Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию графов. Индивидуальные задания
.pdf
31
32
Задание 18.
Раскраска карт и вершин графов
Найдите правильную раскраску вершин графа минимальным числом
I.
красок, обозначая их цифрами 1, 2, 3, 4. Укажите число использованных красок.
Запишите множества одинаково окрашенных вершин. Постройте карту, геомет-
рически двойственную графу, и раскрасьте ее в соответствии с раскраской графа.
33
Найдите правильные раскраски карт, используя минимальное число
II.
красок. Для раскраски какой карты достаточно всего двух красок? Почему?
III. Постройте планарные графы каркасов правильных многогранников и
раскрасьте получившиеся карты минимальным числом красок, не забывая о
внешней грани. Укажите число красок, понадобившихся для каждого из много-
гранников.
34
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
j
Матрицы смежностей и инциденций
Нарисуйте диаграмму графа с заданной матрицей смежностей.
1)
2)
Вычислите степени
следнюю – двумя способами.
Задание 19.
2
3
,
4
,
матрицы смежностей А, причем по-
3)
Найдите степени
Определите по матрице
4)
d
i
вершин графа по А и по
3
число треугольников с вершиной в каж-
2
.
дой из вершин графа.
2
3
Обладает ли каждая из матриц
5)
,
,
4
,
симметрией? Проверьте
и объясните почему.
6)
Выберите два максимальных элемента
те пути длины 4 из
)4(
a
?
ij
7)
Изобразите диаграмму дополнения заданного Вам графа и составьте
)4(
a матрицы
ij
в
, пользуясь диаграммой графа. Совпадает ли их число с
i
4
и перечисли-
его матрицу смежностей. Сравните матрицы смежностей графа и его дополнения.
Как по матрице смежностей графа определить висячую вершину,
8)
изолированную вершину?
Составьте матрицу инциденций I графа и найдите с ее помощью сте-
9)
пени вершин. Изменив знак одной из единиц каждого столбца матрицы I на про-
тивоположный, запишите полученную матрицу В и с ее помощью определите
матрицу смежностей графа.
Запишите матрицы смежностей и инциденций простого цикла
10)
простой цепи
UKK из двух компонент. Как для последних двух графов удобно пометить
42
, полного графа
P
5
, полного двудольного графа
K
4
K , графа
4,2
C ,
5
вершины? Какими особенностями обладает каждая из записанных матриц?
35
Варианты задания
1.
4.
7.
10.
1110
0001
1001
0101
2.
1110
0001
0001
0001
3.
1010
0101
1010
0101
1010
1101
0010
0011
5.
0010
1101
0010
0010
6.
1100
1100
0011
0011
0110
0101
1011
0100
8.
0100
0100
1011
0100
9.
1010
0101
0010
0001
1000
1100
1010
0111
11.
1000
1000
1000
0111
12.
1100
0100
0011
0001
36
D
DDD
D
D
D
Задание 20.
Социометрические матрицы, турниры, ранги индивидуумов
Нарисуйте диаграмму графа
1)
К и постройте, используя ее, диаграмму
5
турнира, выбрав на каждом ребре произвольное направление, но так, чтобы полу-
степени исхода и захода для каждой вершины были отличны от нуля. Составьте
для полученного орграфа матрицу смежностей
Определите для каждой вершины ее полустепени исхода и захода: а)
2)
D.
по диаграмме орграфа; б) по матрице смежностей D.
Пусть все элементы какой-либо строки (какого-либо столбца) матри-
3)
цы D, кроме диагонального, отличны от 0. Что это означает с точки зрения доми-
нирования индивидуумов? Проверьте по матрице
D, что в составленном вами
турнире нет однозвенного победителя и однозвенного проигравшего.
Найдите матрицу
4)
2
двумя способами: алгебраически (
по диаграмме графа. Какой смысл имеют элементы
)2(
d матрицы
ij
2
2
?
) и
5)
Найдите матрицу
2
и определите с ее помощью ранг каждого
DD
индивидуума. Сколько однозвенных или двухзвенных лидеров имеет турнир?
Установите ответ на этот вопрос как по диаграмме турнира, так и с помощью
2
матрицы
.
Задание 21.
Определение порядка следования элементов по заданному
списку предпочтений
Нарисуйте диаграмму орграфа (1) и найдите с помощью его матрицы
1)
смежностей порядок следования вершин. Выделите эту цепь на диаграмме, про-
нумеровав ребра в порядке их следования.
Определите порядок, в котором следует запустить 15 компьютерных
2)
программ друг за другом, выполнив требования (2).
37
Варианты задания
1 1)
2 1)
3 1)
4 1)
5 1)
6 1)
7 1)
6,3,21
6,42
5,4,23
45
5,46
6,3,25
41
6,42
4,2,13
1,46
31
6,32
3,2,14
6,4,25
13,16
31
3,12
6,3,14
6,4,25
3,26
6,4,31
4,32
34
6,2,15
3,26
6,3,21
32
3,24
6,4,15
4,36
2)
2)
2)
2)
2)
2)
159
67
14,9,78 7,213
159
7,6,21
14,8,42
43
15,94
11,35 9,310
13,7,21
14,8,32
12,76
137 1112
14,9,78 12,513
159
12,56
67 1112
15,93 14,9,78 12,713
34
11,45 9,410
131
12,16
14,8,42 6,2,17
43
11,35
15,94 9,310
131
14,9,18 12,513
159
12,16
9,32 10,6,17
43
15,94
11,35 14,8,410
101
12
12,513
159
14,9,18
5,26
15,93
34
4,15 9,410
101
12 67
5,26
7,23 9,7,48 15,913
5,34
14,15 14,910
159 314
1011
6,514
1011
5,1314
1011
1112
6,514
211
1112
6,514
13,12,711
14,8,312
13,514
12,7,311
13,8,412
3,12
13
6,35
2,16
6,5,3,24
2)
101
12
8,23
6,34
6,25 14,910
14,16
13,7,412
9,8,47
58
12,8,311
15,913
159 1314
38
8 1)
9 1)
10 1)
11 1)
12 1)
6,31
5,32
53
5,26
6,3,2,14
2)
132
58
143
6,34
14,65 9,210
15,26 12,8,311
9,8,47
9,113
19 1514
1015
13,7,412
6,41
5,42
54
6,4,2,13
5,26
2)
132
58
143
6,34 12,8,39
14,65 11,210
15,26
111
11,8,47
13,7,412
11,113
1514
1015
4,21
6,52
6,4,2,13
54
5,46
2)
9,31
14,8,42
43
15,94
11,35 7,6,210
12,76
137 1112
12,513
14,9,78
159
111
6,514
51
6,52
6,4,2,13
2,14
5,16
2)
101
67
12
11,26
15,93 14,9,78 7,213
159
34
13,12,75 9,410
4,111
14,8,312
13,1114
21
5,14
6,25
2,16
2)
6,5,4,13
101
117
12
7,23 9,7,48 15,913
5,34
14,15 14,910
12,7,36
159 1314
5,211
13,8,412
39
f
p
f
p
Задание 22
Повторение теорем теории графов
В задании предложен список 10 теорем теории графов. Некоторые из них
сопровождаются вопросами, помогающими проанализировать и усвоить доказа-
тельства, остальные только сформулированы. Задача студента в первом случае –
письменно ответить на вопросы и изложить полное доказательство, во втором –
доказав теорему, самостоятельно составить вопросы для анализа доказательства.
Составляя такие вопросы к теоремам 4–10, используйте
приведенный анализ
первых теорем и приложение к пособию «Советы и вопросы …», с. 29.
Следует отметить, что список теорем, предложенных для анализа, лишь при-
близителен. Каждый преподаватель внесет изменения в этот список, расширит
его или сузит в зависимости от содержания и характера курса.
Теорема Эйлера о числе вершин, ребер и граней выпуклого много-
1)
q
гранника 2
1.1
Как переформулировать теорему Эйлера на языке теории графов?
Каким методом доказывается теорема? По числу каких элементов?
1.2
Для какого первоначального графа проверяется справедливость теоремы
1.3
.
(первый шаг математической индукции (МИ))?
Что используется для этой проверки?
1.4
Для каких графов и как составляется допущение (второй шаг МИ)?
1.5
К какому графу осуществляется переход в последнем шаге МИ?
1.6
Как от этого графа перейти к допущению? Какое ребро надо отбросить, лю-
1.7
бое или нет?
Почему при этом переходе число q
1.8
1.9
Почему требуется, чтобы граф был планарным?
Где в дальнейшем используется эта теорема?
1.10
Останется ли теорема верна, если граф не связен? Рассмотрите случай объе-
1.11
динения двух циклов
С и 4С без общих вершин. Нельзя ли сформулировать
3
не меняется?
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]