Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Идентификация динамических объектов. Учебное пособие
.pdf
функция
близка к автокорреляционной (
R
qu
R
quk
0,9
при
),
0k
и это практически означает выполнение первого требования, а взаимная корреляционная функция
R
qvk
при 0, 1, 2, ...k , что сви-
0,2
детельствует о наличии корреляции инструментальной переменной с
обобщенной помехой.
В методе линейного фильтра инструментальная переменная вычисляется посредством итерационной процедуры, на каждом
r
-м шаге
которой
,
()
Wz
а
a
ojr
есть оценка ПФ идентифицируемого объекта с параметрами
r
, [1, ]jn . При
МНК-оценки
(){ }
r
qWzx
kr k
в качестве начальных условий используются
0r
, полученные обычным МНК.
a
o0j
Модельные исследования метода линейного фильтра показывают
незначительное уменьшение степени корреляции инструментальной
переменной как с сигналом
,ku
так и с обобщенной помехой
,kv
и в
этом смысле метод линейного фильтра обладает преимуществом по
сравнению с методом сдвига. Однако сходимость итерационной процедуры метода линейного фильтра не доказана и уменьшение ошибки
идентификации от влияния неизмеримого вектора обобщенной помехи
носит случайный характер при изменении количества итераций.
61
8. САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ МОДЕЛИ
8.1. ГРАДИЕНТНЫЕ САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ МОДЕЛИ
Структурная схема системы идентификации с градиентной самонастраивающейся моделью (ГСМ) приведена на рис. 8.1.
Рис. 8.1
Априори предполагается, что существует
i
at
()
i
o
, [1, ]in ,
K
i
0
, (8.1)
at
o()i
(1)
()
где
– выбираемый критерий настройки модели по параметрам
J
at K
i
o
{()}
Jt
ции (подстройки параметров модели к параметрам объекта) имеет вид
t
{()}
J
ain
где
(0), [1, ]
o
i
() (0) , [1, ]
at a K di n
oo
iii
()
a
o
i
0
– задаваемые начальные условия параметров модели.
62
, (8.2)
.
В качестве иллюстрации функционирования ГСМ рассмотрим
J
пример.
Пусть идентифицируемый объект описывается уравнением
n
i
(1)
i
() ()
.
ay t xt
i
1
Дифференциальное уравнение модели
n
aty t xt
1
i
(1)
i
() () ()
oм
i
.
Критерий настройки параметров модели к параметрам объекта выберем в виде
t
1
м
2
tT
2
Тогда в предположении, что на интервале длительностью
() .() () ()
dtytyt
(этапе
T
подстройки параметров модели)
( ) const,
at
o
i
[1,]in ,
можно записать
()[ ()] ,
a
i
o
tT
ud
i
t
J
где
()
y
u
()
i
м
, [1, ],in
()
a
o
i
называются функциями чувствительности модели по ее параметрам и
представляют собой решение дифференциального уравнения чувствительности
n
atu t y t
oм
j
1
j
(1)
() () ()
j
i
63
i
(1)
, [1, ]in ,
с нулевыми начальными условиями
J
(1)
j
(0) 0,
u
i
[1,1].jn
При этом алгоритм идентификации (8.2) принимает вид
t
() (0) ( ) ( )
at a K u dd
iii i
oo
0
T
, [1, ]in .
Корректирующими параметрами алгоритма являются время усреднения
, коэффициенты
T
стемы, начальные условия
K
, [1, ]in , корректирующие динамику си-
i
(0)
a
, [1, ]in .
o
i
Начальные условия следует выбирать из физических соображений
при оценивании параметров объекта в каждом конкретном случае.
K
Что касается коэффициентов
, [1, ]in , то они представляют
i
собой некий аналог коэффициентов усиления систем управления и в
общем случае их можно положить равными единице.
К параметру
предъявляются противоречивые требования, что со-
T
здает проблему его выбора. С одной стороны необходимо выполнять
( ) const,
условие
длительность
at
o
i
T
[1,]in , на интервале Tи с этой точки зрения
следует уменьшать. Чем меньше
, тем меньше ошиб-
T
ка фиксации оценок модели на этом интервале. С другой стороны, интегральный оператор на интервале интегрирования [0, ]T сглаживает
(усредняет) помехи, искажающие сигналы при их измерении. Поэтому
каких-то конкретных рекомендаций по выбору параметра
T
нет.
Достоинство ГСМ в том, что это система замкнутого типа и если
выходной сигнал ( )yt объекта искажен центрированной и не коррели-
рующей с ( )yt помехой ( )yt , то ее наличие не приводит к смещенно-
(), [1, ]
сти оценок
ati n
o
i
.
Недостатки ГСМ
1. ГСМ описываются системой нелинейных, нестационарных, интегродифференциальных уравнений, заданных в неявном виде, и потому
не представляется возможным провести необходимый теоретический
анализ не только точности и быстродействия, но даже устойчивости.
2. Как правило, критерии настройки
му сходимость параметров модели
64
– не унимодальные и пото-
at
к параметрам объекта
o()i
a
,
i
(0)
[1, ],in будет иметь место, если начальные условия
достаточно близки к параметрам объекта
a
,[1,]in , а это связано с
i
a
o
i
, [1, ],in
необходимостью дополнительной априорной информации.
()
ut
3. Функции чувствительности
являются функциональными
i
производными, и их определение через модели чувствительности
справедливо только при очень медленном изменении параметров мо-
at
дели
,[1,]in . Поэтому ГСМ имеют принципиально низкое
o()i
быстродействие.
4. ГСМ характеризуются сильной взаимной связью между каналами идентификации. Поэтому с увеличением количества
подстраива-
n
емых параметров быстродействие резко падает.
8.2. НЕГРАДИЕНТНЫЕ
САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ МОДЕЛИ
Структурная схема системы идентификации с неградиентной само-
настраивающейся моделью (НГСМ) показана на рис. 8.2.
Пусть объект описывается уравнением
ni i
() ( 1) ( 1)
yt ay t bx t
nm
() () ()
ii
ii
11
Рис. 8.2
65
. (8.3)
Последовательная модель имеет вид
x
() ( 1) () ( 1)
nin i
ut cu tyt aty t
nn
() () () () ()
ii
ii
11
o
, (8.4)
а параллельная –
nm
() () () ()
ii
0
c
i
ii
11
o
. (8.5)
, [1, ],in последовательной и параллельной
Коэффициенты
ni i
() ( 1) ( 1)
vt cv t btx t
моделей задаются априори из условия их устойчивости, а при необходимости и из дополнительных условий, например, обеспечения требуемой полосы пропускания параллельной модели для сглаживания помех ( )
t .
Если ввести в рассмотрение рассогласование
() () ()tut t ,
ошибку по параметрам последовательной модели
() (), [1, ]
et a ati n
aii
i
o
,
ошибку по параметрам параллельной модели
() (), [1, ]
et b bti m
bii
i
o
,
то динамику НГСМ можно будет описать системой дифференциальных уравнений
(1)
efeein
a
i
(1)
efeeim
b
i
[, ], [1,],
aa b
ii i
[, ], [1,].
ba b
ii i
Алгоритм идентификации синтезируется из условий устойчивости
lim ( ) 0
t
et
a
i
lim ( ) 0
и
et
t
b
i
,
а в качестве критерия устойчивости можно использовать, например,
второй метод Ляпунова или метод гиперустойчивости Попова.
66
При использовании второго метода Ляпунова выбирается функция
K
K
Ляпунова, например, в виде
nm
Vt K e t K e t
1
() () () 0
2
ii
22
ab
ab
ii
ii
11
, (8.6)
где
и
a
i
определяют скорость сходимости алгоритма и задаются
b
i
из условия коррекции динамики системы идентификации, причем
K
a
i
, [1, ]in ,
0
K
, [1, ],im и в частности их можно положить
0
b
i
равными единице.
Согласно критерию Ляпунова устойчивость будет иметь место, если
Wtdt
. (8.7)
()
dV t
() 0
Определим вспомогательную функцию ( )qt , которая получается
при почленном вычитании уравнения (8.5) из уравнения (8.4):
ni
() ( 1)
() ε () ε ()
qt t c t
() ( 1) ( 1)
ni i
yt aty t btx t
nm
() () () () ()
oo
ii
11
ii
n
i
i
1
.
В полученном выражении заменим
() ()
at a et
o
iia
i
,
() ()
bt b et
o
iib
i
и после несложных преобразований получим
nm
() () () () ()
qt e t y t e t x t
ab
ii
11
ii
(1) (1)
ii
. (8.8)
Теперь условие устойчивости (8.7) представим в виде
()
dV t
() ()
Wt q t
2
. (8.9)
dt
67
Определим
и
dV t
Ke te t Ke te t
aa bb
dt
ii ii
ii
11
(1) (1)
() () () ()
ab
ii
nm
()
(8.10)
2(1) (1)
q t e t y tqt e t x t qt
nm
() () () () () () ()
ab
ii
11
ii
ii
. (8.11)
Согласно (8.9) приравняем в левой и правой части выражений (8.10) и
(8.11) слагаемые при одинаковых ошибках
(1)
et y tqt
a
i
(1)
() () ()
et x tqt
b
i
1
(1)
i
() () ()
K
a
i
1
(1)
i
K
b
i
, [1, ]in ,
и
()
et
a
i
et
, [1, ]im ,
. Получим
()
b
i
откуда, имея в виду, что
() (), [1, ],
et a ati n
aii
i
o
и
() (),
et b bt
bii
i
o
[1,]im ,
а следовательно,
(1) (1)
() [ ()] (), [1, ]
at aet eti n
i
o
(1) (1)
( ) [ ( )] ( ), [1, ],
bt bet eti m
i
o
ia
ib
(1)
i
(1)
i
a
i
b
i
,
получим алгоритм идентификации
t
1
i
(1)
at a y q d
() (0) () ( ) τ
ii
oo
bt b x q d
() (0) () ( ) τ
ii
oo
K
1
K
b
a
0
i
t
i
(1)
0
i
68
, [1, ]in ,
, [1, ]im .
Функцию ( )qt можно определить выражением
() ( 1)
() () ()
qt t c t
ni
Достоинством НГСМ является гарантия сходимости оценок
()
bt
к параметрам
o
i
a
b
,
объекта при любых начальных условиях в
i
i
i
n
i
1
.
at
o()i
отсутствие помех.
Недостатки
1. НГСМ описывается системой нелинейных, нестационарных,
дифференциальных уравнений, заданных в неявной форме, поэтому
невозможно провести теоретический анализ точности и быстродействия алгоритма.
2. В алгоритм идентификации входят все производные входного и
выходного сигналов объекта. Возникает необходимость их измерения.
3. Решение модельных задач иллюстрирует низкое быстродействие
НГСМ, которое с увеличением n или
резко падает.
m
4. Отсутствует сглаживание высокочастотных составляющих помехи ( )yt из-за одинаковых порядков n левой и правой части уравне-
ния последовательной модели.
,
69
x
9. ОЦЕНИВАНИЕ РАСШИРЕННОГО
ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ
Пусть объект описывается нелинейной системой дифференциаль-
ных уравнений
(1)
( ) [ ( ), , ( )],
ttxt
где
yfya
yy
y
a
f
(0) , [0, ].
yt i m
() ,
t
i
ain
i
fim
i
tT
0
(), [1, ]
,[1,],
,[1,].
(9.1)
Входной ( )
t и выходной
тервале наблюдения
0,tT
() ()yt y t
сигналы измеряются на ин-
1
. Для записи расширенного вектора со-
стояния проделаем некоторые преобразования.
Переведем искомые параметры
a
, [1, ],in в разряд переменных
i
состояния объекта и дополним систему (9.1) новой системой дифференциальных уравнений, которая имеет вид
(1)
() ,
t
a0
(0) .
aa
(9.2)
Затем введем обозначения:
()
vt
i
yt i m
i
aimmn
im
()
,[1,],
70
,[1,],
fi m
g
i
i
0, [ 1, ].
im mn
(), [1, ],
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]