Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию графов. Индивидуальные задания
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский педагогический государственный университет»
Е. К. Годунова
Введение в теорию графов
Индивидуальные задания
МПГУ
Москва-2012
УДК 519.17(075.8)
ББК 22.174.2
Г593
Г593 Годунова Е. К. Введение в теорию графов. Индивидуальные задания.
– М.: МПГУ, 2012. – 44 с.
В пособии приведены индивидуальные задания по основным
разделам и ее приложений: изоморфия, метрика, эйлеровы и гамильтоновы графы, паросочетания в двудольном графе, система
фундаментальных циклов по Кирхгофу, планарность, раскраска
карт и вершин графов и др. Задания предназначены для организации самостоятельной работы студентов по курсу
. Одно из заданий
посвящено организации повторения теорем теории графов. Пособие
дополнено приложением, содержащим советы и вопросы общего характера, помогающие усвоить основные факты теории.
ISBN 978-5-4263-0104-7
© МПГУ, 2012
© Издательство «Прометей», 2012
2
Содержание
Задание 1. Определение графа. Первоначальные понятия………………...
Задание 2. Подграфы, простейшие виды графов…………………………...
Задание 3. Изоморфизм графов……………………………………………...
Задание 4. Перечисление графов…………………………………………….
Задание 5. Метрика в графе………………………………………………….
Задание 6. Степени вершин графа…………………………………………...
Задание 7. Граф Московского метрополитена……………………………...
Задание 8. Двухцветная раскраска ребер графа…………………………….
Задание 9. Головоломка с кубиками………………………………………...
Задание 10. Поиск
в графах эйлеровых циклов и эйлеровых цепей………
Задание 11. Обход лабиринта………………………………………………..
Задание 12. Гамильтоновы циклы…………………………………………...
Задание 13. Поиск наибольших паросочетаний в двудольном графе……..
4
7
8
10
10
12
13
14
16
18
19
21
24
Задание 14. Системы фундаментальных циклов по Кирхгофу……………
Задание 15. Экстремальное дерево…………………………………………..
Задание 16. Построение символа
(T )
дерева T, покрывающего
данныйграф, и решение обратной задачи (алгоритм Пруфера)……………
Задание 17. Планарные графы и их плоские укладки……………………...
Задание 18. Раскраска карт и вершин графов……………………………….
Задание 19. Матрицы смежностей и инциденций………………………….
Задание 20. Социометрические матрицы, турниры,
ранги индивидуумов…………………………………………………………..
Задание 21. Определение порядка следования элементов
по заданному списку предпочтений………………………………………….
Задание 22. Повторение теорем теории графов…………………………….
27
28
29
30
33
35
37
37
40
Приложение. Советы и вопросы,
помогающие усвоить доказательства теорем………………………………..
42
3
Задание 1
Определение графа. Первоначальные понятия
1. Составьте определение графа. Какая пара множеств участвует в опре-
делении? Задайте граф
G вашего варианта тремя способами:
1
а. перечислением элементов этих двух множеств;
б. таблицей с двумя входами: вершины – вершины;
в. таблицей с двумя входами: вершины – ребра.
2. Приведите два-три содержательных примера объектов и отношений
между ними, которые интерпретируют понятия графа. Нарисуйте для каждого из
них диаграмму какого-либо конкретного случая
.
3. Определите понятия «смежность» и «инцидентность». Укажите, ка-
кое из них есть отношение между однородными элементами, а какое – между
разнородными. Обладает ли отношение смежности свойствами симметрии, тран-
зитивности? Сформулируйте ответ на вопрос: «Как способы задания графа (а),
(б), (в) из пункта 1 дают возможность определить смежность вершин, смежность
ребер, инцидентность вершин
4. Укажите для графа
смежные с ребром
; в) ребра, инцидентные вершине
42
и ребер?»
: а) вершины, смежные с
G
1
, с
2
.
4
; б) ребра,
4
5. Сформулируйте определение маршрута. Чем цепь отличается от
маршрута? Какая цепь называется простой? Какой цикл называется простым?
Попробуйте составить определение цикла, не использующее понятий маршрута и
цепи. Сколько ребер в простой цепи
6. Выделите на диаграмме графа
Р и в простом цикле nC ?
n
G , пометив его вершины, и задайте
2
перечислением вершин
а. маршрут, не являющийся цепью,
б. цепь, не являющуюся простой,
в. простую цепь
Р ,
6
г. цикл, не являющийся простым,
4
д. простые циклы
G
G
Сформулируйте определение связного графа. Приведите примеры
7.
,,,, ССССС .
76543
диаграмм связного графа и графа с тремя компонентами связностей.
Какой граф называется дополнением графа
8.
Нарисуйте дополнения графов
,, GGG . Есть ли среди этих дополнений несвяз-
543
? Как он обозначается?
ные и сколько в них компонент? (Для проверки используйте утверждение: сум-
марное число ребер в графах
и G равно числу ребер полного графа с таким же
числом вершин.)
9.
Приведите примеры трех графов
дующим условиям:
Докажите теорему: «Либо граф G , либо его дополнение G является
10.
,,, GGGG – связные графы, а
8876
,, GGG , удовлетворяющих сле-
876
G и
G – нет.
7
6
связным».
Указания. 1. Рассмотрите 2 случая: G связен и G не связен. 2. Во втором
случае тоже рассмотрите две возможности: произвольно выбранные вершины u
принадлежат разным компонентам связности графа G или одной. В послед-
и
нем случае следует выбрать вспомогательную вершину W на другой компоненте
связности.
5
6
Задание 2
Подграфы. Простейшие виды графов
Выделите минимальный связный остовный подграф в каждом из гра-
1.
фов
2.
Можно ли в графах
,,, CKWK . Сколько ребер содержат эти подграфы?
73,355
,,,, KKKKK найти два связных остовных
4,33,3654
подграфа с различными ребрами? Отрицательный ответ обосновать, положитель-
ный – подтвердить рисунком.
Выделите из графов
3.
K
и
G (вашего варианта)
4,3
2
KKC
,,
с макси-
rmn
,1
мально возможным числом вершин.
4.
Какие графы получаются при удалении из графов
,,,, KPCKK
одной вершины, двух вершин? Подтвердите свои ответы на диаграммах.
5.
K ?
4
Сколько ребер следует удалить из графа
Сколько циклов
6.
C содержит в качестве подграфов граф Петерсена?
5
K для получения
5
K ? 5C ?
3,2
6,1774,35
Найдите в нем
,, CCC .
986
Выделите из графов платоновых тел подграфы
7.
мально возможными m , n , k .
,
,
C
W
n
m
с макси-
P
k
7
8.
Что представляют собой дополнения полного и полного двудольного
графов? Любое ли число ребер может входить в полный граф, в полный двудоль-
ный граф? Приведите контрпримеры. Сформулируйте и докажите отвечающие на
поставленный вопрос теоремы.
Сформулируйте определения понятий «остовный подграф», «полный
9.
двудольный граф», не используя понятий подграфа и двудольного графа соответ-
ственно.
Докажите, что необходимым и достаточным условием двудольности
10.
графа является отсутствие в нем циклов нечетной длины (учтите, что в любом
цикле двудольного графа должны чередоваться вершины его разных долей).
Задание 3
Изоморфизм графов
1. Дайте определение изоморфизма графов и приведите в качестве при-
мера 3 графа с 5 вершинами, среди которых 2 и только 2 изоморфны. Нарисуйте
все неизоморфные графы с 5 вершинами, имеющие в качестве подграфа
K .
4
Сколько их?
2. Укажите несколько причин, из-за которых два графа не могут быть
изоморфными. Есть ли изоморфные графы среди графов
Вашего вари-
,, GGG
543
анта из задания 1? Какими из причин неизоморфности здесь можно воспользо-
ваться, а какими нельзя?
Существуют ли самодополнительные графы с 7 вершинами? с 8 вер-
3.
шинами? с 10 вершинами? Отрицательный ответ обосновать, положительный –
подтвердить рисунком. Сколько вершин могут иметь самодополнительные гра-
фы? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему. Можно ли утвер-
ждать, что дополнения изоморфных графов изоморфны?
8
4.
Определите, какие из графов вашего варианта настоящего задания
изоморфны, и установите взаимно-однозначное соответствие между вершинами,
доказывающее изоморфизм.
9
Перечисление графов
p
p
Постройте диаграммы всех
Задание 4
),( q
–графов, удовлетворяющих указанным в
варианте условиям (
– число вершин, q – число ребер). В перечисленных гра-
фах не должно быть изоморфных.
Варианты задания
1)
(6,4) 6) (6,2) и (6,3);
(5,4) 7) (6,5), связные графы;
2)
3)
(5,5) 8) (6,6), связные и содержащие
(5,6) 9) (6,5), содержащие
4)
(5,7) и (5,8) 10) (6,6), связные и содержащие
5)
K
Задание 5
Метрика в графе
K ;
3
;
3
C .
4
1. Нарисуйте связные ),3( qm
графы, где m – номер вашего варианта,
диаметры которых удовлетворяют одному из требований:
d максимален,
а.
d = 3,
б.
d = m.
в.
Укажите на каждом из них вершины с максимальным эксцентриситетом.
Определите эксцентриситет каждой вершины графов
2.
те диаметры этих графов и их центры и радиусы. Для графа
G и 2G , найди-
найдите все гео-
G
2
дезические с длиной, равной диаметру.
1
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]