Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию графов. Индивидуальные задания
.pdf
Проверьте выполнение неравенства треугольника
1
765
3.
(u, ) (u, ) ( , ) графе
G . В частности, найдите тройки вершин, в которых
2
выполняется равенство, и тройки, удовлетворяющие строгому неравенству.
4.
43
26
20
25
30
12
21
8
22
233132
24
9
10
1
2
1
15 14
17
27
2816
18
19
29
13
На приведенном графе найдите вершины, наиболее удаленные от вершины
m (номер вашего варианта), и расстояние 10(m,m )
. Найдите кратчайший путь
другой четности между точками m и ( 10m
) [длина его будет больше
10(m,m )].
р
5.
Раскрасьте
ребер графа
2
G в один цвет, а оставшиеся ребра – в
2
другой и определите диаметр получившихся одноцветных максимальных под-
графов. Меняя раскраску, постарайтесь получить подграф максимально возмож-
ного диаметра.
6.
графа
Определите диаметр и радиус колеса
K , цепи
5m
Р , цикла
5m
С , полного двудольного графа
5m
W , звезды
5m
K , полного
1,5m
. Сколько
mmK,5
центров у каждого из этих графов?
Приведите пример практической деятельности, в которой приходится
7.
решать задачу нахождения центральной вершины графа.
11
Задание 6
Степени вершин графа
1.
Выпишите степени вершин графа
G (см. с. 4) в порядке нестрогого
2
убывания. Проверьте выполнение теоремы Эйлера о сумме степеней и следствия
из нее.
2.
Удостоверьтесь в выполнении теоремы Эйлера для графов
.
WPCKK ,,,,
,
Найдется ли граф с 6 вершинами, в котором:
3.
nnnnmn
есть и изолированная вершина, и вершина степени 5,
степени всех вершин различны,
степени вершин 2, 3, 3, 3, 4, 5,
ровно 2 вершины одинаковой степени?
Отрицательный ответ обосновать, положительный – проиллюстрировать ри-
сунком.
Может ли регулярный граф со степенью каждой вершины, равной 5,
4.
иметь 25 ребер, 26 ребер, 30 ребер? Если да, то сколько вершин в таком графе?
В турнире каждый из (6
5.
m ) участников должен сыграть с каждым
из остальных по 1 разу. К данному моменту двое участников не сыграли ни одной
партии, двое сыграли по одной, остальные – по 2. Сколько партий осталось сыг-
рать участникам турнира?
В компании из (3m ) человек каждый знаком с двумя и только с
6.
двумя другими. Нарисуйте соответствующие графы знакомств. Сколько ребер в
этих графах? Обязательно ли этот граф связен? Сколько решений имеет задача?
При подведении итогов конкурса каждый из (8
7.
m ) победителей по-
лучил по (5
m ) призов, причем приз каждого вида достался точно двоим.
Сколько всего видов призов было разыграно? Что интерпретируют ребра графа,
помогающего решить задачу?
12
Задание 7
Граф Московского метрополитена
I
1. Сколько висячих вершин имеет граф?
2.
Найдите в нем циклы
С каким максимальным числом вершин граф метро содержит в каче-
3.
С ,
3m
С .
4m
стве подграфа полный граф? Перечислите станции – вершины такого графа.
Каким станциям соответствуют вершины с максимальной степенью?
4.
Чему она равна?
Имеются ли две вершины графа, соединенные двумя цепями одина-
5.
ковой длины без общих других вершин? Если – да, запишите последовательности
станций в этих цепях.
II
Выберите в графе метрополитена 9 вершин – станций, две из которых зада-
ны в варианте, так, чтобы максимальный подграф
G , определяемый этими вер-
шинами, был связным. Перерисуйте этот подграф, сохранив все ребра, инцидент-
ные этим и только этим вершинам.
Выделите в G разными цветами самую длинную простую цепь и
1.
простые циклы.
Отметьте две наиболее удаленные вершины G и найдите диаметр
2.
графа.
Определите число ребер, степень каждой вершины. Проверьте вы-
3.
полнение теоремы Эйлера о сумме степеней вершин.
Укажите другие характеристики графа G , которые можно отметить.
4.
III
Что означает каждый из полученных Вами результатов для пассажиров?
13
Варианты выбора начальных станций:
1. Краснопресненская, Охотный ряд.
Белорусская, Библиотека имени Ленина.
2.
Новослободская, Тургеневская.
3.
Проспект Мира, Пушкинская.
4.
Комсомольская, Площадь Ильича.
5.
Курская, Пролетарская.
6.
Таганская, Каширская.
7.
Павелецкая, Лубянка.
8.
9.
Парк Культуры, Китай-город.
Киевская, Третьяковская.
10.
Задание 8
Двухцветная раскраска ребер графа
1.
Раскрасьте 3 ребра графа
так, чтобы получились следующие конфигурации: а)
K в один цвет, а оставшиеся 3 – в другой
4
и его дополнение, б)
K
3
Р
4
и его дополнение. Что собой представляют дополнения? Есть ли еще какие-либо
двухцветные раскраски
Раскрасьте 5 ребер графа
2.
K
?
4
K в один цвет, оставшиеся ребра – в дру-
5
гой так, чтобы а) получились одноцветные треугольники, б) одноцветных тре-
угольников не было.
В случае (а) подсчитайте число одноцветных циклов
C и 4C , число висячих
3
вершин в графе каждого цвета. В случае (б) определите вид каждого одноцветно-
го графа.
Докажите теорему: «Если ни в подграфе
дополнении
G
нет
1
C , то и 1G , и
3
G
1
G графа 5K с 5 ребрами, ни в его
1
являются циклами
14
C ».
5
Раскрасьте 8 случайно выбранных ребер графа
3.
K в один цвет, ос-
6
тавшиеся ребра – в другой. Сосчитайте, сколько получилось одноцветных тре-
угольников каждого цвета, одноцветных
K и 5C .
4
Повторите это упражнение 10 раз. Отметьте, сколько раз получилось только
2 одноцветных треугольника
а) одного цвета с общей вершиной,
б) одного цвета с общей стороной,
в) без общих элементов,
г) разных цветов с общей вершиной,
д) разных цветов без общей вершин.
Какие из этих случаев невозможны? Осуществите раскраску возможных
случаев.
5 городов соединены 5 дорогами так, что в любой тройке городов
4.
есть 2 города, соединенных дорогой, и 2 города, которые дорогой не соединены.
Докажите, что все дороги образуют цикл
C .
5
Справедливо ли аналогичное утверждение для 6 городов, соединенных 6 до-
рогами?
Как связаны эти задачи с двухцветной раскраской полных графов?
Приведите примеры других интерпретаций задачи о реберной рас-
5.
краске графов.
Попробуйте раскрасить ребра графа
6.
K , каждое либо синей, либо
7
красной краской так, чтобы в нем было только 4 одноцветных треугольника, при-
чем одного цвета.
15
Задание 9
Головоломка с кубиками
Каждая грань любого из четырех пронумерованных кубиков окрашена в
один из четырех цветов: синий (с), красный (к), желтый (ж) и зеленый (з). Требу-
ется поставить кубики друг на друга так, чтобы на каждой боковой грани полу-
ченной призмы встречались все четыре цвета.
В вариантах задания раскраска кубиков задана цветами противополож-
граней.
ных
4
Например, запись
означает, что 4-й кубик имеет развертку
зс
кж
кс
С
С
ЖК
З
К
Ответ должен быть представлен в виде двух последовательностей четырех
пар цветов, в которые раскрашены квадраты на противоположных боковых гра-
нях призмы. Например:
кжзсжзск
. Здесь первые буквы пар с – ж – з – к – цвета на одной
сккжзсжз
грани призмы 1-го, 2-го, 3-го и 4-го кубиков и вторые буквы к – з – с – ж – на
противоположной. Вторая строчка дает расположение цветов на других двух
противоположных гранях.
Склейте кубики с заданной раскраской граней, сложите из них столбик с
требуемым
полученное решение головоломки.
расположением цветов на боковых гранях и покажите преподавателю
16
Вариант 1.
1
жж
2
ск
3
жс
Варианты задания
Вариант 6.
4
сз
1
ск
2
кз
3
сс
кж
4
жк
Вариант 2.
ск
зж
кж
Вариант 3.
сж
зк
ск
сз
1
1
жз
сз
2
сз
сж
кз
2
жз
жк
сз
жз
ск
3
кк
кс
жж
3
сс
жс
кк
жк
ск
зж
сж
кж
сз
кс
жж
кс
зз
Вариант 7.
4
сж
кс
зз
4
жк
жс
зз
1
сз
кж
кк
Вариант 8.
1
сж
кз
жз
2
кж
жз
сз
2
жк
жз
кс
3
ск
кз
жз
3
зз
ск
сж
4
жж
ск
зс
4
кз
кк
сж
Вариант 4.
1
кз
сж
кк
Вариант 5.
1
ск
сс
жз
2
жз
кз
сж
2
жк
жз
сз
3
кж
ск
жз
3
жс
сз
жк
Вариант 9.
4
жс
зз
ск
4
жз
ск
жк
1
жз
сз
ск
Вариант 10.
1
кз
сз
сж
2
ск
жс
жз
2
жж
кк
кс
3
жк
ск
сз
3
зз
сж
ск
4
жк
жж
сз
4
ск
кж
зж
17
Задание 10
Поиск в графах эйлеровых циклов и эйлеровых цепей
I. Определите какие из данных графов являются эйлеровыми и найдите в них
эйлеров цикл, нумеруя ребра в порядке их прохода. Если же граф не является эй-
леровым, найдите минимальное число эйлеровых цепей, на которые он распада-
ется.
II. На данных рисунках схематично изображены река, острова, полуострова
и мосты. Найдите маршрут обхода всех частей суши, который начинался бы и
кончался в одном и том же месте и проходил ровно один раз по каждому мосту,
18
если это возможно. Если же нет, дополните рисунок недостающими мостами или
уберите лишние. Для решения задачи переведите ее на язык теории графов.
Задание 11
Обход лабиринта
В каждом варианте даны схемы двух лабиринтов. Требуется обойти их, ис-
пользуя известный алгоритм. При построении обхода направление пути в каждом
коридоре указывайте стрелкой, а сам путь рисуйте красным цветом при первом
проходе и зеленым при возврате. Переходы нумеруйте в порядке их встречи в пути.
19
Отмечайте двойными стрелками конец пройденного перехода при первой встрече
перекрестка, чтобы возврат по нему проходил лишь в случае отсутствия другого
возможного пути из данного перекрестка.
Постройте по заданной Вам упрощенной схеме лабиринта его крупный ри-
сунок с коридорами, перекрестками, поворотами и тупиками и проведите непре-
рывную кривую-траекторию обхода
При обходе лабиринта помечайте порядковым номером проход каждого ко-
ридора. В конце обхода все коридоры окажутся помеченными двумя числами.
лабиринта.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]