Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию графов. Индивидуальные задания
.pdf
Задание 12
Гамильтоновы циклы
1. Проверьте для графов
существования в графе гамильтонова цикла:
,, ННН выполнение достаточного условия
321
(u) ( ) p
для любых двух не
смежных вершин u и графа.
2. Найдите гамильтоновы циклы графов
,, ННН . Если достаточное
321
условие выполняется, то используйте известный алгоритм перестройки порядка
,...,,,
вершин в последовательности
Укажите номер графа, который доказывает, что сформулированное
3.
AAAA .
1210
P
достаточное условие не является необходимым.
Докажите, используя метод от противного, что граф является связ-
4.
ным, если выполняется достаточное условие его гамильтоновости.
Приведите по одному примеру графов 4 видов:
5.
а) эйлеров и гамильтонов,
б) эйлеров, но не гамильтонов,
в) гамильтонов, но не эйлеров,
г) не эйлеров и не гамильтонов.
Приведите примеры практических задач, сводящихся к поиску га-
6.
мильтоновых циклов в графах.
21
Варианты задания
22
23
À,Â
EDCBA
EDCBA
EDCBA
Задание 13
Поиск наибольших паросочетаний в двудольном графе
Постройте двудольные графы, соответствующие первым двум систе-
1)
мам различных представителей множеств
,Ñ,... . Первоначальный выбор пред-
ставителей отмечен двойным подчеркиванием. Выясните, какие из заданных па-
росочетаний являются наибольшими, а остальные доведите до наибольших.
Найдите наибольшее паросочетание для третьей системы представи-
2)
телей.
Приведите примеры практических задач, сводящихся к поиску наи-
3)
больших паросочетаний.
Варианты задания
Вариант 1
а)
б)
)7,3,1(),7,1(),6,5,4,3,2(),7,3(),7,1( EDCBA
)7,1(),6,5,1(),7,4,1(),6,3,2(),6,4,1(),5,2(),4,1( GFEDCBA
в)
)4,3,2(),5,4,3(),3,2(),5,4,3(),2,1(
Вариант 2
а)
)6,4(),5,3(),7,1(),7,4,3(),5,3,2,1(),6,2( FEDCBA
б)
в) )5,4(),5,2(),4,3(),4,3,2,1(),2(
Вариант 3
а) )5,4,2,1(),7,5,3(),4,1(),5,2(),6,5,3,2(),4,1( FEDCBA
б)
в) )5,3(),4(),5,3,2,1(),4,2(),2,1(
)3(),3,2(),3,2(),3,2(),4,3,2,1( EDCBA
)6,5(),6,5(),6,5(),4,3,2,1(),4,3,2,1(),4,3,2,1( FEDCBA
24
EDCBA
EDCBA
EDCBA
EDCBA
EDCBA
Вариант 4
а)
б)
в) )3,2(),3,2(),2,1(),5,4,3,2(),5,4,3,1(
Вариант 5
а) )4,3(),6,1(),5,2(),6,3(),5,3,2(),2,1(),4,2( GFEDCBA
б)
в) )4,2(),5,4,2(),5,4,3,2(),5,3,1(),1(
Вариант 6
а)
б)
)1(),5,4,3,2,1(),4,3,2,1(),1( DCBA
)5,2,1(),3(),3(),3(),5,3,2(),3(),5,4,1( GFEDCBA
)6,5,4(),6,5,4(),2,1(),3,2,1(),3,2,1(),3,2,1( FEDCBA
)7,5(),6,4,3(),6,2(),5,3,1(),4(),3,2(),7,6,5,3,1( GFEDCBA
)5(),2(),6,5,3,2(),6,4,1(),5,2(),6,3,2(),6,4,1( GFEDCBA
в) )5,4(),5,3,2(),3,2(),4,2,1(),2(
Вариант 7
а) )7,3(),6,5,3(),7,3,2(),3,2(),6,3,2(),5,4(),6,4,1( GFEDCBA
б)
в) )5,3(),4,2(),5,3(),3,2,1(),3,1(
Вариант 8
а) )4,3(),5,2(),6,1(),3,2(),6,4(),6,5(),6,3,1( GFEDCBA
б)
в) )2,1(),4,3,1(),4,3(),5,4,2(),4(
)2,1(),2,1(),2,1(),4,3,2,1( DCBA
)6,5(),5,4,3,2,1(),6(),6(),5,4,3,2,1( EDCBA
25
EDCBA
EDCBA
Вариант 9
а) )6(),2(),6,2(),5,4,3(),6,5,2,1(),5,1,2(),5,4,3( GFEDCBA
б)
в) )3,1(),6,4,1(),6,4,2(),6,4(),4,2(),6,5,4,3,2,1( F
)5,4,2,1(),3(),3(),3(),5,3,2(),3(),5,4,1( GFEDCBA
Вариант 10
а) )4,1(),5,3(),4,2,1(),4,2(),6,4,2(),6,5,4(),7,6,3( GFEDCBA
б)
в) )5,4,3,1(),1(),5,4,3,2,1(),6,1(),4,2,1(),5,1( F
)6,2,1(),5,2(),5,2(),5,2(),5,4,3,2( EDCBA
26
Задание 14
Система фундаментальных циклов по Кирхгофу
В данном графе укажите число вершин, ветвей и хорд, выделите в нем два
остова и определите системы фундаментальных циклов, определяемых выбран-
ными остовами.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 9
Вариант 10
27
Задание 15
Экстремальное дерево
Выберите на карте 8 городов, никакие 4 из которых не лежат на од-
I.
ной прямой, перенесите их на бумагу, сохраняя измеренные в условных единицах
расстояния межу ними. Составьте матрицу расстояний и определите по ней наи-
более экономичное дерево, соединяющее города. Предполагается, что стоимость
прокладки дороги пропорциональна ее длине. Постройте полученное дерево на
приготовленной
Взаимопонимание между членами коллектива, состоящего из 6 чело-
II.
вами карте с отмеченными городами.
век, оценено по 10-тибалльной системе. Оценки представлены в таблице с номе-
ром вашего варианта. Найдите дерево максимального взаимопонимания и по-
стройте его диаграмму.
1 A B C D E F
Х 9 1 2 8 3
A
B
C
D
E
2 A B C D E F
A
B
C
D
E
3 A B C D E F
A
B
C
D
E
4 A B C D E F
A
B
C
D
E
Х 4 5 8 4
Х 7 2 10
Х 7 1
Х 3
Х 6 1 5 8 2
Х 4 7 3 1
Х 6 9 3
Х 5 6
Х 10
Х 7 10 6 6 1
Х 10 5 8 2
Х 10 9 3
Х 8 8
Х 7
Х 6 7 1 2 5
Х 8 9 3 1
Х 10 4 6
Х 9 7
Х 2
5 A B C D E F
Х 5 3 10 8 7
A
B
C
D
E
6 A B C D E F
A
B
C
D
E
7 A B C D E F
A
B
C
D
E
8 A B C D E F
A
B
C
D
E
Х 1 2 4 6
Х 3 9 8
Х 5 1
Х 2
Х 4 5 10 2 3
Х 8 8 3 7
Х 4 6 7
Х 2 4
Х 9
Х 10 6 5 2 4
Х 5 9 7 8
Х 5 4 4
Х 3 2
Х 6
Х 7 8 4 3 2
Х 8 9 8 6
Х 10 6 5
Х 10 10
Х 7
28
3
6
7
0
0
4
1
2
5
3
9 A B C D E F
Х 4 7 6 2 5
A
B
C
D
E
Х 9 5 4 3
Х 10 9 2
Х 8 7
Х 6
Построение символа α(Т) дерева Т, покрывающего данный граф,
и решение обратной задачи (алгоритм Пруфера)
Даны диаграмма дерева
Вариант 1
Задание 16
T и символ дерева
1
Вариант 6
10 A B C D E F
Х 3 4 8 6 7
A
B
C
D
E
Х 5 9 5 8
Х 4 3 10
Х 4 2
Х 5
(T )
2
. Найти
(T )
и 2T .
1
T
1
1
5
(T ) { }
2
4
2
2, 3, 3, 7, 12, 7, 2, 12, 2, 7
7
10
9
8
Вариант 2
T
1
1
5
2
11, 6, 12, 6, 6, 8, 8, 8, 6, 13, 13(T ) { }
2
3
4
8
9
1
7
6
11
Вариант 3
11
T
2
1
11
9
2
4
1
12
5, 5, 5, 2, 3, 8, 3, 3, 1, 12, 1(T ) { }
3
5
1
6
8
Вариант 7
T
1
2
13
1
3
12
1
7, 5, 5, 9, 5, 5, 4, 1, 9, 9(T ) { }
2
5
8
910
6
7
Вариант 8
12
10, 8, 10, 11, 12, 8, 3, 3, 1, 1(T ) { }
13
1
T
1
3
8
7
10
9
11
6
5
4
2
10
T
12
11
13
2
1
1
2
8
9
2, 5, 7, 7, 7, 2, 9, 1(T ) { }
7
6
4
29
2
2
7
9
3
4
5
6
1
}
Вариант 4
1
Вариант 5
2
Вариант 9
T
1
3
2
4
5, 5, 1, 13, 14, 13, 3, 14, 2, 2, 8, 8(T ) { }
7
8910
11
6
5
1
12
2
11
13
T
1
8
14
6
1
5
4
3
10
3, 3, 4, 4, 8, 10, 6, 6, 10, 5(T ) { }
2
Вариант 10
12
7
T
1
109
7
5
6
8
5, 6, 6, 6, 2, 8, 12, 1, 8, 9(T ) { }
2
1
10
2
2
1
1
3
T
1
8
9
4
12, 13, 12, 12, 12, 13, 9, 9, 8, 3, 13(T ) {
Задание 17.
Планарные графы и их плоские укладки
Определите, какой из двух заданных в варианте графов не
является планар-
ным. Перерисуйте граф с указанием его номера (1 или 2) и выделите другим цве-
том подграф, свидетельствующий о непланарности графа. Укажите вид (
K ) выделенного подграфа.
33
K или
5
Перерисуйте другой граф и рядом постройте его плоскую укладку с прямо-
линейными ребрами, сохранив метки вершин. Для проверки сосчитайте у графа и
его плоской укладки число ребер q и степени вершин. Определите, какие ребра
можно добавить в заданном графе, сохраняя его планарность. Постройте плоскую
укладку графа с добавленными
ребрами.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]