Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. Учебное пособие
.pdf
задача состоит в том, чтобы определить, насколько хорошо согласует-
ся та или иная гипотеза о распределении случайной величины с полученными экспериментальными данными. Эта задача тесно связана с
задачей определения доверительных областей для плотности или
функции распределения. Однако она имеет и некоторые особенности.
Дело в том, что по той же выборке
, по которой проверяется гипотеза о
распределении, обычно оцениваются и некоторые параметры этого
распределения. Так, например, проверяя гипотезу о нормальном распределении, по той же выборке обычно оценивают математическое
ожидание и ковариационную матрицу (дисперсию в случае одномерного распределения) случайной величины. Вследствие этого гипотетическое распределение оказывается само случайным – функцией случайных результатов опытов. Это и отличает задачу проверки гипотез о
распределении от задачи определения доверительных областей для
распределений. И только в отдельных частных случаях может возникнуть задача проверки гипотезы о том, что случайная величина подчинена вполне определенному закону распределения, не зависящему от
неизвестных параметров.
Наиболее удобным и универсальным критерием
2
критерий χ
Пирсона. Он совершенно не зависит ни от распределения
согласия является
случайной величины, ни от ее размерности. Предположим, что область
возможных значений случайной величины разбита на m интервалов.
Пусть
,,
1
лучаемые в результате n опытов,
– случайные частоты попадания в эти интервалы, по-
m
ˆˆ
PP – вероятности попадания в
,,
1
m
те же интервалы, вычисленные по гипотетическому распределению.
В общем случае эти вероятности являются функциями оценок неизвестных параметров, получаемых по тем же экспериментальным данным, и потому тоже являются случайными величинами. Предположим,
что оценки неизвестных параметров гипотетического распределения
вычисляются по той же выборке, что и частоты. Тогда
ˆˆ
PP будут некоторыми функциями частот
,,
1
m
,,
1
вероятности
. Для оценки
m
отклонения экспериментальных данных от гипотетического распределения возьмем величину
m
Zn
()
i
1
2
ˆ
P
ii
ˆ
P
i
. (3.33)
91
Лемма (К. Пирсон). Если для вычисления вероятностей
x
x
Z
Zx
x
Z
x
ˆˆ
PP
,,
1
m
применяется асимптотически эффективная и асимптотически нормальная оценка неизвестного k-мерного параметра гипотетического
распределения по группированной выборке, то величина Z, определяе-
мая формулой (3.33), в пределе при
1mk
степенями свободы.
n
имеет χ2 -распределение с
Выберем достаточно малую вероятность р, чтобы событие с такой
вероятностью можно было считать практически невозможным, и определим
из уравнения
p
() ()
PZ x f xdx p
p
2
x
p
. (3.34)
Здесь через
пределения χ
2
опытов, превосходит или равна
обозначена функция плотности вероятности рас-
()fx
2
. Если реализация величины Z, полученная в результате
, то гипотетическое распределение
p
считают не согласующимся с экспериментальными данными, так как
при этом распределении практически невозможно получить при одной
выборке
x . Вероятность такого события при большом числе опы-
p
тов n приближенно равна р, т. е. пренебрежимо мала. В этом случае говорят, что имеет место значимое отклонение экспериментальных данных от гипотетического распределения. Если же
, то считают, что
p
гипотетическое распределение не противоречит экспериментальным
данным, согласуется с ними. Величина
называется 100р-процентным
p
уровнем значимости отклонения выборки от гипотетического распределения. В приложениях обычно пользуются 5-, 1-, 0,1-процентными уровнями значимости, в зависимости от характера задачи.
Если
ленной нормально
130lmk
, то величину
21,12,Nl
можно считать распреде-
и для вычисления величины
p
воспользоваться формулой
PZ x x l p
() 221
1
pp
2
. (3.35)
92
3.4.2. Критерий проверки
F
F
F
гипотез Колмогорова–Смирнова
Кроме метода χ2 можно применять другие методы проверки гипотез о распределениях. Смирновым Н.В. (1900–1966) предложены критерии согласия, основанные на мерах расхождения, зависящих от раз-
ности ˆ() ()
xFx – отклонения оценки
ˆ
x
функции распределения
от гипотетической функции распределения
рода относится критерий Колмогорова, основанный на предельном
ˆ
распределении величины
чае полностью заданной гипотетической функции распределения F(x)
скалярной случайной величины это предельное распределение стре-
мится к
ясь таблицей функции Колмогорова, можно проверять гипотезы об одномерных распределениях совершенно так же, как при применении
критерия χ
таблице 100р-процентный уровень значимости
уравнением ()1()
там опытов значение U меньше критического значения
считать, что результаты опытов не противоречат гипотезе о том, что
функция распределения наблюдаемой величины
тивном случае эту гипотезу следует отвергнуть.
на найденном им предельном распределении величины
сит от F(х). Однако теория проверки гипотез, основанная на таких критериях, пока еще очень слабо разработана. Поэтому критерий χ
ется пока что единственным практически приемлемым критерием для
проверки гипотез о распределениях, заданных лишь с точностью до
неизвестных, подлежащих оцениванию по той же выборке параметров,
и гипотез о многомерных распределениях.
функции Колмлгорова
2
. Задав достаточно малую вероятность р, можно найти по
PU u K u p . Если полученное по результа-
Можно также пользоваться критерием Смирнова, основанным
ˆ
() ()nM Fx Fx , которое в случае скалярной величины
pp
2
max ( ) ( )U n Fx Fx при
() (1)exp(2 )
Kx nx
. Пользу-
n
x . К критериям такого
n
n
u , определяемый
p
есть F(x). В про-
. В слу-
22
u , то можно
p
не зави-
2
оста-
93
3.4.3. Проверка гипотез о совпадении распределений
N
P
К другому типу гипотез, проверяемых с помощью критерия χ2, относятся гипотезы о совпадении распределений в нескольких сериях
опытов, так называемые
ских данных
. Предположим, что в результате N независимых последо-
вательностей опытов, содержащих
частоты попадания наблюдаемой величины в интервалы
,1,
im
i
, на которые разбита область ее возможных значений.
Требуется проверить гипотезу о совпадении распределений величины
(или N различных наблюдаемых величин) в этих N последовательно-
стях опытов.
Пусть
– случайная частота попадания наблюдаемой величины в
ij
i-й интервал в j-й последовательности опытов,
дания в i-й интервал
мых величин с χ
2
-распределениями имеет также χ2-распределение с
суммарным числом степеней свободы, то случайная величина
гипотезы об однородности статистиче-
,,
nn
1
(1, ; 1, )imjN
наблюдений, получены
– вероятность попа-
P
i
. Так как сумма независи-
Hn
при данных вероятностях
(1)Nm
с
степенями свободы, если распределение наблюдаемой ве-
Nm
ji
имеет асимптотическое χ2-распределение
i
()
j
11
ij i
P
i
2
P
(3.36)
личины одно и то же во всех сериях опытов. Это дает возможность
проверять гипотезу о том, что во всех N последовательностях опытов
наблюдаемая величина имеет одно и то же распределение, для которого вероятности попадания в интервалы имеют данные значения
.
P
i
Если гипотетическое распределение зависит от неизвестного
k-мерного параметра , который оценивается по тем же результатам
опытов, то можно пользоваться следующей
теоремой: если пользо-
ваться асимптотически эффективными и асимптотически нормальными оценками параметра по объединенной группированной выборке,
то случайная величина, полученная из формулы (3.36) путем замены
94
истинных вероятностей
P
²-распределение с
χ
(1)Nm k
их оценками, имеет асимптотическое
i
степенями свободы. Эта теорема дает
возможность проверять гипотезы о совпадении распределений в
нескольких сериях опытов с одновременной оценкой их параметров.
За неизвестные параметры распределения в таких задачах можно принять,
в частности, вероятности
В этом случае
1km
,,
PP
11
, а за оценки вероятностей
(поскольку
m
1
PP
1mP
m
1
следует принять
P
i
).
соответствующие частоты, вычисленные по объединенной выборке:
N
1
ˆ
Pn
ijij
n
1
j
m
ˆ
,
i
1
P
. (3.37)
i
1
Величина Н, определяемая формулой (3.36), имеет в этом случае
(1) 1(1)(1)lNm m N m
степеней свободы. Этим критерием
можно, в частности, пользоваться для проверки гипотез о совпадении
дискретных распределений.
2m
В частном случае при
отсюда вытекает критерий для про-
верки гипотез о совпадении вероятностей события в нескольких сериях
опытов. В этом случае формулы (3.37) и (3.36) записываются соответственно в виде
N
ˆˆ
PP n
1
1
n
j
1
jj
ˆ
,
ˆ
1QP ; (3.38)
N
Hn
NN
nn
jj
jj
11
j
1
j
ˆˆ ˆ
PP P
()() ()
jj j
ˆˆ ˆ
P
ˆ
P
()
j
ˆˆ
P
22 2
Эта величина имеет асимптотическое χ
2
(1 )
j
Q
QPQ
2
-распределение с N – 1 сте-
2
ˆ
Q
. (3.39)
ˆ
пенями свободы. С ее помощью можно проверять гипотезы о совпаде-
95
нии вероятностей интересующего нас события в нескольких сериях
F
F
опытов.
В случае скалярной наблюдаемой величины с непрерывной
функцией распределения для проверки гипотезы о совпадении распределений в двух выборках можно пользоваться критерием Смирнова.
Пусть
ˆ
1
()
емой величины в двух сериях опытов, состоящих из
x и
ˆ
x – выборочные функции распределения наблюда-
()
2
и
n
1
опытов
n
2
соответственно. Смирнов показал, что если функция распределения
величины непрерывна, то величина
nn
UFxFx
12
nn
12
ˆˆ
max ( ) ( )
12
(3.40)
имеет то же предельное распределение Колмогорова при
что и каждая из величин
ˆ
max ( ) ( )Un FxFx. Это дает возможность проверять гипотезу о
22
11
ˆ
max ( ) ( )Un FxFx
,nn
12
и
совпадении функций распределения в двух сериях опытов с помощью
функции распределения Колмогорова.
Контрольные вопросы к разделу 3.4
1. Расскажите все, что вам известно про распределение χ².
Как связано распределение χ
2.
Стьюдента?
3.
Какова роль распределения χ
гипотез?
В чем заключается гипотеза о распределении?
4.
Сформулируйте гипотезу об однородности экспериментальных
5.
данных.
Назовите основные этапы алгоритма проверки статистических
6.
гипотез.
Объясните, что такое уровень значимости отклонения выборки
7.
от гипотетического распределения.
2
с распределениями Фишера и
2
в проверке статистических
,
96
8. Каким образом определяется уровень значимости?
В чем отличие критерия χ
9.
2
для проверки гипотез от критерия
Колмлгорова–Смирнова?
Можно ли пользоваться критерием χ
10.
2
для проверки гипотезы о
распределении, в случае если предполагаемое распределение известно
с точностью до параметров? Каким образом при этом оцениваются неизвестные параметры?
Проверяется гипотеза о принадлежности выборки нормальному
11.
распределению. В первом случае распределение известно точно, во
втором случае не известен его первый начальный момент. В каком
случае 1 %-й уровень значимости будет выше?
97
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Монти_Холла.
2. Ноздрев В.Ф. Курс статистической физики: учебное пособие / В.Ф. Ноз-
древ, А.А. Сенкевич. – М.: Высшая школа, 1966. – 288 с.
3. Богомолов А.С. Античная философия: учебник. – 2-е издание. – М.:
Высшая школа, 2006. – 390 с.
4. Аристотель. Сочинения. В 4 т. (Серия «Философское наследие»). Т. 3 /
ред. и вступ. ст. И.Д. Рожанского. – М.: Наука, 1981. – 616 с.
5. Бернштейн С.Н. Теория вероятностей. – М., Л.: Гос. издательство,
1927. – 364 с.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб.
пособие для вузов. – 9-е изд., стереот. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.
7. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: учебник. – 8-е изд., исп. и доп.
Б.В. Гнеденко. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 448 с.
8. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с реше-
ниями / пер. с англ.; под ред. Ю.В. Линника. – 3-е изд. – М.: Наука. 1985. –
88 с.
9. Арсенин В.Я. Математическая физика: основные уравнения и специальные функции. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1984. – 384 с.
10. Захаров В.К. Теория вероятностей / В.К. Захаров, Б.А. Севастьянов,
В.П. Чистяков. – М.: Наука, 1983.
11. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1987.
12 Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
Наука, 1979.
98
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Вычисление вероятностей случайных событий ..................................... 3
1.1. Основные понятия ....................................................................................... 3
1.1.1. Случайные события ........................................................................... 3
1.1.2. Классическое определение вероятности ......................................... 5
Контрольные вопросы к разделу 1.1 ................................................................ 7
1.2. Вероятности комбинаций случайных событий ........................................ 7
1.2.1. Произведение событий. Теорема умножение вероятностей .......... 7
1.2.2. Независимые события ....................................................................... 9
1.2.3. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей ....................... 11
1.2.4. Формула полной вероятности. Теорема Байеса ............................ 12
Контрольные вопросы к разделу 1.2 .............................................................. 14
1.3. Вероятность появления событий в последовательности
1.3.1. Схема испытаний Бернулли............................................................ 14
1.3.2. Локальная теорема Муавра–Лапласа ............................................. 16
1.3.3. Интегральная теорема Муавра–Лапласа ....................................... 18
1.3.4. Теорема Пуассона ............................................................................ 20
1.3.5. Обобщение схемы Бернулли .......................................................... 22
Контрольные вопросы к разделу 1.3 .............................................................. 22
1.4. Вычисление вероятностей в рамках геометрического подхода ............ 23
Контрольные вопросы к разделу 1.4 .............................................................. 26
1.5. Аксиоматическая теория вероятности .................................................... 26
1.5.1. Вероятностное пространство .......................................................... 26
1.5.2. Дедукция свойств вероятности ...................................................... 28
Контрольные вопросы к разделу 1.5 .............................................................. 29
1.6. Статистический подход к
Контрольные вопросы к разделу 1.6 .............................................................. 32
определению вероятности ............................ 30
опытов .......... 14
99
Глава 2. Случайные величины .............................................................................. 33
2.1. Определение и способы описания ........................................................... 33
2.1.1. Определение случайной величины на качественном
уровне ............................................................................................... 33
2.1.2. Функция распределения .................................................................. 34
2.1.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Функция плотности ......................................................................... 37
Контрольные вопросы к разделу 2.1 .............................................................. 39
2.2. Числовые характеристики случайных величин ...................................... 40
2.2.1. Статистические моменты ................................................................ 40
2.2.2. Математическое ожидание ............................................................. 41
2.2.3. Дисперсия ......................................................................................... 44
2.2.4. Коэффициенты асимметрии и эксцесса ......................................... 45
2.2.5. Квантили ........................................................................................... 46
2.2.6. Мода .................................................................................................. 47
Контрольные вопросы к разделу
2.2 .............................................................. 47
2.3. Некоторые дискретные распределения ................................................... 48
2.3.1. Дискретное равномерное распределение ...................................... 48
2.3.2. Биномиальное распределение ........................................................ 49
2.3.3. Геометрическое распределение ...................................................... 51
2.3.4. Распределение Пуассона ................................................................. 54
2.3.5. Гипергеометрическое распределение ............................................ 56
Контрольные вопросы к разделу 2.3 .............................................................. 56
2.4. Некоторые непрерывные распределения ................................................ 57
2.4.1. Непрерывное равномерное распределение ................................... 57
2.4.2. Экспоненциальное распределение ................................................. 59
2.4.3. Распределение Парето ..................................................................... 60
2.4.4. Нормальное распределение (распределение Гаусса) ................... 62
Контрольные вопросы к разделу 2.4 .............................................................. 65
2.5. Асимптотическое поведение случайных величин .................................. 65
2.5.1. Неравенство Чебышёва ................................................................... 66
2.5.2. Закон
больших чисел ....................................................................... 67
2.5.3. Предельные теоремы теории вероятностей .................................. 69
Контрольные вопросы к разделу 2.5 .............................................................. 70
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]