Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию графов. Индивидуальные задания
.pdf
p
p
G
G
G
G
соответствующую теорему для графа, состоящего из
нент связности?
В нетривиальном дереве есть хотя бы одна висячая вершина.
2)
2.1 Каким методом доказывается теорема?
2.2 Что дано, что требуется доказать?
2.3 Как составляется противоречие, то есть что допускаем?
2.4 Какой вывод относительно степеней вершин отсюда следует?
2.5 Какие действия осуществляются для того, чтобы прийти к противоречию?
2.6 Почему при
слово «первом» опустить?
2.7 Почему после конечного числа шагов мы вернемся в какую-нибудь из прой-
денных вершин? Обязательно ли это начало обхода?
2.8 В чем же противоречие, с каким элементом условия?
первом входе в каждую вершину из нее есть выход? Можно ли
k планарных компо-
2.9 Где эта теорема используется в дальнейшем?
Если в связном графе 1
3)
3.1 Метод доказательства.
3.2 Что дано, что требуется доказать?
3.3 Какие действия осуществляются, чтобы перейти к противоречию?
3.4 Почему после конечного числа этих действий остается дерево?
3.5 В чем же противоречие и с чем?
3.6 Где в доказательстве были использованы связность графа и условие 1
4)
Для связного графа
(1)
(2) каждая вершина графа
– эйлеров граф;
q , то это дерево.
следующие 3 утверждения эквивалентны:
имеет четную степень;
q ?
(3) множество ребер графа
Теорема о 5 красках. Каждый планарный граф 5 – раскрашиваем.
5)
Число правильных многогранников не более 5.
6)
можно разбить на простые циклы.
41
p
p
7)
В любом графе с 6 вершинами всегда найдутся либо 3 попарно смеж-
ные, либо 3 попарно несмежные вершины.
Графы
8)
9)
В любом планарном графе 63
треугольников, то 42
10)
Для того чтобы паросочетание М в двудольном графе было макси-
K и 33K не являются планарными.
5
q . Если же в планарном графе нет
q .
мальным, необходимо и достаточно, чтобы в нем не было увеличивающей М че-
редующейся цепи.
Приложение.
Советы и вопросы, помогающие усвоить доказательства теорем
Со времен греков говорить
«математика» – значит
говорить «доказательство».
Н. Бурбаки
1. Прочитайте формулировку теоремы. Запишите, что дано и что требу-
ется доказать. Попробуйте сами сформулировать теорему, сравните вашу форму-
лировку с записями в лекции. Какие понятия использовались в формулировке? С
какими теоремами возможна связь?
Проверьте, если возможно, справедливость теоремы на частных слу-
2.
чаях; нарушения заключения, если не выполняется какой-либо пункт условия.
Приведите, если возможно, графические иллюстрации.
Нельзя ли некоторые элементы условия ослабить так, чтобы заключе-
3.
ние теоремы осталось верным? Если нельзя, то постройте доказывающий это
контрпример.
Составьте утверждение, обратное теореме, и постарайтесь устано-
4.
вить, будет ли оно иметь место.
42
5.
Можно ли сформулировать теорему в форме достаточного, или необ-
ходимого, или необходимого и достаточного условия какого-либо факта?
Прочитав доказательство, попробуйте сформулировать его основную
6.
идею. Какие шаги доказательства являются естественными, а какие «берутся с
неба»? Если последние встретились в доказательстве, то нельзя ли установить
ход рассуждений, которые помогли бы догадаться до этого шага без подсказки.
Составьте план доказательства, постарайтесь оформить его в виде
7.
схем, рисунков. Попробуйте представить доказательство как цепочку отдельных
элементов, следующих друг за другом. Можно ли изменить их порядок? Опреде-
лите, какие из элементов цепочки являются основными, а какие играют вспомо-
гательную роль. Не можете ли Вы некоторые элементы доказательства построить
самостоятельно или доказать
Выясните, какие теоремы и определения использовались при доказа-
8.
по-другому?
тельстве, где использовался каждый элемент условия, что главное надо запом-
нить, чтобы восстановить доказательство.
Постарайтесь конспективно изложить доказательство, заменяя каж-
9.
дое предложение одним подлежащим или одним сказуемым. Попробуйте запи-
сать доказательство с пропущенными ключевыми словами и предложить товари-
щу вставить эти слова. Придумайте вопросы по этому доказательству, упражне-
ния, помогающие усвоить доказательство.
Постарайтесь найти следствия из изучаемой теоремы или ее обобще-
10.
ние, установить аналогии с другими теоремами, как по содержанию, так и по спо-
собу доказательства.
Изучая доказательство теоремы, которое ведется дедуктивно, рас-
11.
смотрите его ход в обратном направлении. До каких из полученных шагов Вы
могли бы догадаться или, в крайнем случае, объяснить их целесообразность? По-
старайтесь на основе проведенного анализа построить индуктивный ход доказа-
тельства теоремы.
Завершите работу по анализу доказательства теоремы полным расска-
12.
зом (изложением) этого доказательства.
43
Е. К. Годунова
Введение в теорию графов
Индивидуальные задания
Управление издательской деятельности
и инновационного проектирования
МПГУ
117571 Москва, Вернадского пр-т, д. 88, оф. 446
Тел.: (499) 730-38-61
E-mail: izdat.innov@mpgu.edu
Издательство «Прометей»
129164 Москва, ул. Кибальчича, д. 6, стр. 2
E-mail: info@prometej.su
Подписано в печать 23.07.2012 г.
Формат 60х90/16. Объем 2,75 п.л.
Тираж 500 экз. Заказ № 226.
44
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]