Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. Учебное пособие
.pdf
нижнего индекса «1»). Математическое ожидание входит в определе-
M
F
M
x
ние центральных моментов. А именно
при
если ()
непрерывная функция, случайная величина
) (g
утверждению (2.18) справа в формуле (2.17) стоит математическое
ожидание случайной величины
2m
называется значение интеграла
()
c
m
Преобразуем выражение (2.17), используя следующую теорему:
x – функция распределения случайной величины и g (x) –
, то имеет место
{} () ( ) ( )
Поскольку полином является непрерывной функцией, то согласно
{} {} ( )
Mg gxdF x
m-м центральным моментом
xM dFx
m
{}
M
. (2.17)
определяется как
. (2.18)
m
. Таким образом,
c
Отметим, что не всякая случайная величина имеет моменты любого
порядка. Некоторые случайные величины их вовсе не имеют. В дальнейшем изложении будут даны условия существования моментов первого и второго порядка, а также приведены примеры распределений,
не обладающих некоторыми моментами. Как правило, отсутствие моментов низших порядков влечет за собой
высоких порядков. Это связано с расходимостью интегралов (2.16) и
(2.17) на бесконечности.
{} {}
MMxM
m
m
. (2.19)
отсутствие моментов более
2.2.2. Математическое ожидание
В предыдущем разделе было определено понятие математического
ожидания, которое является одной из основных характеристик случайной величины. Для дискретной случайной величины оно существует,
p
если ряд
k
сходится абсолютно, см. формулу (2.14). Если же
kk
1
41
случайная величина непрерывна, то ее математическое ожидание су-
x
M
p
p
ществует, если существует интеграл
fxdx
. Таким образом, оно
()
существует не всегда. Например, случайная величина, распределенная
по закону Коши, не имеет математического ожидания. Математическое ожидание можно интерпретировать как некоторый центр, вокруг
которого сосредоточены допустимые значения случайной величины.
Сформулируем свойства математического ожидания в виде следующих теорем.
Теорема 1. Математическое ожидание постоянной равно этой по-
стоянной.
Доказательство. Постоянную С можно рассматривать как дис-
кретную случайную величину, принимающую с вероятностью единица
{} 1
CCC
значение С; поэтому
.
Теорема 2. Математическое ожидание суммы случайных величин
равно сумме их математических ожиданий:
и
{}{}{}MMM
. (2.20)
Доказательство. Рассмотрим случай дискретных случайных вели-
чин. Пусть
, , ,
pp
2
ния величины
,
a
, , ,
aa
1
2
– их вероятности;
n
и
1
Возможные значения величины
Обозначим через
значение
. По определению математического ожидания
b
k
вероятность того, что примет значение
nk
– возможные значения величины и
n
,q
, , ,
qq
2
,
b
, , ,
bb
1
2
– вероятности этих значений.
k
имеют вид
– возможные значе-
k
ab
nk
(k, n = 1, 2, ...).
а
п
1
, а –
,
{}() ()
Mabpabp
n k nk n k nk
nk n k
,1 11
ap bp
nnk k nk
11 11
nk kn
42
. (2.21)
По формуле полной вероятности
p
p
F
p
p
k
1
nk n
p
,
1
n
q
nk k
(см.
раздел 1.2.4), тогда
ap apM
nnk nn
11 1
nk n
bp bqM
knk kk
kn k
11 1
,
(2.22)
.
Доказательство теоремы для дискретных слагаемых завершено.
Для непрерывных случайных величин доказательство проводится аналогично.
Прежде чем перейти к следующей теореме, дадим определение.
Две случайные величины
называются независимыми, если имеет
,
место
{, }{}{ }Px yPxPy
, (2.23)
или в терминах функции распределения
{, } {} {}
xy F xF y
. (2.24)
Теорема 3. Математическое ожидание произведения двух незави-
симых случайных величин равно произведению их математических
ожиданий.
Доказательство как и в предыдущей теореме проводится для дис-
кретных случайных величин. Пусть
значения величины
, , ,
bb
2
– возможные значения величины и
k
и
,
pp
1
2
,
a
aa
1
2
, , ,
n
, , ,
– их вероятности;
вероятности этих значений. Вероятность того, что
ние
, а – значение
а
п
, равна
b
k
. По определению математиче-
q
nk
– возможные
n
,
q
, , ,
qq
1
2
k
примет значе-
b
1
–
,
ского ожидания
43
D
{}
Mabpqabpq
nk nk nk nk
nk n k
,1 11
Доказательство завершено.
Из теорем 1 и 3 легко выводится
тель можно выносить за знак математического ожидания, т. е.
{} {}MC CM
ap bq M M
nn kk
nk
11
следствие: постоянный множи-
.
{} { }
. (2.25)
2.2.3. Дисперсия
Не менее важной характеристикой случайной величины, чем математическое ожидание, является ее второй центральный момент, называемый дисперсией, в дальнейшем обозначается как
характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг
ее математического ожидания (чем больше дисперсия, тем больше
разброс). Согласно формулам (2.18), (2.19)
{} {} {} ( ).
MM xMdFx
22
{}D
. Дисперсия
(2.26)
Таким образом, дисперсия есть математическое ожидание квадрата
уклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Из выражения (2.26), учитывая свойства математического ожидания, легко получить часто используемое на практике выражение для
вычисления дисперсии:
Поскольку дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, она не всегда удобна для использования и особенно для представления результатов. Поэтому разброс значений часто характеризует-
ся величиной
{} { } {} .DM M
{}D
, называемой стандартным отклонением.
2
44
2
(2.27)
Свойства дисперсии можно выразить следующими теоремами.
Теорема 1. Дисперсия постоянной равна нулю.
Доказательство. Согласно теореме 1 для математического ожида-
ния имеет место
{} {} ( ) {0} 0DC M C M C M C C M
2
2
.
Теорема 2. Если С – постоянная, то
Доказательство. Поскольку константу можно вынести за знак ма-
тематического ожидания, имеем
{} {} {}DC M C M C M C CM
Теорема 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин
равна сумме их дисперсий:
и
Доказательство.
{} {} {} {}DM M MM M
Последнее равенство следует из теоремы 3 для математического
ожидания, поскольку
величины. Последний член равен нулю, так как
{} { } 2 {}MM MM MM M
22
22
{} {} 2 {} {}DD MMMM .
{}M
{} {} {} {} {} 0MM M MM M M .
{} {}MC M CD
{}{}{}DDD
2
и
{} {}DC C D
22
2
{}M
2
– независимые случайные
.
.
.
2
Доказательство завершено.
2.2.4. Коэффициенты асимметрии и эксцесса
Коэффициент асимметрии – величина, характеризующая асим-
метрию распределения случайной величины. Пусть задана случайная
величина
, для которой существует третий центральный момент:
45
c
x
()
{} {}
MMM
3
Тогда коэффициент асимметрии задается формулой
3
, а
{}D
– стандартное отклонение.
()
c
M
1
3
{}
3
.
Коэффициент эксцесса (коэффициент островершинности) – мера
остроты пика распределения случайной величины. Коэффициент
эксцесса задается формулой
4
{}MM
– четвертый центральный момент.
c
{} 3
M
2
4
4
, где
M
()
c
4
{}
()
2.2.5. Квантили
(0;1)
Пусть фиксировано число
квантилем уровня α) функции распределения
, такое что
R
Для непрерывной случайной величины (2.28) можно свести к уравнению
()Fx
, решением которого является соответствующий
квантиль. Для непрерывных распределений также справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов (см. раздел 3.3.3) равенство:
(),
Px
().
Px
. Тогда α-квантилем (или
(2.28)
()Fx
называется число
11
22
(2.29)
.Px x
Некоторые квантили имеют особые названия: 0,25-квантиль называется
медианой (иногда обозначается как
лем
если
первым (или нижним) квартилем; 0,5-квантиль называется
Med{ }
), или вторым кварти-
; 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) квартилем;
кратно 0,1, то квантили называются децилями. Отметим, что
вероятности для случайной величины иметь значение, меньшее и
большее медианы, равны. Таким образом, медиана делит случайную
величину пополам, откуда и происходит ее название.
46
2.2.6. Мода
x
x
Мода – это одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины. Для непрерывной случайной величины,
имеющей плотность вероятностей f (x),
мода определяется как любая
точка максимума f (x). Мода также определяется и для распределений,
не имеющих плотности: в частности,
мода дискретной случайной ве-
личины – любое ее значение, имеющее вероятность, равную максимальной вероятности. Иногда под модой понимают точку, где достигается абсолютный максимум плотности вероятности или вероятностей
значений. При этом ее называют
обозначают как
Mod{ }
. Отметим, что эта характеристика распреде-
главным значением моды и обычно
ления используется существенно реже, чем математическое ожидание
или медиана.
Распределения с одной, двумя или большим числом мод называются соответственно
дальными
. В теории вероятностей и математической статистике
унимодальными, бимодальными или мультимо-
наиболее используемыми являются унимодальные распределения. Для
унимодальных распределений, симметричных относительно некоторой
точки
, мода равна
0
и совпадает с медианой и математическим
0
ожиданием, если последнее существует.
Контрольные вопросы к разделу 2.2
1. Как вычисляются начальные моменты случайных величин?
2.
Как вычисляются центральные моменты случайных величин?
Почему, по вашему мнению, они имеют такое название?
3.
Может ли случайная величина иметь центральные моменты, ес-
ли она не имеет математического ожидания?
4.
Как связаны с моментами математическое ожидание и дисперсия?
5.
Какие случайные величины называются независимыми?
Перечислите известные вам свойства математического ожидания.
6.
7.
Имеется две независимых случайных величины и , выполня-
{}{}{}MMM
ется ли для них равенство
8.
Перечислите известные вам свойства дисперсии.
Имеется случайная величина и константа С, выполняется ли
9.
для них равенство
{} {}{}DC DC D
?
47
?
10. Имеются две независимых случайных величины и , выпол-
{} {}{}DDD
няется ли для них равенство
Какое свойство распределения характеризует коэффициент
11.
?
асимметрии? Через какой момент он определяется?
Какое свойство распределения характеризует коэффициент
12.
эксцесса? Через какой момент он определяется?
Что такое квантиль?
13.
14.
Что такое медиана распределения? Каково ее основное свойство?
Является ли мода распределения квантилем?
15.
16.
Может ли распределение иметь более одной моды?
2.3. Некоторые дискретные распределения
2.3.1. Дискретное равномерное распределение
Случайная величина имеет дискретное равномерное распределе-
, если она принимает конечное число значений с равными вероят-
ние
ностями. Например, случайная величина, равная выпавшему числу на
игральной кости, имеет дискретное равномерное распределение со
значениями 1, 2, 3. 4, 5, 6, каждое из которых она принимает с вероятностью 1/6. Часто дискретные распределения представляют в виде
таблицы (ряда) вероятностей (табл. 2.1). Обычно в верхнюю строку
таблицы заносятся значения, которые может принимать случайная величина, в нижнюю – вероятности, с которыми она принимает эти значения.
Таблица 2.1
Пример ряда вероятностей дискретного
равномерного распределения
1 2 3 4 5 6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Общий вид ряда вероятности рассматриваемого типа распределений показан в табл. 2.2.
48
Таблица 2.2
xx
xx
x
xx
F
xx
x
F
Общий вид ряда вероятностей дискретного
равномерного распределения
x
x2 x3
1
1/n 1/n 1/n
… …
… …
xn
1/n
Обращаем внимание на то, что сумма вероятностей в нижней строке таблицы равна единице. Это справедливо для таблицы любого дискретного распределения, поскольку события, состоящие в том, что
случайная величина принимает одно из допустимых значений, составляют полный набор.
Опишем функцию распределения
значение равно нулю. В точке
для табл. 2.2. При
она терпит разрыв, и ее значение
1
1
ее
()Fx
скачком возрастает до величины 1/n. Это значение сохраняется до точки
Далее
, в которой
x
2
()Fx
постоянна до
после которого
функция
x
n
()Fx
вновь терпит разрыв и возрастает до 2/n.
, где происходит очередной разрыв,
3
() 3
xn
()Fx
. Так продолжается до точки
остается равной единице. Таким образом, в дан-
, при
n
ном случае
() 0, ,
Fx x x
() /, ,
xknxxx
kn
() 1, .
Fx x x
1
1
n
(2.30)
Очевидно, что математическое ожидание дискретной равномерно
распределенной случайной величины равно среднему арифметическому принимаемых ею значений.
2.3.2. Биномиальное распределение
Биномиальное распределение уже упоминалось ранее в связи со
схемой испытаний Бернулли (см. раздел 1.3.1). Такое распределение
имеет число успешных опытов в последовательности из n независимых
экспериментов со случайным исходом, таких что вероятность успеха в
49
каждом из них постоянна и равна p. Соответствующие вероятности
F
равны, см. (1.12):
!
()
Pm C pq pq
nn
mmnm mnm
n
()!!
nmm
. (2.31)
Тот факт, что дискретная случайная величина имеет биномиальное
распределение, обычно обозначается как Bin(n). Функция распределения вероятности для целочисленных значений определяется следующим образом:
0, 0, 1, 2, ,
1
m
() , 1, ,
mpqmn
()!!
nkk
0
k
1, 1, 2 , .
Математическое ожидание равно
n
{}
Mm pq
m
n
Обозначим
nmm
()!(1)!
1
m
1km
, соответственно
n
0
m
!
knk
mn n
. Действительно,
np
!
n
()!!
nmm
!
n
mnm
mnm
pq
(2.32)
. (2.33)
1mk
. Перепишем (2.33) сле-
дующим образом:
1
n
{}
Mpq
0
k
1
n
np p q
(1) !!
0
k
!
n
(1) !!
nkk
(1)!
n
nkk
1( 1)
knk
(1)
kn k
. (2.34)
Замечаем, что в правой части уравнения (2.34) стоит сумма вероятностей значений случайной величины Bin(n-1), которая равна единице.
Дисперсия биномиально распределенной случайной величины равна
. Доказательство этого можно найти в [7].
npq
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]