Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Идентификация динамических объектов. Учебное пособие
.pdf
При этом
g
() [ (), 1, ],
tvtimnv
i
[, 1, ]
imng
i
.
В результате система нелинейных дифференциальных уравнений
относительно расширенного вектора состояния объекта ( )t
v , объеди-
няющая системы (9.1) и (9.2), может быть представлена в виде
(1)
() [ (), ],
ttt
vgv
(0) .
vv
0
(9.3)
Решение системы (9.3) можно отыскать, например, методом квазилинеаризации или инвариантного погружения. Рассмотрим первый из
них.
Метод квазилинеаризации представляет собой итерационную процедуру, на каждом
r
-я оценка
()rtv
вектора ( )tv посредством решения некоторой си-
r
-м шаге которой (
1, 2, 3, ...r
) вычисляется
стемы линейных алгебраических уравнений. Эта система получается
при аппроксимации функции [ ( ), ]tt
() ()
()t
v . Полагая
ttvv
r
gv рядом Тейлора в окрестности
и учитывая только линейную часть ряда
Тейлора, можно перейти от нелинейной дифференциальной системы
(9.3) к линеаризованной системе алгебраических уравнений вида
(1)
() () ()
ttt
vGv
rrr
[(),] ()(),
gv G v
(1) (1) (1)
rrr
(1)
tt t t
(9.4)
где
g
() , , [1, ]
G
tijmn
r
(1)
i
v
j
vv
. (9.5)
(1)
r
Формально решение системы (9.4) может быть представлено как
() () (0) ()
tt t
где матрица
V
(1)
rt
vV v p
rrrr
()
(1) (1)
является решением однородной матричной си-
, (9.6)
стемы дифференциальных уравнений
71
(1)
g
а вектор
p
(t) представляет собой решение неоднородной диффе-
(1)r
VG V
(1)
r
(0)
VE
(1)
r
() (),
tt
(1) (1)
rr
,
(9.7)
ренциальной системы
(1)
pGpgv Gv
(1)
r
(0)
p0
(1)
r
() () () [ (),] () (),
ttt tttt
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
rr r rr
.
Предполагаем, что метод квазилинеаризации сходится, т. е. имеет
место
(9.8)
Тогда при
а при
rR
lim ( ) ( )
r
будем иметь
r
av v
() ()
imi mi
(R – количество итераций)
av i n
iRmi
tt
r
(0)
(0), [1, ]
()
vv
.
, [1, ]in ,
.
Поэтапно метод квазилинеаризации выглядит следующим образом.
На основании некоторых физических соображений задается
()tv
начальное условие – оценка вектора
рационная процедура, на каждом
r
-м,
, а затем организуется ите-
0
[1, ] ,rR
шаге которой выпол-
няется ряд операций:
1) формируется матрица
числяются как
ii
G
v
, , [1, ],ij m n путем решения уравнения чув-
вида (9.5), элементы которой вы-
(1)r
ствительности;
2) определяется матрица
V
(1)
посредством решения однород-
rt
()
ной дифференциальной системы (9.7), мерность которой ( )mn
()mn;
72
()
R
3) вычисляется вектор
p
(1)
rt
, представляющий собой решение
()mn -мерной неоднородной системы дифференциальных уравне-
ний (9.8);
(0)
v
4) определяется оценка
5) вычисляется оценка
и вектора (0)v ;
r
()rtv
по выражению (9.6);
6) вычисляется функционал
|| ( ) ( ) ||
vt t
vv
rr r
(1)
, [0, ]tT ,
например, вида
TT
mn
vdtvtdt
1
mn
i
1
rri
() ()
vt v t
00
ri r i
(1)
2
7) производится сравнение вычисленного значения
задаваемой величиной
при
vv
r
осуществляется переход на следующий ( 1)r -й
и выносится соответствующее решение:
v
шаг,
при
vv
r
производится останов итерационной процедуры и
принимается
,
r
av
iRmi
()
yt v
iRi
(0)
()
, [1, ]im .
, [1, ]in ,
В заключение следует отметить, что оценка
условий (0)
v (см. п. 4) находится на основе первого уравнения систе-
мы (9.4), которое в развернутом виде выглядит как
mn
() () () (0) ()
vt yt v tv p t
rr rjrj rj
1 ( 1)1 ( 1)
j
1
2
()
(0)
v
r
;
v
с наперед
r
начальных
r
и представляет собой
чем, поскольку
vjm
[1, ]jm ), необходимо отыскать только
-ю оценку выходного сигнала объекта. При-
(0), [1, ],
rj
задаются априори (
начальных условий
n
73
(0)
vy
rj j
v
rj
(0)
,
0
,
[1, ]jm mn . Эту задачу можно решить из условия минимизации
J
функционала
TT
[() ()]
y t y t dt dt
00
r
2
yt v tv p t
mn
() () (0) ()
(1) (1)1
rj rj r
1
j
2
путем исследования его на экстремум, а именно
Jv
(0)
rj
В результате приходим к необходимости решать систему
, [ 1, ]jm mn .
0
n линей-
ных алгебраических уравнений
T
mn
() () (0)
vtvtdtv
(1) (1)
rj ri rj
1
j
0
T
yt v tv p t
0
m
() () (0) ()
rj rj r
(1) (1)1
j
1
vtdt
ri
(1)
, [ 1, ]im mn .
()
Метод квазилинеаризации наряду с оцениванием параметров позволяет оценить при необходимости и вектор состояния нелинейного
объекта, а в ряде случаев дополнительно и некоторые характеристики
помех, что является достоинством метода.
Однако в общем случае сходимость метода квазилинеаризации не
доказана. В результате оценивание расширенного вектора состояния
существенно зависит от начальных условий. Исследования показывают, что если начальные условия выбраны достаточно близко, то алгоритм сходится. Кроме того, реализация метода предполагает существенные вычислительные затраты, связанные с формированием и решением обширных систем уравнений, что также негативно характеризует метод линеаризации.
Рассмотрим пример. Объект описывается линейным (для простоты
понимания) дифференциальным уравнением
(2) (1)
() () () ()ytaytaytaxt
321
(0) (0)
yyy y.
(1)
,
00 10
,
74
Эквивалентная система уравнений вида (9.1) с учетом обозначения
() ()yt yt
1
записывается в форме
(1)
() (),
yt yt
1
(1)
yt aytaytaxt
2
2
() () () (),
21 3 2 1
а система (9.2) определяется выражением
(1)
at
at
at
() 0,
1
(1)
() 0,
2
(1)
() 0.
3
Вводя обозначения
vt yt yt
() () (),
11
vt yt
() (),
22
vt a
() ,
31
vt a
() ,
42
vt a
() ,
53
представим систему (9.3) в виде
(1)
() (),
vtgvt
1
(1)
v t g v tv t v tv t v txt
2
(1)
vtg
3
(1)
vtg
4
(1)
vtg
5
(0) ,
vy
100
(0) ,
vy
210
12
() () () () () () (),
241 52 3
() 0,
3
() 0,
4
() 0,
5
75
или
(1)
() [(), ]tvttvg
(0)
vv
.
0
,
Решение этой линейной системы в соответствии с (9.6) (система
уравнений (9.4) нелинейная) будет
() () (0)
tt
vV v
rrr
Для определения матрицы
(1)
V
(1)
rt
()
(9.7), а это в свою очередь требует формирования матрицы
.
необходимо решить систему
G
согласно (9.5)
()
G
(1)
rt
(1) (1) (1)
yy y
01
aaa a xtyta a a yta
232 3 2 3 2 3
000 0 0
000 0 0
000 0 0
aa a
12 3
yy y y y y
aa a a a a
11 2 2 3 3
(1) (1) (1)
() () ()
() ()
yt y t
(1)
r
=
(1)
yt y t
,
(1)
() ()
r
(1)
(1)
,
(1)
rt
()
aa t
1
()
(1)1
r
aa t
,
2
Уравнения чувствительности:
(2) (1)
1)
2)
() () () ()utautautxt
11
(2) (1)
22
321
aa aa
2(2) 3(3)
() () () ()utautaut yt
322
aa aa
2(2) 3(3)
(0), (0)
rr
(0), (0)
rr
(1)2
r
при
76
()
aa t
,
3
;
при
() ()
yt y t
,
(1)3
r
(1)
r
()
.
;
(2) (1)
3)
() () () ()utautaut yt
33
323
(1)
при
aa aa
2(2) 3(3)
(0), (0)
rr
(1)(1)(1)(1)(1)
vvvvv
11 12 13 14 15
(1) (1) (1) (1) (1)
vvvvv
21 22 23 24 25
(1) (1) (1) (1) (1)
vvvvv
31 32 33 34 35
(1) (1) (1) (1) (1)
vvvvv
41 42 43 44 45
(1) (1) (1) (1) (1)
vvvvv
51 52 53 54
,
(1)
yt y t
(1)
() ()
r
(1)
=
55
.
____________________________
(1)
()rt
V
(1)
(1) (1) (1)
01
a a au au x au au y au au y
23213 223 233
000 0 0
000 0 0
000 0 0
uu u
123
(1) (1) (1)
123
(1)
______________________________________________________
(1)
rt
()
G
vvvvv
11 12 13 14 15
vvvvv
21 22 23 24 25
vvvvv
31 32 33 34 35
vvvvv
41 42 43 44 45
vvvvv
51 52 53 54 55
___________________________
()
V
(1)
rt
77
.
10 0 00
01 0 0 0
V
(0) 0 0 1 0 0
(1)
r
.
00 010
00 0 00
Это и есть система (9.7) в развернутом виде для рассматриваемого
примера, решение которой
xxxxx
xxxxx
()00 00
Vx
(1)
rt
000 0
x
0000
.
x
78
j
10. ИДЕНТИФИКАЦИЯ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Пусть объект описывается уравнением
n
() () ()
Это может быть линейный объект
atut ut
jj
j
1
. (10.1)
0
() ( 1) ( 1)
lj j
yt aty t btx t
lm
() () () () ()
jj
11
jj
1
,
причем координаты
() ()
ii
()
ut u
jj
(), [0, ], (), [0, ]
yti lxti m
, [1, ]jn ,
или нелинейный по координатам, но линейный по параметрам, например, объект, описываемый уравнением типа Риккати
(1) 2
() () () () ()ytatytaytat
Структура объекта (порядок
() [0, ), [0, ],
Координаты
но с помехами
ut C j n
j
()
ut
123
n ) известна.
доступны измерению (обыч-
) и представляют собой линейно независимые
.
функции.
Предполагаются известными нижняя
и верхняя
u
граничные
u
частоты эффективной полосы спектра координат объекта и максимальная частота
max
a
max
jn
[1, ]
79
a
j
спектра идентифицируемых параметров, которую можно грубо оце-
j
нить из физических законов функционирования идентифицируемого
объекта.
Ставится задача текущей идентификации параметров
() [0, )
at C
j
, [1, ]jn .
Решение ее базируется на формировании системы
mn
уравнений,
например, путем воздействия на уравнение (10.1) совокупности интегральных операторов Вольтерра с ядрами
wt
i
, [1, ]im .
(, )
В результате будем иметь
t
(, ) ( ) ()
tdt
Ha v
, (10.2)
0
(), [1, ]
где
j
H
(, )
t
() () (, ) ( ) , [1, ]
tut wtu di m
v
На функции
wt
at
()
t
a ,
– некоторая конечная фиксированная величина.
где
T
n
( , ) ( , ) ( ), [1, ], [1, ]
ht wt u j ni m
ij i j
00
(, )
i
t
ii
0
накладывается условие финитности, т. е.
(, ) 0
wt
i
при T , (10.3)
,
.
Решение интегрального уравнения Вольтерра (10.2) представляет
собой некорректную задачу, и известные методы, в том числе и регуляризация по А.Н. Тихонову, оказываются мало пригодными в условиях текущей идентификации.
Для решения системы (10.2) предлагается метод, в основе которого
лежит представление идентифицируемых параметров на скользящем
интервале времени [ , ]tTt в виде обобщенного ряда
l
() () (, ) (, )
at c t t Rt
jrjrlj
r
0
80
, [ , ]tTt , (10.4)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]