Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. Учебное пособие
.pdf
x
x
() ( )
Fx f xdx
x
xx
mm
()
x
1,
x
m
0, .
x
xx
xx
m
m
(2.55)
На рис. 2.5, а представлены функции распределения и на рис. 2.5, б –
функции плотности при различных значениях параметра (параметр
равен единице).
m
а б
Рис. 2.5. Распределение Парето
Распределение Парето имеет математическое ожидание только при
> 1:
{}
M x dx x x dx x
xx
xxx
mmm
1
x
mm
m
1
x
11
m
. (2.56)
Распределение Парето имеет дисперсию только при > 2:
{} { } {}
DM M x dx
22
32 22 2 32 22 2
xxxxx x
mmmmm m
2
x
m
22
22
( 1)( 2) ( 1)( 2)
xxxx
mmmm
x
61
1
22
2
121
. (2.57)
Очевидно, что мода распределения Парето равна
x
x
x
x
.
m
Медиана определяется из уравнения
x
1Med{}2
m
Med 2
Коэффициент асимметрии равен
Коэффициент эксцесса равен
1
2(1 ) 2
32
6( 6 2)
(3)(4)
3
1
. (2.58)
x
m
.
,3
,4
.
2.4.4. Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Нормальное распределение, также называемое распределением
Гаусса
плотности
где > 0. Нормальное распределение случайной величины обозначается
во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию большого числа независимых
случайных факторов, способных вносить с равной вероятностью малые положительные и отрицательные отклонения в ее значение, независимо от природы этих факторов, часто подчиняется нормальному
распределению. Поэтому из всех
встречается нормальное (отсюда и произошло одно из его названий).
Стандартным нормальным распределением называется нормальное
распределение с
региба при
, – это распределение вероятностей, которое задается функцией
2
x
, (2.59)
2
2
2
( ~ ), N
. Нормальное распределение играет важнейшую роль
() exp
fx
1()
2
распределений в природе чаще всего
0
и
1
.
Функция (2.59) достигает максимума при
. Чем меньше значение , тем кривая f (х) имеет большее зна-
; ось абсцисс служит для нее асимптотой при
и имеет точки пе-
62
чение максимума и падает круче. Как и для любой непрерывной слу-
x
чайной величины, функция распределения вероятности получается путем интегрирования плотности. Однако первообразная функции (2.59)
не выражается в элементарных функциях. Поэтому результат выражается следующим образом:
1
() 1 erf
Fx
2
x
2
,
2
где
x
Функция
erf() exp( )
erf( )
называется интегралом ошибок. На рис. 2.6, а
2
xtdt
0
2
. (2.60)
приведены функции распределения и на рис. 2.6, б – функции плотно-
сти при различных значениях параметров и .
а б
Рис. 2.6. Нормальное распределение
Математическое ожидание равно . Покажем это. По формуле
(2.15)
{} exp
Mx dx
1()
2
63
x
2
2
2
. (2.61)
Заменой
M
D
D
{} ( )exp exp
Дисперсия равна
()tx
приводим вычисляемый интеграл к виду
1
22
222
{} ( ) exp
tdttdt
t
exp 0 2
2
. Действительно, поскольку
1()
2
22
tt
22
2
dt
2
x
2
xdx
2
2
Произведем под интегралом замену переменных:
зультате получим
22
{} exp
2
t
2
tdt
. (2.64)
2
Интегрированием по частям находим, что
. (2.62)
{}M
2
, имеем
. (2.63)
()tx
и в ре-
22
{} exp
Dt
2
222
22
exp 2
t
2
t
dt
2
Очевидно, что мода нормального распределения равна .
Медиана определяется из уравнения
11 Med{} Med{}
22
но из (2.60)
1erf erf 0
erf( ) 0 0xx
22
22
, таким образом
Med{ }
Коэффициент асимметрии равен нулю.
Коэффициент эксцесса равен нулю.
64
2
. (2.65)
, (2.66)
.
Контрольные вопросы к разделу 2.4
1. Может ли равномерное распределение быть заданным на всей
числовой прямой? А на полупрямой
2.
Сколькими параметрами задается равномерное распределение?
3.
Два равномерных распределения заданы на отрезках различной
длины. Могут ли совпадать их математические ожидания?
4.
Имеет ли равномерное распределение моду?
5.
Связаны ли между собой математическое ожидание и диспер-
сия случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону?
6.
Совпадают ли мода и медиана экспоненциально распределен-
ной случайной величины?
7.
Известно, что распределенная по Парето случайная величина
имеет математическое ожидание, имеет ли она дисперсию?
8.
Как влияет коэффициент масштаба на наличие моментов у слу-
чайной величины, распределенной по Парето?
9.
Как зависит математическое ожидание случайной величины,
распределенной по Парето, от коэффициента масштаба?
10.
Какое распределение считается самым распространенным в
природе?
11.
Известно, что функция плотности нормального распределения
(гауссова функция) не имеет первообразной, которая бы выражалась в
элементарных функциях. Существует ли в этом случае функция распределения?
12.
Математическое ожидание нормального распределения отлич-
но от нуля, равен ли нулю его коэффициент асимметрии?
13.
Стандартное отклонение нормально распределенной случайной
величины увеличили в два раза. Как изменилось ее математическое
ожидание?
[0; [
?
2.5. Асимптотическое поведение случайных величин
В этом разделе приводятся без доказательства теоремы и утверждения о том, как ведут себя случайные величины, имеющие в пределе
бесконечно большие значения, а также суммы случайных величин,
65
имеющие в пределе бесконечное число членов. Эти теоремы являются
основой для решения задач математической статистики, в частности,
для определения вероятностей по выборочным данным.
2.5.1. Неравенство Чебышёва
(0)
Теорема 1. Пусть неотрицательная случайная величина
{}M
Если существует математическое ожидание
, то для любого
имеет место
{}
()
MP
. (2.67)
Теорема 2. (Неравенство Чебышёва). Если случайная величина
имеет дисперсию, то для любого
PM
0
{}
имеет место
{}
D
. (2.68)
2
Неравенство Чебышёва позволяет оценивать вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Укажем
распределение случайной величины, для которой в неравенстве (2.68)
стоит знак равенства. Обозначим
{}D
, пусть
2
дискретную случайную величину, ряд вероятностей которой приведен
в табл. 2.3.
0
. Возьмем
.
Таблица 2.3
Ряд вероятностей рассматриваемой
случайной величины
22
(2 )
0
22
1
22
(2 )
Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины из табл. 2.3:
222
{} 01 0
M
22
222
66
, (2.69)
j
{} { } ( ) 0 1
DM
Тогда, согласно (2.68)
PPP
222
22 2 2 2
P
22
()()
222
22
. С другой стороны,
222
222
222
. (2.70)
. (2.71)
Таким образом, нестрогое неравенство в (2.68) переходит в равенство.
Формула (2.68) имеет обобщение. Пусть g(x) – неубывающая неотрицательная функция и
. Если существует
()Mg, то можно
0
показать, что
()
Mg
()
P
g
. (2.72)
()
2.5.2. Закон больших чисел
В разделе 2.2.2 было определено понятие независимости двух случайных величин. Обобщим его следующим образом. Случайные величины
ятность
, , ...,
12
()
Px
ii
случайной величины
называются попарно независимыми, если веро-
n
не зависит от распределения вероятностей
для любых i и j.
Теорема 3. Если случайные величины
, , ...,
12
попарно не-
n
зависимы и
n
1
то для любого
lim 1
n
12 1 2
P
0
nn
lim { } 0
n
имеет место
{} { } { }
MM M
nn
D
2
n
k
1
, (2.73)
k
. (2.74)
Далее приведены некоторые частные случаи теоремы 3.
67
Теорема 4. (Теорема Чебышёва). Если случайные величины
D
F
, , ...,
12
n
то для любого
попарно независимы и
0
имеет место формула (2.74).
{} ,
k
Ck
, (С постоянная),
Теорема 5. Если случайные величины
, , ...,
12
одинаково
n
распределены, попарно независимы и имеют конечные дисперсии, то
0
для любого
справедливо следующее соотношение:
lim 1
n
12
Pa
n
. (2.75)
n
Здесь через а обозначено математическое ожидание, по условиям теоремы оно одинаково для всех случайных величин. Заметим, что в
условиях этой теоремы можно не требовать конечности дисперсии, но
в этом случае надо требовать независимости случайных величин в совокупности. Введем по аналогии с (2.23) и (2.24) совместную функцию
распределения случайных величин
, , ...,
12
. Если выполняется
n
равенство
то
, , ...,
12
(, , ) ()( ) ( )
xx x FxFx Fx
12 1 2
независимы в совокупности. Выражение (2.76)
n
означает, что вероятность
nn
()
Px
не зависит от распределения ве-
ii
, (2.76)
роятностей остальных случайных величин.
Обозначим через m количество удачных опытов в схеме испытаний
Бернулли (см. раздел 1.3.1). Для любого
0
оценим вероятность не-
равенства
m
(2.77)
p
n
при бесконечном увеличении числа опытов. Применив интегральную
теорему Муавра–Лапласа (1.25), получаем
lim exp 1
n
m
Pp xdx
n
Равенство (2.78) носит название
ма Бернулли
. Оно является следствием теоремы 5.
11
2
2
2
. (2.78)
закон больших чисел или теоре-
68
2.5.3. Предельные теоремы теории вероятностей
Теорема 6. (Центральная предельная теорема). Если случайные
величины
, , ...,
12
пределены и имеют конечную дисперсию, то при
по
;x
независимы в совокупности, одинаково рас-
n
n
равномерно
Здесь
12
Pxdt
{}
aM
k
n
2
,
D
na
n
{}
k
. Эта теорема имеет важное значение для
x
1
exp
2
2
t
2
. (2.79)
математической статистики и всей науки в целом. Она указывает, что
многие встречающиеся на практике случайные величины имеют распределение, близкое к нормальному. Примером может служить распределение компоненты скорости теплового движения молекул.
Отметим, что теорема Муавра–Лапласа является частным случаем
теоремы 6.
Условия сходимости функции
деленных слагаемых содержатся в
упрощенная формулировка. Пусть
распределения суммы разнораспре-
теореме Ляпунова. Ниже дана ее
, , ...,
12
– независимые в со-
n
вокупности случайные величины, имеющие конечный центральный
третий абсолютный момент. Положим
aM bD cM a
{}; {}; ;
nn nn n nn
nnn
AaBbCc
nk nk nk
kkk
23
;;
111
22 33
3
. (2.80)
Если при
n
Pxdt
имеет место
12
B
n
С B
A
nn
69
nn
, то также имеет место
0
x
1
exp
2
2
t
2
. (2.81)
Контрольные вопросы к разделу 2.5
1. Случайная величина, имеющая математическое ожидание, может принимать любые положительные значения. К чему стремится вероятность того, что она примет значение в окрестности числа N при
N
личина не имеет математического ожидания?
матическое ожидание, но не имеет дисперсии. Могут ли иметь ее
сколько угодно большие отклонения от математического ожидания
конечную вероятность?
купности.
сти. Являются ли они попарно независимыми?
теорем?
хотя бы одна из фигурирующих там случайных величин не имеет дисперсии?
теоремы, если фигурирующие там случайные величины не имеют абсолютных третьих центральных моментов?
центральной предельной теоремы?
сумма абсолютных третьих центральных моментов фигурирующих там
случайных величин будет стремиться к бесконечности при неограниченном увеличении числа слагаемых?
?
2.
Изменится ли ответ на предыдущий вопрос, если случайная ве-
3.
Что утверждает неравенство Чебышёва?
4.
Положительная непрерывная случайная величина имеет мате-
5.
Дайте определение независимости случайных величин в сово-
6.
Случайные величины
В чем состоит смысл теоремы Чебышёва и аналогичных ей
7.
8.
Будет ли справедливо утверждение теоремы Чебышёва, если
9.
Что утверждает теорема Бернулли?
10.
Что утверждает центральная предельная теорема?
11.
Будет ли справедливо утверждение центральной предельной
12.
Можно ли рассматривать теорему Ляпунова как обобщение
13.
Будет ли справедливо утверждение теоремы Ляпунова, если
, , ...,
12
независимы в совокупно-
n
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]