Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Идентификация динамических объектов. Учебное пособие
.pdf
K
J
x
0
1
fuy
uy K k
fuδv
uv K k
()
1
0
()
1
S
S
K
0
k
K
1
K
0
k
, (7.19)
. (7.20)
Решение системы (7.18) ищем методом наименьших квадратов
(МНК) из условия минимума функционала
K
0
1
K
0
k
2
v
,
k
1
в результате чего МНК-оценку искомых параметров определим из усеченной системы алгебраических уравнений
Va f
ouu uy
(7.21)
в виде
1
aVf
o uu u y
. (7.22)
Следует отметить, что МНК-оценки, найденные согласно (7.22),
получаются смещенными относительно истинных параметров.
Ошибка идентификации
eaa
возникает из-за отбрасывания неизмеримого вектора
o
f
правой ча-
uv
сти системы и может быть уменьшена за счет компенсации влияния
указанного вектора, что реализуется в так называемом прямом компенсационном МНК (ПКМНК).
Помимо компенсационного подхода возможны другие способы
уменьшения ошибки идентификации. Для описания этих способов
воспользуемся аппаратом корреляционных функций.
Взаимная корреляционная функция между сигналами ( )
t и ( )yt в
идеальном случае выглядит как
T
0
() lim ( ) ( ) { () ( )}
Rt xyt d Mxyt
xy
T
0
0
.
51
Конечность длины интервала
x
x
T
и вычисление интеграла посредством
0
квадратурной формулы позволяют определить лишь оценку
K
0
RxyMxy
1
yk iki K iki
K
0
i
() ()
1
{}
0
. (7.23)
Если сравнить (7.23) с выражениями слагаемых системы (7.18), то
будет очевидно, что элементы матрицы
V
и векторов
uu
f
uy
и
f
uv
представляют собой отсчеты автокорреляционных и взаимнокорреляционных функций, что позволяет записать алгебраическую систему
(7.18) в эквивалентном виде
n
RaR R
uu i j j u y i u vi
() (1) (1)
j
1
. (7.24)
Из (7.24) следует, что помимо компенсации неизмеримого вектора
уменьшение ошибки идентификации будет иметь место, если оценка:
R
R
R
будет стремиться к 0,
(1)uvi
будет стремиться к истинной
()uu i j
будет стремиться к истинной
(1)uy i
R
R
()uu i j
(1)uy i
,
.
Попытки реализации уменьшения ошибки идентификации были
сделаны в алгоритмах:
1) прямом компенсационном МНК (ПКМНК);
2) обобщенном МНК (ОМНК);
3) рекуррентном МНК (РМНК) и близком к нему алгоритме Кач-
мажа (АК);
4) методе инструментальной переменной (МИП).
7.2.1. ПРЯМОЙ КОМПЕНСАЦИОННЫЙ МНК
Ставится задача скомпенсировать влияние неизмеримого вектора
f
системы (7.18) на ошибку идентификации. Для этой цели прове-
uv
0
дем анализ указанного вектора в предположении, что помеха
52
v
не коррелирует с входным
k
0, 1, 2, ...k , а обобщенная помеха
сигналом
,
0,1,2,...k
k
x
,
k
Представим вектор
x
f
в следующем виде:
uv
y
{}
Mv
fQf
uv yv
Mv
kk
0
{}
x
0
kk
f
yv
0
Соотношение (7.25) получено в предположении, что
{}
поскольку априори
Mvx0
0
kk
v
k
и
, 0, 1, 2, ...,k не коррелируют между
k
,
собой. Матрица
E
n
0
– единичная матрица порядка n .
имеет мерность ( )nnm , а
Q
E
n
На основе (7.18), (7.19) и (7.21) можно записать:
11
aVf VVaf
uu uy uu uu u v
o
11
()
VVaQf aVQf
uu uu y v uu y v
В результате, если оценить вектор
()
f
, то можно получить ском-
uv
пенсированную оценку
1
aaVQf
oк o uu y v
. (7.26)
. (7.25)
.
Введем в рассмотрение расширенный вектор
[ ; ], [ , ... ]
uuxx
k k k k km km kmn
xx x
(1)(2)( )
,
отличающийся от ранее используемого
[;][;, ... ],
uyx y
kkk kkk km
xx x
(1) ( )
и в результате определенных векторно-матричных преобразований получим
1
1
f
yv
TT
VV Q Va f
ux uu ux xy
53
o
, (7.27)
где
M
T
ux
(
NK
ux
M
V
f
xy
x
K
(
N
)
k
K
(
0
y
,.
k
)
k
0
,
)
k
0
NK
(7.28)
0
Таким образом, последовательность вычислительных этапов ПКМНК
имеет следующий порядок.
1. По выражениям (7.19), (7.28) при [1, ]kN вычисляем оценки
()
uu
NV
()
Nf
,
uy
()
ux
NV
,
()
Nf
,
xy
.
2. Определяем МНК-оценку (7.22):
1
() () ()
NNN
o
aVf
uu u y
.
3. Оцениваем неизмеримый вектор (7.27):
11
()[()()][()() ()]
NNN NNN
f VVQVa f
yv ux uu ux xy
TT
o
.
4. Вычисляем уточненную, скомпенсированную оценку (7.26):
1
() () () ()
NN N N
aaVQf
oк o
uu y v
.
ПКМНК характеризуется новым корректирующим параметром
7.2.2. ОБОБЩЕННЫЙ МНК
.
N
Ставится задача уменьшить (теоретически до нуля) уровень обобщенной помехи
том, что
v
щего фильтра на белый шум
v
за счет ее «выбеливания», которое заключается в
k
представляется в виде реакции дискретного формирую-
k
. Это позволяет выразить обобщенную
k
помеху в виде произведения белого шума на ПФ фильтра, в результате
чего взаимная корреляционная функция
R
(неизмеримое сла-
(1)uvi
гаемое правой части системы уравнений) в выражении (7.24) будет
стремиться к нулю, поскольку белый шум не коррелирует ни с каким
другим сигналом.
54
ПФ формирующего фильтра можно представить в виде авторегрессионной (АР) модели
[1 ( )]
vCz
kk
P
vcv
kjkjk
j
kK K K
(1)
1
[1, ]
ss
го порядка (рис. 7.3) и тогда
-P
,
P
,
.
0
Рис. 7.3
Фиксируя значения параметра
на интервале наблюдения, можно
k
сформировать систему линейных алгебраических уравнений, которая в
векторно-матричном виде записывается как
δv δVc δ
, (7.29)
откуда
δv δVc δ
. (7.30)
Подставив (7.30) в алгебраическую систему (7.17), получим
TTTT
UUa Uy UδVc Uδ
В этом выражении слагаемое
1
K
0
ную корреляционную функцию между
сти
k
1
T
Uδ 0
K
0
T
Uδ
представляет собой взаим-
и
ku
,
.
. В силу независимо-
k
в результате
Из (7.31) можно найти искомый вектор
известны
δV
и c .
Для оценивания матрицы
TTT
UUa Uy UδVc
a при условии, что будут
и вектора c представим (7.29) как
δV
. (7.31)
δVc δv δ
55
(7.32)
и преобразуем (7.32) к виду
P
j
TTT
δV δVc δV δv δV δ
где
и тогда
δV δVc δV δv
1
T
δV δ 0
0
TT
,K
,
. (7.33)
Из системы (7.33) можно определить вектор
предварительно оценивается обобщенная помеха
a
(7.22).
ку
o
c . Однако для этого
v
через МНК-оцен-
k
Таким образом, вычислительная схема ОМНК может быть представлена в следующем виде.
1. Выбираем порядок
рекомендациями
(0,3...0,5)PK
2. Запускаем итерационную процедуру, на каждом
формирующего фильтра в соответствии с
.
0
r
-м шаге кото-
рой:
1) определяем оценку обобщенной помехи
n
vau y
rk r j k j k
(1) (1)
j
1
где в качестве начальных условий
a
, [1, ]jn , используются грубые
0
[1, ]
kK K K
,
ss
,
0
МНК-оценки, найденные обычным МНК (7.22);
2) из системы
δV δVc δV δv
вычисляем оценку вектора
3) находим оценку
a
r
TT
rr rr
c
r
;
вектора a путем решения системы
TTT
UUa Uy UδVc
rrr
56
;
4) вычисляем норму
P
K
K
x
R
y
aa
(1)rr
и выносим решение о прекращении или продолжении итерационной
|| || 0
процедуры (в случае сходимости алгоритма имеем
r ).
при
aa
(1)
rr
Сходимость ОМНК в значительной мере определяется порядком
формирующего фильтра, который является основным корректирующим параметром ОМНК, однако никаких конкретных рекомендаций
по выбору этого параметра нет, поэтому может возникнуть проблема
сходимости алгоритма.
7.2.3. РЕКУРРЕНТНЫЙ МНК
В данном случае для уменьшения влияния неизмеримого вектора
(7.20) системы (7.18) необходимо увеличивать количество формируемых уравнений. Такая возможность реально существует, поскольку
[1,
алгебраическая система (7.18) формируется на интервале
]
K
, а длина интервала
0
s
интервала наблюдения
формации (измеренные
()
KK
s
. Другими словами, часть априорной ин-
y
kK
y
и
k
,
k
существенно меньше длины
0
[1, ]
) не используется. Можно
y
kK
s
формировать системы уравнений последовательно на интервалах
[1, 1]
kK K K 0[1, 2]
ss
случае на
kK K K r
0
[1, ]
ss
систем уравнений требует
стем, мерность которых увеличивается по мере возрастания
kK K K
ss
, [1, ]rR . Однако формирование R
0
обращений матриц сформированных си-
r
, а это
приводит к существенному повышению вычислительных затрат. В результате была предложена рекуррентная процедура вычисления обратной матрицы
РМНК параметрической идентификации.
Решение алгебраической системы обычным МНК запишем как
1o
aUyD
,
1,
DU
и тогда численную реализацию РМНК можно поэтапно представить в
следующем виде.
57
1. Зададим начальные условия
R
o1
a0
,
DE
1
,
6
. (7.34)
10
2. Выполним
r
-м шаге которой ( 2, 3, 4, ... ,rR ) вычислим:
-шаговую итерационную процедуру, на каждом
1) оценку обратной матрицы
DuuD
(1) (1)
rrrr
DD
(1)
rr
1
T
T
uD u
(1)
rr r
; (7.35)
2) оценку вектора искомых параметров
aa Du
oo(1)rr rrr
, (7.36)
где
uua
T
oo(1)rrrr
Если рекуррентный алгоритм сходится, то при
aa
or
.
.
r получим
Приведенный выше РМНК называют классическим алгоритмом.
Чаще на практике используется РМНК со взвешиванием, отличающий-
D
ся вычислением матрицы
DD
rr
, а именно
r
(1)
DuuD
(1) (1)
rrrr
T
T
uD u
(1)
rr r
, (7.37)
где вводится дополнительный параметр 1 , характеризующий сте-
пень «забывания» старой информации (при 1 вся информация ис-
пользуется полностью).
Новые корректирующие параметры РМНК:
личие от
и существует проблема выбора параметраR.
, R, , причем в от-
58
7.2.4. АЛГОРИТМ КАЧМАЖА
K
Здесь, как и в РМНК, используется итерационная процедура определения идентифицируемых параметров. Суть АК в следующем. Задается начальное значение оценки вектора параметров. Обычно
a0
, (7.38)
o0
а далее производится итерационная процедура уточнения, на каждом
r
-м шаге которой ( [1, ]rR ) возникает r-е уравнение
T
ua , (7.39)
Kr
()
s
yv
()()
rKr
ss
минимизируется функционал
Jv
r
2
0,5 0,5
()
Kr
s
в результате чего вычисляется
y
() o(1)
где
02
aa u
oo(1) ()
rr Kr
.
T
ua
()
Kr
s
r
-я оценка
T
Kr r
ua
()
Kr
s
uu
T
()()
Kr Kr
s
ss
y
()
Kr
a
вектора a в виде
or
2
,
s
, (7.40)
s
Выражение (7.40) называют классическим АК. На практике чаще
используется алгоритм Качмажа–Чадеева (АКЧ)
y
() o(1)
Kr r
aa u
oo(1)
rr
s
T
ua
()
Kr
T
uu
()()
s
Kr Kr
ss
Kr
s
, (7.41)
()
где параметр 0 n вводится для улучшения помехоустойчивости
алгоритма.
59
7.2.5. МЕТОД ИНСТРУМЕНТАЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В МИП сформированная в МНК алгебраическая система
Ua y δv
преобразуется к виду
111
TTT
QUa Qy Qδv
KKK
000
. (7.42)
Матрица
TT T
qq q
Q
формируется из отсчетов реализации функции
,,...,
(1)( 2) ( )
KK KK
ss s
kq
0
, которая называется
инструментальной переменной и должна удовлетворять двум требованиям:
u
1) сильно коррелировать с элементами вектора
вает невырожденность матрицы
T
QU
;
2) не коррелировать с обобщенной помехой
K
приводит к выполнению условия
0
1
Qδv 0
K
0
T
.
, что обеспечи-
k
v
, что при больших
k
Выполнение этих требований создает проблему выбора вида инструментальной переменной. Рассмотрим два подхода к выбору инструментальной переменной при условии, что помеха ( ) 0xt.
В методе сдвига инструментальная переменная выбирается в виде
qy
причем сдвиг
r
должен быть таким, чтобы сигнал
ровал с обобщенной помехой
r
выбору параметра
не дается.
v
. Однако никаких рекомендаций по
k
,
()kkr
y
()kr
не коррели-
Экспериментальные исследования с различными объектами идентификации показали следующие факты. Взаимная корреляционная
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]