Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. Учебное пособие
.pdf
1.2.3. Сумма событий
В
В
В
Теорема сложения вероятностей
Случайное событие С, состоящее в том, что происходит либо одно
из случайных событий A, B, либо происходят они оба, называется их
суммой и обычно обозначается C = A + B. Основываясь на классическом определении, найдем вероятность события C. Пусть из n элементарных событий m благоприятствуют событию А, l – событию B,
k – произведению AB. Тогда событию C благоприятствуют
а
(m – k) + (l – k) + k элементарных событий. Здесь первое слагаемое соответствует тому, что произошло только событие A, второе – что произошло только B, третье – что произошли оба события. Раскрыв скобки, имеем m + l – k. Разделив это выражение на n, с учетом
результатов, полученных в разделе 1.2.1, получаем
( ) () () ( )
PA B PA PB PA
mlk
, (1.6)
nnn
т. е. вероятность суммы двух событий равняется сумме их вероятностей за вычетом вероятности их произведения. Это есть утверждение
теоремы сложения вероятностей.
Понятие суммы событий, так же как и понятие их произведения,
может быть обобщено. Пусть имеется группа событий
n
CB
Их суммой
называется случайное событие С, состоящее в
k
k
1
,
, ...,
1
В
2
п
том, что происходит хотя бы одно из них. Подразумевается, что событием
С также считается такое, когда происходят любые два, три и бо-
лее событий из рассматриваемой группы, вплоть до того, что происходят они все.
В разделе 1.1.2 было дано определение несовместимых событий.
С точки зрения пространства элементарных событий несовместимость
событий
которое благоприятствовало бы и
A и B означает, что нет ни одного элементарного события,
А и В, поэтому вероятность их про-
изведения равна нулю. Для таких событий теорема сложения приобретает очень простой вид: вероятность их суммы равна сумме их вероят-
11
.
ностей. Нетрудно видеть, что для любого конечного числа несовме-
В
В
В
стимых событий
,
, ...,
1
2
имеет место
В
п
nn
PB PB
kk
11
kk
()
. (1.7)
Теорему сложения можно обобщить на конечное число произвольных случайных событий. Чтобы найти вероятность их суммы, нужно
сложить их вероятности, от полученной величины отнять сумму вероятностей всех возможных попарных произведений, затем прибавить
сумму вероятностей всех возможных тройных произведений, далее
отнять сумму вероятностей всех возможных произведений из четырех
сомножителей и
т. д. Например, для четырех событий A, B, C и D веро-
ятность их суммы будет выражаться следующим образом:
( ) () () () () ( ) ( )PA B C D PA PB PC PD PAВ PAC
() ()() () ( )( )PAD PBC PBD PCD PABC PABD
()()( )PACD PBCD PABCD
. (1.8)
Формула (1.8) и ей подобные (для большего числа событий) используются редко. На практике предпочитают объединять события в
пары и для каждой из них применять выражение (1.6).
1.2.4. Формула полной вероятности. Теорема Байеса
Предположим теперь, что событие В может осуществиться с одним
и только одним из
n несовместимых событий
называть их гипотезами. Причина использования этого термина будет
ясна из дальнейшего изложения. Нетрудно заметить, что событие
представляет собой сумму событий
В,
H
H
1
2
эти события также несовместимы. Тогда по формулам (1.7) и (1.2)
имеем
nn n
() ( ) ( ) ()
PB P H B PH B PH P B
kkkH
11 1
kk k
H
, ...,
,
, ...,
HH
1
2
. Очевидно, что
H В
п
k
. Будем
п
В
. (1.9)
12
Таким образом, при сделанных предположениях вероятность собы-
В
В
тия
В равна сумме вероятностей гипотез, умноженных на условные
вероятности этого события при условии осуществления соответствующей гипотезы. Выражение (1.9) носит название формулы
вероятности
. Подчеркнем, что формула (1.9) не определяет какую-то
полной
особую вероятность, отличающуюся по своей природе от той, которая
рассматривалась в разделе 1.1.2. По этой формуле вычисляется вероятность события при указанных выше условиях.
Классическая вероятность основывается на понятии пространства
элементарных случайных событий, которое, как уже отмечалось в разделе 1.1.2, определяется в контексте конкретных
обстоятельств. Следовательно, при изменении последних она также может меняться.
Вероятности гипотез, фигурирующие в (1.9), считаются заданными
изначально исходя из рассматриваемой ситуации. Будем называть их
априорными вероятностями. Пусть событие В произошло. При этом
имеющаяся ситуация, вообще говоря, изменилась, поскольку была получена новая достоверная информация. Будем называть условные вероятности гипотез
при условии, что осуществилось событие В,
H
i
апостериорными вероятностями. Теорема Байеса, названая так в
честь ее автора Томаса Байеса (1702–1761), утверждает связь между
априорными и апостериорными вероятностями. В выражениях (1.2) и
(1.2а) в качестве события
A возьмем одну из гипотез
и приравняем
H
i
правые части этих выражений:
Выразив отсюда
PH
()
Р H
()
Bi
PBP H PH P B
Bi iH
, с использованием формулы (1.9) получаем
i
() () () ()
PH P В PH P В
iH iH
ii
()
PB
n
PH P
1
k
. (1.10)
i
. (1.11)
() ()
kH
k
() ( ) ( ) ()
Выражение (1.11) представляет собой утверждение теоремы Байеса.
13
Контрольные вопросы к разделу 1.2
1. Что называется произведением и суммой двух случайных со-
бытий?
2.
Имеется два случайных события А и В, как относятся вероятно-
()PAB
сти
Может ли безусловная вероятность события быть больше его
3.
условной вероятности?
4.
Могут ли несовместимые события быть независимыми?
5.
Допускают ли теоремы умножения и сложения вероятностей
обобщения на любое конечное число событий?
6. Пусть С – сумма двух событий А и В. В первом случае они совместимые, а во втором – нет. В каком из них вероятность события С больше? Может ли вероятность события С быть одинаковой в обоих случаях?
7.
Чему равны вероятности произведения и суммы невозможного
и достоверного событий?
8.
При бросании игральной кости рассматриваются два достовер-
ных события «выпадает целое число, не меньшее единицы» и «выпадает целое положительное число, меньшее семи». Вычислить вероятность их суммы.
9.
Что называется полной вероятностью случайного события?
10.
Может ли полная вероятность быть равной единице?
11.
Известно, что вероятности гипотез не равны нулю. Может ли
при этом полная вероятность события быть равной нулю?
12.
Что утверждает теорема Байеса на качественном уровне?
13.
Применима ли теорема Байеса, если полная вероятность собы-
тия равна нулю? А если она равна единице?
14.
Априорная вероятность некоторой гипотезы равна нулю. Мо-
жет ли быть отличной от нуля ее апостериорная вероятность?
и
()PA B
?
1.3. Вероятность появления событий
в последовательности опытов
1.3.1. Схема испытаний Бернулли
Рассмотрим последовательность одинаковых опытов, в каждом из
которых некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р, независящей от результатов предшествующих или после-
14
дующих опытов. Такой тип испытаний называется схемой Бернулли,
x
по имени впервые исследовавшего его Якоба Бернулли. Предположим,
что произведено n опытов. В схеме Бернулли случайным событием
считается последовательность длины n, членами которой являются
факты появления и непоявления события А. Легко подсчитать, что в
этом случае полное число возможных событий равно
n
2
.
Определим вероятность этих событий. Вероятности наступления и
ненаступления события А в испытании с любым номером k равны соответственно р и q, при этом q = 1 – р. Результаты опытов с различными номерами для схемы Бернулли независимы. Поэтому согласно
формуле (1.5) вероятность того, что событие А наступит в m определенных опытах (
например, в опытах с номерами
остальных n – m опытах не наступит, равна
зависит от расположения номеров
k
1
,
kk
, ,
2
pq
m
,
k
1
mnm
.
m
, а в
, , )
kk
2
, причем она не
Одна из простейших задач, относящаяся к схеме Бернулли, состоит
в определении вероятности
изойдет ровно m раз,
0 mn
того, что в n оптах событие А про-
()
Pm
n
. Выше было показано, что вероятность
того, что событие А наступит в определенных m опытах, а в остальных
не наступит, есть
pq
. Число различных способов размещения m
mnm
появлений события А и n – m его непоявлений среди n опытов равно
числу сочетаний из n по m. Очевидно, что эти способы составляют
группу несовместимых событий. Тогда, учитывая формулу сложения
вероятностей (1.7), имеем
!
Pm C pq pq
nn
mmnm mnm
()
Выражение (1.12) называется
n
!( )!
mn m
. (1.12)
формулой Бернулли. Так как все
возможные несовместимые между собой исходы испытаний состоят в
появлении события А от нуля до n раз, то ясно, что суммирование вероятностей
равна коэффициенту при
()
Pm
n
В силу этого совокупность вероятностей
ным распределением вероятностей
по m дает единицу. Легко заметить, что вероятность
()
Pm
n
m
в разложении бинома
называют биномиаль-
()
Pm
n
. В следующих трех разделах
()
qpx
n
приводятся теоремы, относящиеся к его предельным случаям.
15
.
1.3.2. Локальная теорема Муавра–Лапласа
x
Утверждение. Вероятность
(1.12), удовлетворяет при
npq P m x
n
n
следующему соотношению:
() exp
11
, определяемая формулой
()
Pm
n
2
2
, (1.13)
2
равномерно для всех m, для которых
()
mnp npq
, (1.14)
находится в каком-либо конечном интервале.
Доказательство. Для представления факториалов воспользуемся
формулой Стирлинга:
! 2 exp( ) exp( )
kkkk
где остаточный показатель
k
удовлетворяет неравенству 1(12 )kk .
k
, (1.15)
k
Заменив в формуле (1.12) все факториалы согласно формуле (1.15),
после преобразований имеем
Pm p q
n
2
1
( ) exp( )
nn n
mn m m n m
mnm
, (1.16)
где
11 1 1
nmnm
,
Из формулы (1.14) следует, что если
ниченном отрезке, то
m и n – m возрастают до бесконечности вместе с п.
nmnm
12
. (1.17)
х остается в каком-либо огра-
Тогда из выражения (1.17) видно, что, каков бы ни был отрезок
axb
мится к нулю при
, величина равномерно относительно х в этом отрезке стре-
n
. Следовательно, множитель
exp( )
равно-
мерно стремится к единице.
16
Введем обозначение
p
p
p
mnm
nn
n
pq
mnm
(1.18)
.
Прологарифмируем (1.18). Используя (1.14), приходим к выражению
ln( ) ( ) ln 1
n
np x npq x
q
np
()ln1
Величины
qnp
nq x npq x
и
nq
при достаточно больших n могут быть
. (1.19)
nq
сделаны сколь угодно малыми, поэтому можно воспользоваться разложением логарифма в ряд Тейлора. Ограничившись двумя первыми
членами, находим
ln 1
ln 1
qqxq
xx O
np np np
ppxp
xx O
nq nq nq
2
11
2
11
2
2
. (1.20)
32
n
. (1.21)
32
n
Подставляя выражение (1.20), (1.21) в (1.19) и используя равенство
1
q
, находим:
ln .
11
n
2
2
xO
n
(1.22)
12
Тогда для всех
сто равномерная относительно
х, содержащихся в любом конечном отрезке, имеет ме-
n сходимость
n
2
11
() exp
Pm x
n
mn m
17
2
. (1.23)
2
Умножим формулу (1.23) на
p
npq
, и учитывая, что
npq
nnpq
()
mn m
232
npq On
приходим к выражению (1.13).
np x npq nq x npq
2
npq
()
Конец доказательства. Детали можно
2
, (1.24)
1
найти, например, в [6].
Заметим, что представление величины
посредством теоремы
()
Pm
n
Муавра–Лапласа действует тем хуже, чем больше вероятность р отличается от половины, т. е. чем меньшие значения р или q приходится
рассматривать.
1.3.3. Интегральная теорема Муавра–Лапласа
Если m есть число наступлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна p, при-
01
чем
n
, то равномерно относительно a и b
имеет место соотношение
mnp
Pa b x dx
npq
b
11
exp
2
a
()ab
2
. (1.25)
2
при
Приведенное утверждение (1.25) носит название
теорема Муавра–Лапласа
. Здесь она дается без доказательства. Дока-
интегральная
зательство можно найти, например, в работе [7].
Рассмотрим несколько задач, решение которых основывается на
интегральной теореме Муавра–Лапласа. Во всех задачах речь идет о
серии из n опытов, проводимых по схеме Бернулли. Вероятности
наступления и ненаступления интересующего события А в отдельном
опыте обозначаются через р
изошло m раз. Отношение m/n называется
бытия А
.
и q соответственно. Пусть событие А про-
частотой появления со-
18
Задача 1. Чему равна вероятность того, что частота появления со-
x
x
x
бытия А отклонится от вероятности р не более чем на ?
Решение. Применяя соотношение (1.25) для больших n, получаем
mnmnpn
Pp P
1121
22
npqpq
nn
pq pq
exp exp
n
pq
22
dx x dx
22
npq
0
. (1.26)
Задача 2. Какое наименьшее число опытов нужно произвести для
того, чтобы с вероятностью, не меньшей , частота появления отклонялась от вероятности р не больше чем на ?
Решение. Запишем условие задачи в виде следующего неравенства,
из которого нужно определить n:
m
Pp
n
. (1.27)
Заменяя левую часть выражения (1.27) согласно уравнению (1.26),
получаем
n
pq
21
2
0
exp
xdx
2
2
. (1.28)
Число n можно найти по таблице значений функции
x
21
exp
2
0
2
tdt
2
. (1.29)
Пусть – наименьшее табличное значение, удовлетворяющее неравенству
Тогда для определения n имеем уравнение
. Обозначим соответствующий ему аргумент через
npq x
19
.
, откуда
22 22
x
, где квадратные скобки означают це-
1pqx n pqx
лую часть числа.
Задача 3. Пусть даны вероятность и число испытаний n. Чему
равно , для которого
m
Pp
n
. (1.30)
Решение. Значение определяется из выражения (1.28) при замене в
нем нестрогого неравенства на равенство. Как и в предыдущей задаче,
используя табличное значение функции (1.29), находим
pq n
.
1.3.4. Теорема Пуассона
Как уже отмечалось выше (см. конец раздела 1.3.2), асимптотическое выражение (1.13) имеет большую погрешность при малых значениях р. В этом случае для оценки
теорему Пуассона.
Утверждение. Пусть в схеме испытаний Бернулли
при этом произведение
остается конечным, тогда
np
m
()
() exp{ }
Pm pn
n
pn
!
m
Доказательство. Проведем следующие преобразования:
!
() (1 )
Pm p p
n
n
!( )!
mn m
целесообразнее применять
()
Pm
n
. (1.31)
mnm
0p
и n ,
nm
1()
(1)( 1) 1
nn n m
!
mn
()
pn pn
!
mn
m
1
n
12 1
11 1
nn n
20
m
pn pn
m
n
pn
1
n
m
m
. (1.32)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]