Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Для

























0 mn

, как легко подсчитать,

(1)

() 1

Pm m q

nmp





. (2.35)



Отсюда следует, что если

Pm Pm

mnpq

(1) ()

;

, если

(1) ()

Pm Pm

(1) ()

Pm Pm





mnpq

, если

. Таким образом, вероятность

()(1)nmp m q

mnpq



; наконец,



, т. е.

()

с увеличением m сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте m убывает. При этом если

числом, то максимальное значение вероятность двух значений m, а именно для

не является целым числом, то максимального значения вероят-

np q

ность лу, большему либо одна мода

достигает при

()

. Соответственно имеется либо две моды

np q



mnpq

, равном наименьшему целому чис-



является целым

np q

принимает для

()



. Если же

1mnpq

,mm



Выражения для других характеристик биномиального распределения даны ниже.

Медиана – одно из трех чисел:

[]1,[],[]1np np np

Коэффициент асимметрии равен

Коэффициент эксцесса равен

(1 6 )pq npq

()q p npq

2.3.3. Геометрическое распределение

Случайная величина , имеющая геометрическое распределение (обозначается как   Geom(р)), может принимать целое значение n от нуля до бесконечности. Соответствующие вероятности равны

()

Pn q p

, где 0 < p < 1, q = 1 – p. В частности, геометрическое рас-

пределение имеет количество испытаний до наблюдения первого успеха, когда вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна p.

Функция распределения вероятности для целых значений определяется как

0, 0, 1, 2, ,













()

Fn q p p q q p

 





 





. (2.36)



 

  

ppq q n







1, 1,2,.



На рис. 2.1, а приведены значения (2.36) при различных величинах параметра р, соединенные отрезками. Таким образом, вместо истинных разрывных функций распределения там представлены их аппроксимации.

а б

Рис. 2.1. Геометрическое распределение

Иногда ряд вероятностей случайной величины представляется графически. Точки с координатами

(),

, ()



соединяются

отрезками. Получающаяся в результате ломаная линия называется

многоугольником (или полигоном) распределения. На рис. 2.1, б

представлены полигоны геометрического распределения при различных значениях параметра p.

Математическое ожидание равно



pp

Дисперсия равна

  

 

pq q q pq



Учитывая, что

 

{}

   

M nq p qp nq qp q

qp qp



 

pnn q pnq pq q

(1)

 

nn n

 

11 2



dqddqq





dqpqqpqq

dq p p p

nn n

 

01 1

nn n

 



dq qqqpq



dq q p





{}



nn n









122

 



{} { } {}DM M

233



 

 



(1 )



(1 )





nq p





dq dq q p



, получаем



 



. (2.37)















. (2.38)

222

2()

{}

       . (2.39)

qqq qqqpq q

322 22

pp p p



Очевидно, что мода распределения равна нулю.

Медиана геометрического распределения обычно не определяется.

Коэффициент асимметрии равен

Коэффициент эксцесса равен

(2 ) 1pp

6(1)



2.3.4. Распределение Пуассона





Случайная величина , имеющая распределение Пуассона (иногда обозначается как   Р()), может, как и в случае геометрического распределения, принимать целое значение n от нуля до бесконечности. Соответствующие вероятности равны



() exp{ }

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Функция распределения вероятности для целых значений имеет вид

() ( 1, )

Fn n





. (2.40)

. (2.41)

Здесь в правой части стоит так называемая

гамма функция Эйлера [9].

Математическое ожидание равно :

nnn



     

{ } exp{ } exp{ } exp{ }

Mn n





nnn

!!(1)!

nnn



011



     

exp{ } exp{ }exp{ }







. (2.42)



Дисперсия также равна :



{} exp{ }

  

exp{ } exp{ }

















( 1)! ( 1)!























  

   

exp{ } exp{ }

  

dn d n



  



  

(1)! (1)!



  



exp{ } exp{ }

    

exp{ } exp{ } exp{ }     





. (2.43)

Учитывая, что

{} { } {}DM M

 , получаем



  .

На рис. 2.2 (аналогично рис. 2.1) представлены аппроксимации функций распределения (рис. 2.2., а) и полигоны (рис. 2.2., б) для рас- пределения Пуассона при различных значениях .

а б

Рис. 2.2. Распределение Пуассона

Другие характеристики распределения Пуассона приведены ниже.

Mода равна

Медиана приблизительно равна

Коэффициент асимметрии равен

Коэффициент эксцесса равен

[]

 

10,02





2.3.5. Гипергеометрическое распределение

NM









Гипергеометрическое распределение зависит от трех целочислен-

ных параметров N, M и n. Случайная величина , имеющая гипергеометрическое распределение (обозначается как   HG(N, M, n)), может принимать целое значение m от нуля до n включительно. Соответствующие вероятности равны

mnm



nM N

. (2.44)



()



Гипергеометрическое распределение моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности. Обычно его иллюстрируют следующим жится М белых и вынимают n шаров, лых и

nm

черных шаров, имеет гипергеометрическое распределение.

примером. Из урны, в которой содер-

черных шаров, наудачу и без возвращения

. Вероятность того, что будет выбрано m бе-

Приведем без доказательства выражения для основных характеристик распределения.

Математическое ожидание равно

Дисперсия равна

Мода равна

  



nM N M N N n

(1 / ) ( )

(1)





Контрольные вопросы к разделу 2.3

1. Как строится ряд вероятностей для дискретной случайной вели-

чины?

Чем отличается таблица вероятностей от ряда вероятностей?

Полностью ли определяется дискретная случайная величина

своим рядом вероятностей?

Что называется полигоном (многоугольником) распределения?

Определяется ли полигон для непрерывных случайных величин?

Как определяется дискретное равномерное распределение?

Может ли случайная величина, имеющая дискретное равномер-

ное распределение, принимать бесконечное число значений?

7. Как распределено количество удачных опытов в схеме Бернулли?





Какие значения может принимать случайная величина, имею-

щая биномиальное распределение?

Сколько мод может иметь биномиальное распределение?

10.

Какой ряд вероятностей имеет геометрическое распределение?

11.

Приведите пример случайной величины, распределенной гео-

метрически.

12.

Для какого распределения дисперсия численно равна матема-

тическому ожиданию?

13.

Какую интерпретацию имеет параметр  в распределении

Пуассона?

14.

Сколько параметров имеет гипергеометрическое распреде-

ление?

15.

Приведите пример случайной величины, имеющей гипергео-

метрическое распределение.

16.

Совпадают ли для какого-нибудь из изученных распределений

математическое ожидание и медиана?

17.

Может ли быть коэффициент асимметрии распределения от-

личным от нуля, если его математическое ожидание, медиана и мода совпадают?

2.4. Некоторые непрерывные распределения

2.4.1. Непрерывное равномерное распределение

Случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке

Равномерное распределение случайной величины  на отрезке

[, ]ab

распределения:

[, ]ab, ,ab R

обозначается   U(a, b). Интегрируя (2.45), получаем функцию

, если ее плотность вероятностей имеет вид



1/( ) [ , ]

ba x ab

() ( )( ),

xxabaaxb



0, [ , ]



 

 

 









()

. (2.45)



. (2.46)



Функции распределения и плотности приведены на рис. 2.3, а и б соответственно.

а б

Рис. 2.3. Равномерное непрерывное распределение

Непрерывное равномерное распределение характеризуется тем, что вероятность любого интервала значений зависит только от его длины. Его математическое ожидание и медиана совпадают и равны

()2ab .

Действительно,

{} ( ) ;

Mxdxba

   



ba ba



2( ) 2



(2.47)



1Med{} 1

  

Med{ } ,



Med{ } ( )



ba a





. (2.48)

Вычислим дисперсию непрерывного равномерного распределения:

{}

Dxdx

1()

    



ba ba



()( )()

bab aba ab

 





 

22 2

3( ) 4



ab b a ab



33 2

23()4

2222





























44 4363

babababa



222

2()

bababa 



. (2.49)

12 12

Значения других характеристик даны ниже.

Модой считается любое число из промежутка

[, ]ab

Коэффициент асимметрии равен нулю.

Коэффициент эксцесса равен

6/5

2.4.2. Экспоненциальное распределение

Случайная величина имеет экспоненциальное распределение, если ее функция плотности вероятностей имеет вид

где

. Экспоненциальное распределение случайной величины 

0

обозначается



0, 0,



exp{ } 0,





()

  Exp(). Функция распределения вероятностей полу-

 

(2.50)

чается путем интегрирования (2.50):









() ( )

Fx f x dx



exp{ } 1 exp{ } 0,

 

0, 0.







xxx

    

На рис. 2.4, а представлены функции распределения и на рис. 2.4, б – функции плотности при различных значениях параметра .

Математическое ожидание равно

{} exp( )

  

Дисперсия равна

exp( ) exp( )xx xdx

    



xxdx





. Действительно,





. (2.52)

(2.51)

а б

Рис. 2.4. Экспоненциальное распределение

Медиана определяется следующим образом:

Med{ } ,

F 



1 exp Med{ } Med{ } .

  



(2.53)

1ln2



Очевидно, что мода экспоненциального распределения равна нулю.

Коэффициент асимметрии равен двум.

Коэффициент эксцесса равен шести.

2.4.3. Распределение Парето

Распределение Парето – это двухпараметрическое семейство аб-

солютно непрерывных распределений. Его плотность вероятности имеет вид











Здесь

0, 0

x 



()

. Параметр





0, .



называется коэффициентом мас-

штаба. Функция распределения вероятностей получается путем интегрирования (2.54):





(2.54)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]