Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
А.В. ЛИХАЧЕВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКУЮ
СТАТИСТИКУ
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2019
УДК 519.2(075.8)
Л 651
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор В.П. Ющенко
канд. техн. наук, доцент Е.В. Прохоренко
Работа подготовлена на кафедре ССОД
для студентов II курса бакалавриата
по направлениям 12.03.04 и 09.03.02
Лихачев А.В.
Л 651 Введение в теорию вероятностей и математическую стати-
стику: учебное пособие / А.В. Лихачев. – Новосибирск:
Изд-во
НГТУ, 2019. – 102 с.
ISBN 978-5-7782-3903-6
Пособие включает в себя основные разделы, излагаемые в рамках курса
«Теория вероятностей и математическая статистика», кроме того, содержит
дополнительные сведения, способствующие в более полной мере освоению
студентами знаний и компетенций, предусмотренных положениями соответствующих госстандартов направлений подготовки 12.03.04 – Биотехнические
системы и технологии, 09.03.02 – Информационные системы и технологии.
Приводятся ключевые положения теории вероятностей,
наиболее известные методы математической статистики. В конце каждого раздела следуют контрольные вопросы, помогающие усвоению материала. Математическая строгость изложения соответствует уровню подготовки студентов
второго курса бакалавриата по соответствующим направлениям. Пособие будет
полезно также студентам физико-математических и технических специальностей, аспирантам и всем, кто интересуется теорией вероятностей
с ней вопросами.
а также излагаются
и связанными
ISBN 978-5-7782-3903-6 Лихачев А.В., 2019
Новосибирский государственный
технический университет, 2019
УДК 519.2(075.8)
Глава 1
Вычисление вероятностей случайных событий
1.1. Основные понятия
1.1.1. Случайные события
Понятие случайного события лежит в основе теории вероятностей.
В связи с этим оно не может быть полностью выражено через другие
объекты, рассматриваемые в этом разделе математики. Существует
формальное определение случайного события, которое будет приведено далее в разделе 1.5.1 при изложении аксиоматической теории Колмогорова. Однако это определение не дает понимания сути
события, которое весьма важно не только для развития теории, но и
для решения практических задач. Отсутствие такого понимания приводит к тому, что некоторые предсказания теории вероятностей оказываются противоречащими интуитивному восприятию ситуации. Примером может служить парадокс Монти Холла [1], относительно
недавно широко обсуждавшийся в том числе и в
Часто случайное событие определяют путем указания его свойств,
главным из которых является то, что оно может либо произойти, либо
не произойти. Под словом «произойти» здесь имеется в виду не факт,
который может иметь место в будущем, а потенциальная возможность,
не привязанная к конкретному моменту времени. Поясним это на клас
сическом примере бросания монеты. Общепризнано, что до броска событие «выпадет герб» является случайным. После броска, независимо
от его результата, говорить об этом событии как о случайном не имеет
смысла. Можно лишь констатировать факт – выпал или не выпал герб.
Таким образом, случайное событие может существовать только в
научной среде.
случайного
-
3
имплицитной (скрытой) форме. Оно не может быть реализовано в действительности.
Несмотря на то что практически все исследователи формально согласны с приведенным выше рассуждением, просматривается тенденция придать случайному событию материальный смысл. В некоторых
определениях, используемых в основном в естественных науках (физике, биологии и т. п.), см., например [2], случайное
событие рассматривается как возможный исход опыта. Явного противоречия здесь нет,
однако апелляция к опыту порождает ряд вопросов, некоторые из которых будут рассмотрены в разделе 1.6, посвященном статистическому
определению вероятности.
Восприятие рассматриваемого понятия затрудняет то, что входящие в него термины употребляются в повседневной речи. Слово «случайность» имеет здесь весьма широкую интерпретацию. Кроме того,
случайность является одной из философских категорий, споры вокруг
которой, зародившиеся еще в Древней Греции, не утихают и по сей
день. Неослабевающий интерес вызывает вопрос о том, имеет ли место
случайность в окружающей действительности, или же то, что воспринимается как случайность, обусловлено незнанием причин происходящих явлений. Для атомистов мир был полностью детерминирован.
Однако Демокрит (ок. 460 до н. э. – ок. 370 до н. э.) также утверждал,
что случай («автоматон») вызвал первоначальное творение «небесных
сфер и всех миров». Таким образом, само существование не имеет никакой предшествующей или определяющей причины, хотя все, что
случилось с тех пор, детерминировано [3].
Во второй книге «Физики» Аристотеля (384 до н. э – 322 до н. э.)
рассматриваются две концепции случая, суть обеих – эффекты, которые возникают стохастически. Первая – это тиха, которая относится к
сфере разума (также персонифицируется как богиня Тиха); вторая –
автоматон, связанная с реальным миром. По Аристотелю, и то и дру-
гое – каждодневные явления. Но для Аристотеля случайные события не
были беспричинными, они были эффектом параллелизма двух причинных последовательностей. Например, падающий камень, который иногда поражает проходящего человека, – случайное событие, хотя падение
камня и движение человека – оба определенные события [4].
По-видимому, вопрос о том «играет ли Бог в кости» (следуя образному выражению Альберта Эйнштейна), окончательно решен так и не
будет, однако положительный или отрицательный ответ на него может
4
существенно повлиять на понятийный аппарат теории вероятностей.
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
Более того, если допустить, что последнее верно, то ставится под сомнение правомерность самого ее существования. Оставляя решение
этого вопроса философам и учитывая приведенные выше замечания,
под случайным событием будем понимать мыслимое событие, которое имеет возможность быть реализованным в действительности. Если
такая реализация
произошла, то случайное событие перестает суще-
ствовать.
1.1.2. Классическое определение
вероятности
Опыт показывает, что одни случайные события реализуются чаще,
другие реже. Степень того, как часто может реализоваться то или иное
событие, характеризуют его вероятностью. Поскольку вероятности
можно сравнивать, имеет смысл попытаться описать их количественно.
Это делается посредством так называемого классического определения
вероятности, в основе которого лежит представление о пространстве
элементарных случайных событий
из n случайных событий
,
1
свойствами.
1. События
,
, ...,
A
1
2
являются единственно возможными. Это
п
означает, что одно из них обязательно должно произойти. Такое свойство группы событий также называется ее полнотой.
2. События
,
, ...,
A
1
2
несовместимы, т. е. если происходит од-
п
но из них, то никакое другое произойти не может. Это и предыдущее
свойство можно объединить в единой формулировке: происходит одно
и только одно из событий
,
1
применяется к любым случайным событиям A и B, а именно, A и B
несовместимы (иногда применяется термин несовместны), если может произойти только одно из этих событий, но никогда оба.
3. События
,
, ...,
A
1
2
равновозможные. Делая предположение
п
о том, какое из них должно произойти, нет оснований отдать предпочтение какому-либо определенному
Говорят, что событие А благоприятствует событию B, если появление A обязательно влечет за собой появление B. Пусть
образуют пространство из n элементарных случайных событий и k из
. Последним называется группа
A
A
, ..., ,
2
, ...,
2
обладающих следующими
п
. Понятие несовместимости
п
.
i
,
, ...,
A
1
2
п
5
них благоприятствуют некоторому случайному событию A. Вероятно-
А
А
А
A
E
E
стью события A (в классическом смысле) называется отношение k/n.
Для обозначения вероятности событий будем использовать общепринятое обозначение P(A). Здесь в скобках указывается рассматриваемое
событие. Обратим внимание на то, что пространство элементарных
событий строится исходя из конкретной ситуации, и говорить о нем
вне
связи с ней не имеет смысла. Многие специалисты полагают, что
приведенное выше определение вероятности принадлежит швейцарскому математику Якобу Бернулли (1654–1705).
Число благоприятствующих событий k может принимать значения
от 0 до n включительно. Если k = 0, то соответствующее событие называется невозможным (обычно обозначается через U). Невозможное
событие при рассматриваемых обстоятельствах никогда не происходит, его вероятность, согласно приведенному выше определению, равна нулю. Напротив, если k = n, то мы
имеем дело с достоверным событием (обозначается как E). Оно всегда происходит и имеет
вероятность, равную единице.
Поясним сказанное выше на простом примере. Рассмотрим бросание игральной кости. Естественным выбором элементарных событий в
данном случае является следующий:
– «выпадает одно очко»,
1
–
2
«выпадает два очка» и т. д.. Пусть событие A состоит в том, что выпа-
дает больше четырех очков. Очевидно, ему благоприятствуют события
и
5
могут служить
ло очков больше десяти». Достоверными же событиями являются
«число очков либо четное, либо нечетное» или
. Тогда P(A) = 2/6 = 1/3. Примерами невозможных событий
6
– «выпадает ноль очков», или
U
1
– «выпавшее чис-
U
2
– «число очков по-
2
–
1
ложительное». Таким образом, если события различать по смысловому
содержанию, то как невозможных, так и достоверных событий может
быть любое количество.
Вернемся к п. 3 определения пространства элементарных случайных событий. Используемое в нем понятие равновозможности элементарных событий фактически означает их равную вероятность. Следовательно, атрибут «равновероятный», предшествует
определению
«вероятность». Большинство исследователей науки усматривают здесь
тавтологию, поэтому считают классическое определение логически
некорректным. Несмотря на это, именно в соответствии с ним вычисляются исходные вероятности для многих важных задач.
6
Классическое определение имеет несомненные достоинства.
Во-первых, в целом оно согласуется с интуитивным представлением о
вероятности. Во-вторых, оно просто и доступно для понимания иллюстрируется примерами из повседневной жизни. Наконец, оно конструктивно, т. е. дает алгоритм, по которому могут быть вычислены вероятности событий.
Контрольные вопросы к разделу 1.1
1. Почему трудно определить понятие «случайное событие»?
2. Как вы считаете, можно ли (хотя бы теоретически), зная все фак-
торы, относящиеся к броску игральной кости (ее точную форму, распределение ее плотности, распределение приложенных сил во время
броска и т. д.), достоверно определить, какое число выпадет?
3. Должно ли зависеть определение
от того, имеет или не имеет место случайность в действительности?
4. Что такое пространство элементарных случайных событий?
5. Какой набор случайных событий называется полным?
6. Могут ли одновременно произойти два события, принадлежащих
полному набору?
7. Может ли одно элементарное событие благоприятствовать не-
скольким случайным событием.
чем состоит классическое определение вероятности?
8. В
9. Является ли достоверное событие случайным?
термина «случайное событие»
1.2. Вероятности комбинаций случайных событий
1.2.1. Произведение событий
Теорема умножение вероятностей
Пусть имеется два случайных события A и B. Случайное событие С,
состоящее в том, что происходят и A и B, называется произведением
этих событий. Будем обозначать его следующим образом: C = AB.
Очевидно, что C благоприятствуют те элементарные события, которые
благоприятствуют и A и B. Также очевидно, что для несовместимых
событий понятие
Условной вероятностью события A называется его вероятность
при условии, что произошло событие В. Обычно она обозначается как
произведения не имеем смысла.
7
В
или Р(А|В); в дальнейшем будет использоваться первое из них.
В
А
А
А
А
В
В
B
A
В
В
В
В
()
РА
Найдем
РА
Предположим, что из n элементарных событий
, согласно классическому определению вероятности.
()
,
, ...,
A
1
2
собы-
п
тию А благоприятствует m, событию B – l, а произведению AB – k (очевидно, что
,kmkl
что наступило одно из l элементарных событий
). Если событие В произошло, то это означает,
, благоприятствую-
i
щих В. При этом событию А благоприятствуют k и только k событий
, а именно те, которые благоприятствуют и А и В. Таким обра-
i
зом, поскольку размерность пространства элементарных случайных
событий снизилась согласно предположению с n до l, имеем
PA
B
lln PB
kknPA
()
()
. (1.1)
()
Если В есть невозможное событие, то равенство (1.1) теряет смысл.
В этом случае положим по определению
РА
ляется невозможным событием, то для него всегда Р(В)
= 0. Если же В не яв-
()
0, тогда из
(1.1) следует
Выражение (1.2) часто называют
стей.
Его словесная формулировка следующая. Вероятность произве-
( ) () ()
PAB PBP A
теоремой умножения вероятно-
. (1.2)
дения двух событий равна безусловной вероятности второго события,
умноженной на вероятность первого события, при условии, что произошло второе. В произведении оба события равноправны, поэтому в
правой части выражения (1.2) их можно поменять местами, поэтому
также справедливо выражение
( ) () ()
PAB PAP B
. (1.2а)
Отметим, что выражения (1.2) и (1.2а) применимы и в том случае,
когда одно из событий А или В является невозможным.
Понятие произведения можно расширить на любое конечное число
случайных событий
набор
,
, ...,
1
В
2
,
2
, ...,
1
образует пространство элементарных событий).
п
В этом случае произведением называется событие
(здесь не подразумевается, что
В
п
CBB B
12 n
,
8
состоящее в том, что происходят все n событий
В
В
В
A
В
В
В
,
, ...,
1
2
В
. Не-
п
трудно показать, что выражение (1.2) обобщается при этом следующим образом:
()()()() ().
PBBB B PB P B P B P B
123 1 2 3
nBBBBBBn
112 12-1
n
(1.3)
Отметим, что при классическом определении вероятности формулировка теоремы умножения для бесконечного числа случайных событий не допускается.
1.2.2. Независимые события
Формулы (1.2), (1.2а) и (1.3) существенно упрощаются, если фигурирующие в них события являются независимыми. Говорят, что событие А
если наступление события В не изменяет вероятности события А. Если А
независимо от B, то из формул (1.2) и (1.2а) следует, что
т. е. событие В также независимо от А. Таким образом, свойство независимости событий взаимно. Для независимых событий теорема
умножения принимает более простой вид:
венства (1.4). Это определение по сравнению с предыдущим имеет то
преимущество, что оно верно и тогда, когда Р(А) = 0 или Р(В) = 0. На
практике проверка выражения (1.4) или равенства условной и безусловной вероятности часто вызывает затруднения, которые в том
числе связаны с
бытий. Поэтому для определения независимости конкретных событий
обычно пользуются интуитивными соображениями или результатами
соответствующих опытов. Это позволяет некоторым исследователям
утверждать, что независимость является неформальным свойством, а
формулы (1.4) и
висимости двух событий. События
симыми в совокупности, если для любого события В
независимо от события B, если имеет место
( ) ()()PAB PAPB
. (1.4)
РАРА
Р B Р B
)(()
() ()
, т. е.
Часто независимость событий А и В определяют посредством ра-
выбором адекватного пространства элементарных со-
лишь ее формальными следствиями.
РАРА
)(()
Прежде чем преобразовать формулу (1.3) обобщим понятие неза-
,
, ...,
1
2
называются незави-
В
п
из их числа и
i
,
9
,,,
B
В
B
В
В
произвольных
ведение
брать любые комбинации событий, это определение эквивалентно сле-
дующему:
k = n, получаем формулировку теоремы умножения для n независимых
в совокупности событий
BB
ii i
12 k
PBB B PB PB PB
BB
ii i
12
и событие
ii i i i i
12 1 2kk
из их же числа и отличных от
k
независимы. Поскольку можно
i
. Положив здесь
произ-
i
Обратим внимание на то, что для независимости в совокупности
нескольких событий недостаточно их попарной независимости. Это
можно проиллюстрировать на примере, предложенном советским математиком С.Н. Бернштейном (1880–1968) [5]. Пусть первая грань правильного тетраэдра окрашена в красный цвет, вторая – в зеленый, третья – в синий, наконец, четвертая – во все три цвета.
А, В и С случайные события, состоящие в том, что при бросании на
верхней грани тетраэдра окажутся красный, зеленый и синий цвета
соответственно. Легко видеть, что вероятность верхней грани иметь в
своей окраске красный цвет равна Р(А) = 1/2. Действительно, две из
четырех граней имеют его в своей окраске. Далее
цвет, то вероятность того, что в то же время выпал и красный, равна 1/2,
поскольку из двух граней с зеленым цветом одна имеет также и красный. Точно так же можно посчитать, что для событий В и С условные
вероятности равны безусловным. Следовательно, события А, В и С
попарно независимы. Однако если известно, что осуществились события В и С, то это означает, что вверху оказалась грань, выкрашенная в
три цвета, тогда заведомо осуществилось и событие А, т. е.
Таким образом, указанные события в совокупности зависимы. Заметим, что имеются критические замечания относительно примера
Бернштейна. Их аргумент состоит в том, что поскольку все три цвета
нанесены на одну из граней, их появление не может быть независимым
друг от друга. Другими словами, попарной независимости событий А,
В и С также
является простым совпадением.
()()()()().
PBBB B PB PB PB PB
123 1 2 3
нет. Равенство же условных и безусловных вероятностей
nn
, если выпал зеленый
(1.5)
Обозначим через
()1
РА
С
.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]