Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. Учебное пособие
.pdf
большие отклонения наблюдаются тем реже, чем многочисленнее про-
изведенные испытания. Более того, оказывается, что для тех случаев, к
которым применимо классическое определение вероятности, это колебание частоты происходит около вероятности события.
Обобщение результатов многочисленных опытов и наблюдений
привело к следующему рассуждению, положенному в основу статистического подхода к объяснению вероятности. Допустим
ципе возможно проведение бесконечной последовательности независимых друг от друга опытов в неизменных условиях. Если в результате
достаточно многочисленных наблюдений замечено, что частота события А почти всегда колеблется около некоторой, вообще говоря
неизвестной, постоянной, то можно сказать, что это событие имеет вероятность. За численное значение
ближенно принята частота появления рассматриваемого события.
Многие ученые изучали связь между частотой повторяемости события и его вероятностью как с теоретической, так и с практической
точки зрения. В частности, граф Жорж де Бюффон (1707–1788) провел
4040 подбрасываний монеты. Из них герб выпал 2048 раз, так что ча-
выпадения герба оказалась равной 0,508. Впоследствии осново-
стота
положник математической статистики Карл Пирсон (1857–1936) провел 24 000 бросаний монеты; герб выпал 12 012, это соответствует
частоте 0,5005.
Наиболее последовательная концепция вероятности, основанная на
статистических испытаниях, была дана Рихардом Эдлером фон Мизесом (1883–1953). Мизес дополнил приведенное выше рассуждение
следующим тезисом: поскольку частота встречаемости события по мере увеличения числа опытов все меньше и меньше уклоняется от вероятности, то в пределе должно быть
этой вероятности может быть при-
, что в прин-
mn
lim
P
Равенство (1.41) Мизес предполагает считать определением понятия вероятности. По его мнению, такое эмпирическое определение
способно обеспечить запросы естествознания, математики и философии, поскольку оно применимо ко всем имеющим научный интерес
случаям; любое же априорное определение (к каковым относится и
классическое) обречено на неудачу. В своем отрицании априорных
n
31
. (1.41)
n
понятий Мизес пошел еще дальше, он предложил вовсе отбросить
классическое определение вероятности через равновозможность, основанную на симметрии, исходя из того, что оно имеет лишь ограниченное применение.
Обратим внимание на то, что «статистическая» вероятность имеет
практически те же свойства, что и «аксиоматическая» (которая, как
многие считают, возникла в результате обобщения
хода), в частности:
вероятность достоверного события равна единице;
вероятность невозможного события равна нулю;
если случайное событие является суммой конечного числа
несовместимых событий, имеющих вероятность, то его вероятность существует и равна сумме вероятностей слагаемых.
Таким образом, вероятность, предложенная Мизесом, удовлетворяет аксиоматике Колмогорова. Тем не менее споры между сторонниками этих концепций продолжаются и в настоящее время.
классического под-
Контрольные вопросы к разделу 1.6
1. На каком наблюдении основана статистическая концепция веро-
ятности?
Что такое частота появления события?
2.
Как частота появления события зависит от количества опытов?
3.
По какому признаку устанавливается наличие вероятности у со-
4.
бытия?
Как определяется вероятность события по Мизесу?
5.
За что Мизес критикует классическое определение вероятности?
6.
Считаете ли вы его критику обоснованной?
Считаете ли вы, что аксиоматическое и статистическое опреде-
7.
ление вероятности принципиально различаются?
Укажите недостатки концепции Мизеса.
8.
Какое из определений вероятности вы считаете более правиль-
9.
ным? Обоснуйте свою точку зрения.
32
Глава 2
Случайные величины
2.1. Определение и способы описания
2.1.1. Определение случайной величины
на качественном уровне
Случайное событие может заключаться в том, что какой-то параметр будет иметь определенное численное значение. Такие величины,
значения которых зависят от случая, называются
. Например, случайное событие может заключаться в том, что
нами
определенная молекула газа обладает заданной скоростью. Действительно, скорость молекулы в газе изменяется в зависимости от столкновений с другими молекулами газа или со стенкой. Для каждой молекулы такие столкновения являются случайными. Поскольку при этих
случайных столкновениях скорость также будет изменяться
то она будет случайной величиной.
Статистические теории в основном рассматривают не сами случайные события, а соответствующие им случайные величины. При этом
нужно иметь в виду, что любая функция случайной величины есть
также случайная величина. Например, если скорость молекулы является случайной величиной, то случайной величиной будет и ее кинетиче
ская энергия. Знание закономерностей между случайными событиями
позволяет получить определенные сведения о поведении или значениях тех или иных случайных физических величин. Заметим, что значения, которые может принимать случайная величина, могут иметь
дискретный или непрерывный спектр (если случайная величина принимает только определенные значения или любые в некотором
случайными величи-
случайно,
-
33
интервале). Например, момент количества движения электрона в атоме
F
может принимать только дискретные значения, а скорость молекулы
газа или плотность вещества могут принимать бесчисленное множество различных значений от нуля и практически до бесконечности. Далее приводится строгое математическое определение случайной величины, на основе которого выводятся ее основные свойства.
2.1.2. Функция распределения
В дальнейшем случайные величины будут обозначаться строчными
буквами греческого алфавита, а принимаемые ими значения – строчными латинскими буквами. Для того чтобы задать случайную величину, прежде всего необходимо задать те значения, которые она может
принимать. Однако одного перечня значений случайной величины еще
недостаточно. Необходимо также знать, как часто, т. е. с
ностью, она принимает эти значения. Чтобы задавать вероятности значений случайных величин, в теории вероятностей вводится понятие
функции распределения. Пусть – случайная величина, а x – произвольное действительное число. Вероятность того, что
ние меньшее, чем x, называется
стей случайной величины ξ
функцией распределения вероятно-
:
() ( )
xP x
. (2.1)
Таким образом, можно сказать, что случайной величиной называется числовая величина, значения которой зависят от случая и для
которой определена функция распределения вероятностей. Более
формальное и математически строгое определение случайной величины можно дать на основе аксиоматической теории вероятности
(см. раздел 1.5.1).
Будем исходить из множества случайных событий . Элементы
множества
назовем элементарными событиями. Каждому эле-
ментарному событию поставим в соответствие некоторое число
) (
. Будем говорить, что есть случайная величина, если функ-
ция () измерима относительно введенной на рассматриваемом
множестве вероятности. Иначе говоря, мы требуем, чтобы для каждого множества A
значений , измеряемого по Борелю, подмноже-
какой вероят-
примет значе-
34
ство
A
x
P
xx
x
x
x
x
xx
P
P
x
x
xx
F
xx
тех , для которых () A
принадлежало σ-алгебре и,
следовательно, для него была бы определена вероятность. Положим
()()PAPA
В частности, если множество A
вероятность
есть функция переменного x, и мы приходим к
()
A
. (2.2)
совпадает с полупрямой
, то
следующему выражению для функции распределения случайной величины :
()()()PxPAFx
. (2.3)
Далее приведены основные свойства функции распределения вероятностей.
1. При помощи функции распределения случайной величины
можно определить вероятность неравенства
. В самом деле, если через А обозначить событие, состоящее в том,
2
что примет значение, меньшее чем
в том, что
, и, наконец, через С – событие
1
2
12
, через В – событие, состоящее
при любых
, то, очевид-
12
и
1
но, имеет место следующее равенство: А = В + С. Так как события В и
С несовместимые, то
() ( )
BFx
,
() ( )
CPx x
1
()()()Px x Fx Fx
1221
() () ()PA PB PC
12
. Поэтому
. Но
() ( )PA Fx
2
. (2.4)
Так как по определению вероятность есть неотрицательное число,
,
то из формулы (2.4) следует, что при любых
место неравенство
() ( )
xFx
12
. Таким образом, функция распреде-
1
()
2
12
ления любой случайной величины есть неубывающая функция
имеет
.
2. Поскольку по определению значения функции распределения
есть вероятность, то при любом х она удовлетворяет неравенству
0()1Fx
. (2.5)
,
3. Говорят, что функция имеет скачок при
lim ( ) ( ) 0Fx Fx C
0
000
35
, если
0
. (2.6)
Функция распределения может иметь не более чем счетное
F
A
A
A
xx
A
множество скачков
. В самом деле скачков размера, большего 1/2,
функция распределения может иметь не более одного; скачков размера
от одной четвертой до половины
Вообще, скачков размером от
чем
21n
. Ясно, что можно пронумеровать все скачки, расположив их
1/2
14 12C
n
до
0
1/ 2
– не более трех.
1
n
может быть не более
по величине, начиная с больших значений и повторяя равные значения
столько раз, сколько скачков этой величины имеет функция F(x).
4. Определим
F и
F следующим образом:
()lim (), ()lim ()
Тогда
достоверно, то
()0, ()1FF
состоящее в том, что
но сумме событий
() ()
Следовательно, при
nn
kn kn
() () ( 1) () ()1
PFkFkFnFn
A . (2.9)
k
11
Fn F Fn
nn
. (2.7)
. Действительно, так как неравенство
()1P
1kk
, то согласно расширенной аксиоме сложения
k
PPA
n
. Обозначим через
. Так как событие
. (2.8)
k
k
событие,
k
эквивалент-
Отсюда, принимая во внимание (2.5), заключаем, что при
() 0, () 1Fn Fn
. Этот факт с учетом определения (2.7) завершает
доказательство.
5. Функция распределения непрерывна слева. Возьмем какую-
нибудь возрастающую последовательность
дящуюся к х. Обозначим через
AA при
ij
ij
, и произведение всех событий
событие
n
xx x
n
01 n
. Тогда ясно, что
есть невозможное
n
событие. По аксиоме непрерывности должно быть
n
, схо-
36
lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) 0
x
x
x
p
p
F
xx
x
PA Fx Fx Fx Fx
nn n
nnn
, (2.10)
что и требовалось доказать.
Резюмируя сказанное, можно заключить, что каждая функция распределения является неубывающей, непрерывной слева и удовлетворяющей условиям
()0, ()1FF
функцией. Верно и обратное:
каждая функция, удовлетворяющая перечисленным условиям, может
рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.
2.1.3. Дискретные и непрерывные случайные величины
Функция плотности
Из всевозможных случайных величин выделим, прежде всего, те,
которые могут принимать только конечное или счетное множество
значений. Такие величины принято называть
ной характеристики дискретной случайной величины, принимающей с
определенными вероятностями значения
знать вероятности
роятностей
можно определить функцию распределения F(x) по-
k
()
Px
kk
. Очевидно, что по совокупности ве-
средством равенства
дискретными. Для пол-
,
1
2
…, достаточно
,
,
3
()
xp
kx x
;
k
. (2.11)
k
Запись формулы (2.11) означает, что при каждом значении x суммирование распространяется только на те индексы, для которых
.
k
Функция распределения любой дискретной величины, определенная согласно (2.11), разрывна, она возрастает скачками при тех значениях
, которые являются возможными значениями . Если два возможных значения величины разделены интервалом, в котором
других возможных значений нет, то в этом интервале F(x) постоянна.
n
Если возможных значений конечное число, например
распределения F(x) представляет собой ступенчатую кривую с
, то функция
1n
интервалом постоянства. Если же возможных значений имеется
37
счетное множество, то это последнее может быть и всюду плотным,
F
x
x
так что интервалов постоянства у функции распределения дискретной
случайной величины может и не быть. Пусть для примера возможными
значениями будут все рациональные числа, и только они. Пусть эти
числа занумерованы каким-нибудь способом:
роятности
k
12
p
k
()
pP x
kk
. В этом примере все рациональные точки являются точками
определены посредством равенства
,
r
, , ,
rr
1
2
… , и ве-
k
разрыва функции распределения.
В качестве другого важного класса случайных величин мы выделим те из них, для которых существует неотрицательная функция f (х),
удовлетворяющая равенству
x
() ( )
xfxdx
. (2.12)
Случайные величины, обладающие этим свойством, называются
непрерывными; а функция f (х) называется плотностью распределения вероятностей
. Согласно равенству (2.12) функция плотности,
если она существует, является производной функции распределения.
Ниже приведены основные свойства плотности вероятностей.
1. Функция плотности неотрицательная, поскольку она является
производной неубывающей функции, см. уравнение (2.4).
2. При любых
и
1
функция
2
()fx
удовлетворяет равенству
x
2
()()
Px x f xdx
12
x
1
. (2.13)
Это равенство непосредственно следует из выражений (2.4) и
(2.12). В частности, если f (х) непрерывна в точке x, то с точностью до
бесконечно малых высших порядков
()()Px x dx f xdx
. Отсю-
да также следует, что вероятность события, состоящего в том, что непрерывная случайная величина примет определенное значение, равна
нулю. Можно говорить только о вероятности попадания ее значения в
окрестность некоторой точки на числовой прямой.
38
3. Интеграл от функция плотности по области ее существова-
x
x
ния равен единице
. Это утверждение следует из равенства (2.13), если
учесть, что событие, состоящее в том, что случайная величина принимает какое-либо значение из допустимого интервала, является достоверным.
Заметим, что помимо дискретных и непрерывных случайных величин существуют и другие, которые не принадлежат ни тому ни другому классу. Пример такой случайной
величины приведен в работе [7].
Контрольные вопросы к разделу 2.1
1. Приведите примеры случайных величин.
Как определяется случайная величина, исходя из аксиоматиче-
2.
ского подхода к вероятности? Существуют ли альтернативные определения?
3.
Является ли постоянное число случайной величиной?
4.
Как определяются дискретные случайные величины?
Может ли дискретная величина принимать бесконечное число
5.
значений?
6.
Что такое функция распределения вероятности? У всех ли слу-
чайных величин она существует?
7.
Может ли функция распределения дискретной случайной вели-
чины быть непрерывной на всей числовой прямой?
В точке
8.
сказать о значениях случайной величины?
9.
Как определяется функция плотности вероятности?
10.
Существует ли функция плотности вероятности у дискретных
случайных величин? А у непрерывных?
Значение
11.
величины. Может ли ее функция плотности вероятности быть равной
нулю при этом значении аргумента.
12.
Может ли функция плотности вероятности принимать беско-
нечно большие значения?
функция распределения равна единице. Что можно
0
является допустимым для непрерывной случайной
0
39
2.2. Числовые характеристики случайных величин
x
p
M
M
M
2.2.1. Статистические моменты
Функция распределения содержит полную информацию о случайной величине. Однако для решения многих практических задач эта
информация оказывается избыточной. Часто достаточно знать всего
несколько числовых значений, характеризующих случайную величину.
Такими числовыми значениями являются
Различают начальные и центральные статистические моменты.
Пусть
,
, , ,
xx
1
2
– обозначают возможные значения дис-
k
кретной случайной величины , а
щие им вероятности.
m-й начальный момент) для
может принимать лишь конечное число значений n, то сум-
Если
Начальный момент m-го порядка (или просто
определяется по формуле
1m
{} ( ) .
mkk
k
мирование в формуле (2.14) также должно вестись до n. Пусть теперь
непрерывная случайная величина и f (х) – плотность ее распределения,
тогда начальный момент m-го порядка дается выражением
{} ( ) .
m
статистические моменты.
,
, , ,
pp
1
2
m
xp
1
m
xfxdx
(2.14)
(2.15)
– соответствую-
k
–
Приведенные выше формулы для вычисления начальных моментов
дискретных (2.14) и непрерывных (2.15) случайных величин имеют
разный вид. Используя функцию распределения вероятностей F(x), их
можно записать единообразно:
{} ( )
m
m
xdFx
. (2.16)
Важнейшую роль в теории случайных величин играет первый
начальный момент, который носит специальное название –
тическое ожидание
. В дальнейшем он будет обозначаться
40
матема-
{}M
(без
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]