆˆ
t
t
,[0,]
ar R
wr
T
H
0
, а
t
tdt
(4.25)
t
ˆˆ
yt w xt d
() (τ) ( τ) τ
0
ˆ
wt a t
,
Подставляя в интеграл свертки выражение ИХ
R
ˆ
() ()
yt a t
wr r
r
0
R
() ()
wr r
r
0
ˆ
()wt
, можно записать
,
.
где
t
() (τ) ( τ) τ
txtd
rr
0
.
Тогда функционал (4.25) принимает вид
T
H
1
awrr
T
H
yt a t
0
R
() ()
r
0
26
2
dt
, (4.26)
а условие его минимума
M
M
Ja
a
0,
wi
[0,]iR ,
что представляет собой систему линейных алгебраических уравнений
R
az
ij T i j
j
0
() ()
H
ij wj i
tt
, [0, ]iR , (4.27)
zM tyt
,
iT
() ()
i
H
.
С учетом конечности интервала наблюдения и наличия помех в
измеряемых сигналах система (4.27) представляется в виде
R
az v
ij wi i i
oo
j
0
o
ij T i j
, [0, ]iR , (4.28)
() ()
tt
,
zM tyt
o
iTi
t
() () ( τ) τ
ttxtd
ii
0
() ()
,
,
а обобщенная помеха
R
va z
iwjiji
j
0
.
Из-за неизмеримости обобщенной помехи решается только
усеченная система уравнений
R
az
ij w i i
oo o
j
0
27
. (4.29)
Эта система уравнений может быть представлена в векторно-матричной форме
Ψa z
ooow
, (4.30)
а ее решение формально записывается в виде
aGz
ooow
,
1o
. (4.31)
GΨ
4.4. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ
Корректирующими параметрами проекционных методов являются:
порядок аппроксимации R;
параметр функции Лагерра;
длительность
интервала наблюдения (величина параметра
T
).
T
Прежде чем обсуждать влияние корректирующих параметров, рассмотрим две особенности, которые возникают при использовании
обобщенного ряда Фурье и функций Лагерра в проекционных методах.
1. В целях уменьшения остаточного члена ряда Фурье порядок аппроксимации R необходимо увеличивать. Однако при больших R может возникнуть проблема суммируемости ряда Фурье, что в свою очередь приведет к увеличению ошибки идентификации. Теоретически
существует возможность уменьшить эту ошибку за счет введения в ряд
Фурье сглаживающих множителей.
2. Существует проблема выбора шага дискретизации
влияют порядок аппроксимации R и параметр
Чем больше R и
для выбора
, тем меньше должен быть шаг
соотношение
t
функции Лагерра.
. Рекомендуемое
t
, на что
t
Ошибка идентификации
eaa
где
et e t t
wR
, [0, ]rR , состоит из двух составляющих.
oar wr w r
2(1 2 )
ar r
0
28
1
. (4.32)
tR
R
() () ()
r
, (4.33)
На уровень первой составляющей
R
x
x
e
влияет обусловленность
ar
матрицы решаемой системы уравнений, которая определяется мерностью матрицы и информативностью входного сигнала. В проекционных методах решением алгебраической системы являются коэффи-
,
циенты Фурье
a
[0,]jR , а не отсчеты ИХ
wj
например, в прямых методах, причем всегда
,[1,],
wk K
kw
K
и этот факт явля-
w
как,
ется положительным, поскольку в проекционных методах мерность
матрицы будет всегда меньше, что улучшает ее обусловленность.
Информативность входного сигнала обеспечивается при условии
W
, где
и
– частоты, ограничивающие эффективные
W
длительности спектра сигнала и АЧХ объекта соответственно.
e
Кроме того, на ошибку
еще влияет конечная величина дли-
ar
тельности интервала T, на котором наблюдаются измеряемые сигналы.
()Rt
Вторая составляющая
определяется остаточным членом аппроксимации. Величина остаточного члена будет тем меньше, чем
ближе будут эффективные длительности
герра к эффективной длительности ИХ
никогда не выполняется, поскольку у каждой
своя длительность
T
. Длительность интервала аппроксимации вы-
r
T
базисных функций Ла-
r
T
. Однако такое положение
w
r
-й функции Лагерра
бирается из следующих соображений:
Длительность
T
r
TTT
базисной функции определяется параметром ,
поэтому выбор параметров
0(δ ) (δ )wR
с учетом соотношения (4.6) может быть
. (4.34)
произведен в виде
2,25 2,25( 1)
TT
ww
R
. (4.35)
В целом, как показывают исследования, методическая составляю-
щая ошибки идентификации уменьшается с увеличением параметров T
и R при выборе разумного значения параметра
Длительность интервала наблюдения
T
.
практически всегда оказы-
вается фиксированной априори.
29
Параметр выбирается из условия (4.35).
R
s
f
K
R
Порядок аппроксимации
можно определить с помощью итерационной процедуры, на которой сравниваются измеренный и модельный выходные сигналы при изменении порядка аппроксимации. Поэтапно это выглядит следующим образом.
1. Задается максимальное значение
2. На каждом
r
-м шаге
0,rR
max
15...20.R
max
, выполняются следующие ос-
новные операции:
2.1) вычисляются оценки коэффициентов Фурье
r
восстанавливается оценка ИХ на этом
()
2.2) определяется оценка
yt
r
-м шаге;
выходного сигнала по идентифици-
a
, [0, ],ir и
owi
рованной оценке ИХ
t
yt w xt d
() (τ) ( τ) τ
rr
;
0
2.3) вычисляется рассогласование между измеренным выходом
()yt
и полученным через интеграл свертки
()
yt
. Сравнение может
r
быть произведено в виде среднеквадратического отклонения
KK
ff
eyyy
yr k rk k
*
[]
kK kK
ss
22
, (4.36)
K
,
– минимальное и максимальное значения точек сравниваемых
реализаций сигналов;
2.4) осуществляется проверка
где
e
– априори задаваемая величина. Если соотношение (4.37)
maxy
ee
выполняется, то принимается порядок аппроксимации
выполняется, то осуществляется переход на следующий
R
до
max
.
, (4.37)
maxyr y
r
шаг и так
1r
, если не
На этом процедура выбора порядка аппроксимации R закончена.
В том случае, если неравенство (4.37) не выполняется для всех
[0, ]rR
, то рекомендуется поменять значение параметра . Если
max
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]