Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Идентификация динамических объектов. Учебное пособие
.pdf
Рассмотрим уравнение (2.6) при
x
x
y
j
j
ющем виде:
tT
и представим его в следу-
w
T
w
()() () ()()
wxt d yt wxt d
0
t
T
w
. (3.1)
Обозначим
t
() ( ) ( )
twxtd
Отметим, что в силу устойчивости объекта
малые (близкие к 0) значения при
Запишем (3.1) с учетом помех ( )
t и выходной ( )yt сигналы идентифицируемого объекта:
()
TT
ww
() ( ) () () () ( ) ( )
wxt dyt
00
Переходя к дискретному времени ( 1)tk t, ( 1)jt ,
Kt
(1),
w
KK
ww
11
jj
получим при
dwx t y y dw x t
(1) (1) кв
jj
kj k k wk jjkj
w
T
w
tT
.
w
. (3.2)
()wt
принимает очень
t и ( )yt , искажающих входной
kK
ttwxtd
w
w
. (3.3)
T
w
,
где
dj K
и
w
– коэффициенты и погрешность квадратур-
кв
,[1,]
ной формулы. Вводя нормированные отсчеты ИХ
ˆ
wdwt
(3.4)
jj
и обобщенную помеху
K
w
vy wx
kkwk jkj
j
11
ˆ
(1) кв
1
(3.5)
,
окончательно будем иметь
s
K
w
ˆ
wx y v
j
1
(1)
jkj k k
kK
,
. (3.6)
w
Соотношение (3.6) служит основой так называемых прямых мето-
дов идентификации ИХ, в том числе и метода наименьших квадратов
(МНК). Необходимо в каждой точке 1, 2, 3, ... ,k
значение ИХ
w
.
k
Выражение (3.6) на конечном интервале
KK
w
KK
,
0 wT
,
T
1,
представляет собой систему
ных алгебраических уравнений относительно
метр
отрезке
указывает, сколько раз длительность ИХ
T
[1, ]
KKK
ss
наблюдаемых сигналов входа и выхода объ-
0
kK
kK K K
K
неизвестных. Пара-
w
K
,
определить
w
[1, ]
ss
K
укладывается на
w
линей-
0
0
екта идентификации. В векторно-матричной форме эта система имеет
вид
ˆ
где
ˆ
,[1,]
wj K
ˆ
w
jw
,
Xwy δv
, (3.7)
,
xk jK
X
(1) 0
*
ykK KK
kss
vk K K K
δv
k
,[ ],[1,]KKK
kj s s w
,[ 1, ]
,[ 1, ]
y
ss
1,
,
0
.
0
,
12
3.2. АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
J
y
НА ОСНОВЕ МНК
В выражении (3.7) вектор обобщенной помехи δv оказывается неизмеримым, и решить алгебраическую систему можно с помощью метода наименьших квадратов, который предполагает минимизацию
функционала
KK
0
T
δv δv
s
kK
2
v
(3.8)
k
1
s
и приводит к усеченной системе уравнений
относительно оценок
1
(при
T
матрица
Xw=y
ˆ
w
ИХ
о
X
имеет прямоугольный вид) окончательно по-
.w
После первой трансформации Гаусса
o
лучаем
T
Vw X
о
,
VXX
T
. (3.9)
Формально решение системы (3.9) может быть записано в виде
1о
T
wVXy
что является МНК-оценкой искомого вектора ИХ
, (3.10)
ˆ
w
.
Представим систему (3.7) следующим образом:
11 1
KK K
ˆ
Vw X y X δv
00 0
TT
(3.11)
и, введя в рассмотрение оценки корреляционных функций
RM
xyi K
RM
xxi K
RM
xvi K
[][ ]
0
[][ ]
0
[][ ]
0
xxy y
0(1) 0
kki
xxx x
0(1) 0
kki
xx v v
0(1) 0
kki
,
,
,
13
перейдем к эквивалентной системе уравнений
x
s
K
w
RwRR
j
(1)
xij xyi xvi
1
ˆ
j
,
iK
[1, ]
w
, (3.12)
которая в дальнейшем понадобится для анализа свойств системы.
Следует отметить, что корреляционные функции могут определяться для стационарных процессов, поэтому возникает условие
KK
цессу. Кроме того, параметр
усреднения (величину
с увеличением
жаться к истинным (
, гарантирующее близость сигнала ( )yt к стационарному про-
w
, задающий длительность интервала
T
K
), нужно брать как можно больше, поскольку
0
оценки корреляционных функций будут прибли-
T
K
0
).
Корректирующими параметрами, определяющими эффективность
МНК идентификации ИХ, АЧХ, ФЧХ, являются шаг дискретизации по
K
времени
, длительность ИХ
t
наблюдения (усреднения)
K
, определяемая параметром
0
T
(
w
), длительность интервала
w
KK
0 wT
Ошибка идентификации МНК
1
ˆˆ
ewwVXδv
w
o
T
(3.13)
.
зависит от обусловленности матрицы
VV
Vmax
и
где
числа матрицы
V
– максимальное и минимальное собственные
Vmin
(чем больше , тем хуже обусловленность), и со-
V
, определяемой числом Тодда
max min
,
держит методическую и инструментальную составляющие.
V
Обусловленность матрицы
нам. Первая связана с увеличением мерности матрицы
зависит от количества искомых параметров
тельно, чтобы улучшить обусловленность матрицы
либо уменьшать эффективную длительность ИХ
шаг дискретизации
обобщенной помехи
. И то и другое приводит к увеличению уровня
t
v
.
k
может ухудшаться по двум причи-
V
, которая
1
. Следова-
,
V
необходимо
14
KTt
ww
T
, либо увеличивать
w
Вторая причина порождается недостаточной информативностью
x
x
входного сигнала, подаваемого на объект идентификации. Входной сигнал считается информативным, если выполняется условие
где
входного сигнала, а
– максимальная частота эффективной длительности спектра
maxx
– максимальная частота эффективной дли-
W
max
W
тельности АЧХ объекта.
Методическая составляющая ошибки идентификации
e
возника-
w
ет из-за наличия обобщенной помехи (3.5), куда входят слагаемые
()wt
от усечения ИХ и погрешности
Причем ошибка
будет понижаться при уменьшении
e
w
связано с увеличением
шением
или
t
ров
t
, что в свою очередь будет иметь место при уменьшении
кв
T
. Таким образом, из-за противоречивого влияния парамет-
w
T
и
методическая составляющая ошибки идентификации не
w
T
, а снижение ошибки
w
квадратурных формул.
кв
связано с умень-
e
кв
()wt
, что
может быть уменьшена ниже некоторого граничного значения, вели-
T
чина которого возрастает с увеличением
K
(
w
). Отсюда следует,
w
что МНК применим при идентификации слабо колебательных ИХ, характеризуемых малыми значениями
K
при больших величинах t.
w
Инструментальная составляющая ошибки (3.13) связана с наличием помех ( )
t и ( )yt , искажающих входной ( )xt и выходной ( )yt
сигналы идентифицируемого объекта. Уменьшить эту ошибку можно
соответствующим выбором генератора входного сигнала, измерительной и регистрирующей аппаратуры, а также увеличением интервала
усреднения (параметра
).
T
,
Полный классический МНК
Полный классический МНК можно представить в следующем виде.
1. Формирование системы линейных алгебраических уравнений
(3.9) на основе соотношений (3.1)–(3.8).
2. Определение нормированной МНК-оценки ИХ согласно (3.10).
3. Вычисление реализации оценки ИХ
ˆ
wwdtk K
oo
kkk w
(),[1,]
15
.
4. Определение вещественной
P
F
m
21]
N
F
,
Nm
F
2 , 2,3,4, ... ,
F
( ) () ()
Wj P jQ
oo o
и мнимой
oWi
частей оценки АФХ
WW
Q
oWi
[1,iN
,
0
посредством прямого дискретного преобразования Фурье
Fo , [1, ] , [1, ]
WwkKiN
oдo 0
ikw
с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).
5. Определение оценки АЧХ
6. Определение оценки ФЧХ
HW .
ooii
arg
W
oo
ii
.
Необходимо отметить следующие особенности классического МНК.
1. При решении практических задач идентификации ИХ, как правило, используется квадратурная формула прямоугольников и коэффициенты
1, [1, 1], 0
djK d
jwK
2. Из-за плохой обусловленности матрицы
тельных погрешностей и неизмеримых
.
w
V
, наличия вычисли-
()wt
и
, даже в случае
кв
отсутствия помех и идентификации неколебательной ИХ (достаточно
большой шаг
и малое значение
t
большие (среднеквадратичная на
K
), ошибки идентификации очень
w
K
ошибка может достигать 100 % и
w
более).
Регуляризированный МНК
V
Улучшить обусловленность матрицы
и тем самым уменьшить
ошибку идентификации позволяет регуляризация по А.Н. Тихонову, преобразующая систему линейных алгебраических уравнений (3.9) к виду
– единичная матрица, а – параметр регуляризации. При соот-
где
E
ветствующем выборе параметра
()
VEwXy
удается подавить высокочастотную
о
T
, (3.14)
составляющую ошибки (3.13).
16
В отличие от классического МНК модификацию (3.14) называют
P
р
р
р
регуляризированным МНК, а
– новый корректирующий параметр
алгоритма. Существенный недостаток регуляризированного МНК –
сложность выбора параметра
при решении конкретной задачи иден-
тификации, поскольку никаких рекомендаций по этому поводу в общем случае нет.
Модифицированный МНК
Результаты многочисленных исследований, проводимых на раз-
личных модельных объектах, проиллюстрировали, что ошибка иден-
e
тификации
высокочастотной области за частотой
имеет спектр с явно выраженным высоким уровнем в
w
, определяющей эффектив-
W
ную длительность АЧХ объекта. Указанная особенность позволяет
e
уменьшить, причем существенно, ошибку
обнуления вещественной
и мнимой
oW
за счет принудительного
w
Q
частей АФХ
oW
W
o
за не-
которой частотой
(1)N
рр
W
, (3.15)
с последующим уточнением оценки ИХ
w
путем обратного преобра-
о
зования Фурье усеченной АФХ.
Частоту
будем называть частотой регуляризации, процедуру
усечения АФХ – частотной регуляризацией, а метод – модифицированным МНК.
В вычислительном плане отличие модифицированного метода от
классического МНК заключается в следующем.
1. На четвертой операции (см. этапы реализации классического
W
МНК), после нахождения оценки АФХ
P
o0Wi
Q
,
o0Wi
, производится обнуление:
oi
[, ]iNN
,
.
0
2. Вводится дополнительная седьмая операция
1
Fo , [1, ]
wWiN
,
оoр
ki
– новый корректирующий параметр, выбор которого производится
д
kK
[1, ]
w
.
алгоритмически, исходя из рекомендации (3.15). Обычно получается,
17
р
,
x
K
что
чуть меньше
()H
невысокого уровня (вблизи
o
и это обоснованно, так как, подрезая АЧХ
W
), тем самым обнуляем более
W
существенный уровень спектра ошибки идентификации.
3.3. АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ НА ОСНОВЕ РМНК
Априорной информацией для решения задачи идентификации ИХ
служат реализации входного
измеренные на интервале
kK
и выходного
k
[1, ]
. При формировании системы ал-
y
y
сигналов объекта,
k
гебраических уравнений (3.7) используются лишь отрезки измеренных
сигналов длиной
[1, ]
KKK
ss
, причем
0
KK
0wy
. Другими
словами, значительная часть априорной информации не используется,
хотя, например, при
kK K r
, 2, 3, ...r , можно формировать
0s
новые системы уравнений, решения которых могут привести к уточнению МНК-оценок. Однако неоднократное формирование и решение
()
алгебраических систем, тем более с прямоугольной
X
цей
тельности интервала усреднения (параметра
, что повышает помехоустойчивость за счет увеличения дли-
T
KK
0
матри-
w
), существенно повышают вычислительные затраты. Устранить эту проблему можно, используя рекуррентную процедуру вычисления обратной матрицы
и МНК-оценки
w
.
o
1
V
Рекуррентный МНК (РМНК) выполняется в следующем виде.
Задаются начальные условия
1
– единичная матрица,
где
E
Выполняется
ˆ
w0
o0
,
o0 o0
[10 , 1 0 ]
r
-шаговая 1, 2, 3, ...,rR процедура
DV E
36
.
, (3.16)
Dx x D
o( 1) ( ) o( 1)
DD
oo(1)
rr
ˆˆ
oo(1) o()
rKr r
T
xDx
()
Kr
s
ww Dx
rrrr r
18
T
()
s
Kr
s
o( 1) ( )
rKr
K
s
, 1 , (3.17)
s
, (3.18)
где
R
x
K
y
rr
Kr Kr
()()
ss
xw
ˆ
o( 1)
.
Приведенный алгоритм называется РМНК с взвешиванием в отли-
чие от классического РМНК, где 1 . Параметр
вания» старой информации; чем меньше
, тем больше информации
служит для «забы-
«забывается».
Корректирующими параметрами РМНК являются
мендации по выбору требуемого количества итераций
, , R. Реко-
неизвестны.
3.4. АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ НА ОСНОВЕ АК
В алгоритмах Качмажа (АК), как и в РМНК, оценка ИХ определяется итерационным путем, а значит, предполагается задание начальных условий, например, в виде
w0
(3.19)
o0
и дальнейшее уточнение оценок посредством пошаговой процедуры,
r
на каждом
-м ( [1, ]rR ) шаге которой возникает r-е уравнение
K
w
rj r r
(1) ()()
KKK
j
sss
1
ˆ
wy v r K
j
, 1, 2, ...,
, (3.20)
0
и минимизируется функционал
r
2
,
()
r
s
Jv
в результате чего вычисляется
ww x
oo(1) ()
rr Kr
r
-я оценка
y
() o(1)
K+r r
xw
Kr
s
xx
()
T
()
Kr
s
s
()
Kr
s
. (3.21)
s
Корректирующий параметр χ алгоритма Качмажа выбирается из
условия сходимости алгоритма в виде (0,2] .
Соотношение (3.21) называют классическим алгоритмом Качмажа.
Известны несколько модификаций классического алгоритма:
алгоритм Naguma–Noda;
1)
19
2) помехоустойчивый алгоритм В.М. Чадеева;
R
R
3)
алгоритм с центрированием данных Ю.Б. Лоца;
ускоренный алгоритм Э.Д. Аведьяна–Я.З. Цыпкина;
4)
ускоренный алгоритм Я. Маркла.
5)
По экспериментальным данным сравнительных характеристик указанных алгоритмов в плане их точности и помехоустойчивости некоторое предпочтение следует отдать алгоритму В.М. Чадеева:
ww x
oo
r
где параметр
y
()()(1)
KK
rr
(1) ( )
выбирается в виде
xw
+r r r
ss
T
xx
rr
()()
KK
ss
0
o
K
и служит для повышения
w
помехоустойчивости алгоритма Качмажа–Чадеева.
Корректирующими параметрами алгоритма являются
K
чество итераций
метра
нет.
. Конкретных рекомендаций по выбору пара-
0
K
s
, (3.22)
и коли-
,
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]