Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. Учебное пособие
.pdf
Пусть m фиксировано. Возьмем произвольное
B
p
x
p
()
выбрать число
B
столь большим, чтобы при
0
. Тогда можно
aB
было
m
a
exp
!22
m
Рассмотрим сначала те n, для которых
1
a
. (1.33)
nB
. Из уравнения (1.32)
следует:
m
()
pn pn
() 1
Pm
n
!
mn
nm
. (1.34)
Заметим, что равенство в уравнении (1.32) выполняется только при
0m
. Тогда, учитывая, что
При
2nm
Pm pn
n
из выражений (1.33) и (1.35) следует, что
1expxx
при
m
()
() exp
pn n m
!
mn
01
, имеем
. (1.35)
() 2
Pm
n
зюмируя все сказанное после формулы (1.32), получаем
m
()
() exp
Pm pn
n
pn
!22
m
Далее рассмотрим те n, для которых
nB
. (1.36)
. Для них имеет место
. Ре-
12 1
11 1
nn n
lim 1
n
pn
1
n
m
m
. (1.37)
Используя равенство (1.37), а также известное соотношение
n
a
lim 1 exp( )
n
n
, находим, что
a
21
m
p
p
А
А
A
p
А
А
A
x
p
pn
lim exp 0
Pm pn
n
n
!
m
(1.38)
как при
nB
, так и при
nB
. Конец доказательства.
1.3.5. Обобщение схемы Бернулли
Формулу Бернулли (1.12) можно обобщить. Предположим, что
проводится серия из n одинаковых независимых опытов, в каждом из
которых может произойти одно и только одно из k событий
2
, ...,
. Обозначим вероятность появления события
A
k
Тогда вероятность того, что произойдет m
,...,
2
событий
m
k
(, ,, )
Pm m m p p p
nk
12
, равна
k
!
n
!! !
mm m
12
событий
1
mm
12
12
k
через
i
,
событий
m
1
2
m
k
. (1.39)
k
1
i
Нетрудно видеть, что выражение (1.39) является коэффициентом
mm
при произведении
12
xx
12
В связи с этим вероятности (1.39) называют
делением
.
m
k
в полиноме
k
()
xpx px
11 2 2
kk
n
полиномиальным распре-
Контрольные вопросы к разделу 1.3
1. Что называется схемой испытаний Бернулли?
2.
Приведите примеры испытаний, проводимых по схеме Бернулли.
3.
Сколько исходов имеет каждый опыт в схеме Бернулли?
Приведите примеры случайных событий для схемы Бернулли.
4.
5.
Что можно сказать о пространстве элементарных случайных
событий, связанном со схемой испытаний Бернулли?
6.
При бросании монеты герб выпал пять раз подряд. Какова веро-
ятность того, что он выпадет при следующем броске?
7.
Сколько случайных событий имеется для последовательностей
из двух и из трех независимых бросков монеты?
,
.
.
22
8. Проведены n независимых бросков монеты. При этом герб ни
g
разу не выпал. Какова вероятность такого события?
9.
Что утверждает локальная теорема Муавра–Лапласа?
10.
Каково основное условие в формулировках локальной и инте-
гральной теорем Муавра–Лапласа?
11.
Следует ли интегральная теорема Муавра–Лапласа из локальной?
12.
Приведите примеры прикладных задач, для решения которых
применяется теорема Пуассона.
13.
Как связаны локальная теорема Муавра–Лапласа и теорема
Пуассона?
14.
В чем, по вашему мнению, состоит значение теорем Муавра–
Лапласа?
1.4. Вычисление вероятностей
в рамках геометрического подхода
Классическое определение вероятности имеет ограничение, о котором ранее не упоминалось. Пространство элементарных случайных
событий может иметь лишь конечную размерность. Поэтому оно не
может применяться для решения задач, описываемых моделями, оперирующими с бесконечными величинами. Для их решения был разработан особый подход, получивший название геометрический. В его
основе лежит следующее
некоторая область G, включающая другую область g. В область G
наудачу бросается точка. Это означает, что попадание брошенной точки в любое место области G равновозможно. Ставится вопрос: чему
равна вероятность попадания точки в область g? Учитывая равновозможность результатов бросания, полагают, что вероятность попасть
какую-либо часть области G пропорциональна площади этой части и
не зависит от ее расположения и формы. Поскольку вероятность попадания в саму область G равна единице, то коэффициент пропорциональности должен быть равен ее площади
ность попадания точки в область g равна /
обозначена площадь области g. В зависимости от условий задачи вме-
сто плоских фигур могут рассматриваться отрезки, объемные тела, области пространств более высокой размерности. Тогда вероятность будет определяться через отношение длин, объемов и т. д.
рассуждение. Пусть на плоскости имеется
. Таким образом, вероят-
S
G
SS, где через gS
G
в
23
В следующих примерах показаны возможности геометрического
Р
подхода.
Пример 1.1. Коэффициенты р и q квадратного уравнения
2
0xpxq
выбираются наудачу в промежутке от нуля до единицы.
Чему равна вероятность того, что корни уравнения будут действительными числами?
Чтобы корни квадратного уравнения были действительными числами, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотри-
цательным. Это, в свою очередь, означает
2
выполнение неравенства
4pq
. В пря-
моугольных декартовых координатах множество всех возможных пар чисел (р, q) задается точками квадрата с вершинами
(0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0). Его и следует
взять в качестве области G. Область g, соответствующая интересующему событию
(наличию вещественных корней), лежит
ис. 1.1. К задаче определе-
ния вероятности появления
вещественных корней
под параболой
площадь получается интегрированием этой
2
4qp
(рис. 1.1). Ее пло-
функции на интервале от 0 до 1. Эта площадь равна 1/12. Поскольку площадь квадрата (области G) равна 1, искомая вероятность будет 1/12.
Пример 1.2 (Задача Бюффона). Плоскость разграфлена парал-
лельными прямыми, расстояние между которыми равно 2а. На плос-
кость наудачу бросается игла длиной 2l (l < а). Найти вероятность то-
го, что игла пересечет какую-нибудь прямую (из условия очевидно,
что такая прямая может быть только одна). Под словом «наудачу»
здесь подразумевается, что все положения упавшей на
плоскость иглы
равновозможны.
Обозначим через х расстояние от центра иглы до ближайшей пря-
мой и через – угол, составленный иглой с этой прямой (рис. 1.2, а).
Величины х и полностью определяют положение иглы. Таким образом, область G для этой задачи представляет собой прямоугольник со
сторонами а и . Из рис
мой необходимо и достаточно, чтобы
. 1.2, а видно, что для пересечения иглы с пря-
sinxl
. На рис. 1.2, б область g,
24
определяемая этим условием, заштрихована. Искомая вероятность
равна
12
Pld
sin
aa
0
l
. (1.40)
а б
Рис. 1.2. К решению задачи Буффона
Отметим, что, зная вероятность в левой части формулы (1.40), мож-
но определить число . Оценка этой вероятности возможна, например, в
рамках статистического подхода, изложенного далее в разделе 1.6.
Другие примеры применения геометрического подхода можно
найти в работе [8].
Часто рассуждение, приведенное в начале настоящего раздела, рассматривают как обобщение «классической» вероятности и называют
его «геометрическим определением вероятности». Действительно, у
этого мнения есть основания, однако полностью согласиться с ним
нельзя. Во-первых, здесь недостаточно проработан важный этап установления соответствия между областями и точками, с одной стороны,
и случайными событиями – с другой. В частности, в геометрическом
подходе возникают странные события, которые могут произойти, но
при
этом их вероятность равна нулю. Например, площадь кривой на
плоскости равна нулю, тем не менее точка на нее попасть может. Вовторых, понятие вероятности теряет наглядный смысл, который придается ей классическим определением. В самом деле, число точек в любой
области бесконечно, поэтому «геометрическую» вероятность нельзя
25
интерпретировать как отношение числа благоприятствующих событий
к полному числу элементарных событий. У геометрического подхода
есть и другие недостатки, которые не позволяют рассматривать его как
логически непротиворечивое, завершенное определение вероятности.
Контрольные вопросы к разделу 1.4
1. В чем преимущество геометрического подхода (по сравнению с
«классическим») при решении вероятностных задач?
2.
Объясните сущность геометрического подхода.
3.
Может ли быть решена задача Буффона в рамках классического
определения вероятности?
4.
Может ли геометрический подход применяться для решения ве-
роятностных задач, когда число исходов рассматриваемого опыта конечно? А если оно бесконечно, но счетно?
5.
Всегда ли вероятность невозможного события при «геометриче-
ском» рассмотрении равна нулю?
Назовите недостатки геометрического подхода.
6.
7.
Влияют ли недостатки геометрического подхода на точность по-
лученного с его помощью решения вероятностных задач?
1.5. Аксиоматическая теория вероятности
1.5.1. Вероятностное пространство
Классическое определение вероятности не является в достаточной
мере математически строгим, чтобы на его основе развивать последовательную теорию. Потребность в такой теории послужила толчком
для развития так называемого аксиоматического подхода к понятию
вероятности, который в первую очередь связан с именем советского
математика Андрея Николаевича Колмогорова (1903–1987).
Рассмотрим абстрактное множество . Пусть
стема его подмножеств, удовлетворяющая следующим свойствам:
1)
2) если
принадлежащих
3) из того, что
,
A
, ( – пустое множество);
, то
A
, здесь A – подмножество элементов , не
А;
A
и
B
, следует, что
26
AB
– некоторая си-
и
AB
.
Заметим, что в последнем условии достаточно требовать выполне-
A
AB
A
ния лишь одного из соотношений, второе при этом выполняется автоматически. Будем рассматривать
как алгебру, операциями в которой
являются пересечение и объединение подмножеств. Если в дополнение
к перечисленным требованиям выполняется еще одно:
4) если
ется
σ-алгеброй, или борелевским полем. Примером σ-алгебры являет-
A
(при n = 1, 2, ...)
n
A
и
n
n
1
n
A
1
, то
n
явля-
ся совокупность всех подмножеств любого множества.
Если задано множество
множеств, то говорят, что задано
и какая-нибудь σ-алгебра
измеримое пространство ,
его под-
.
Для того чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу,
надо сопоставить ей измеримое пространство
, . При этом бу-
дет являться множеством элементарных случайных событий. Элементы
будут случайными событиями. Все остальные подмножества
множества
нию подмножеств
, не входящие в
B поставим в соответствие сумму событий
А + В, а пересечению
ответствующее разности подмножеств
ности подмножеству
ное событию
А. Множеству сопоставим достоверное событие, а
невозможное. Таким образом, если
несовместимые. Если подмножества
, событиями не являются. Объедине-
– произведение событий АВ. Событие со-
\AB
обозначим А – В, в част-
\AA
соответствует событие, противополож-
AB
, то события А и В –
,AB связаны отношением
–
B , то для соответствующих событий это означает, что А благо-
приятствует В.
Каждому случайному событию А, отождествляемому с подмноже-
A
ством
роятностью. (Более строго: вероятность есть функция
, поставим в соответствие число Р(А), называемое его ве-
:PR
). Ве-
роятность определяется следующими аксиомами.
Аксиома 1.
Аксиома 2.
() 0,PA A
()1P
.
.
Аксиома 3. (Расширенная аксиома сложения). Если подмноже-
ства
A
n
, n = 1, 2, ... таковы, что ,
AA i j
(т. е. события,
ij
27
соответствующие этим множествам, попарно несовместимые), то
A
A
A
B
PA PA
n
1
()
nn
1
n
.
Аксиома 3 эквивалентна совокупности двух аксиом.
Аксиома 3.1 (Аксиома сложения). Если
N – конечное число) таковы, что ,
N
()
PA
n
1
.
n
AA i j , то
ij
A
, (n = 1, 2, ..., N, где
n
PA
N
n
1
n
Аксиома 3.2 (Аксиома непрерывности). Пусть последователь-
ность множеств
() ()
PA PA
n
Тройка
при
,,P называется вероятностным пространством.
такова, что
n
n
.
и
A
1nn
AA
n
n
1
, тогда
1.5.2. Дедукция свойств вероятности
Поскольку вероятность полностью определяется приведенными
выше аксиомами, из них должны выводиться все ее свойства. Приведем выводы некоторых из них.
1. Вероятность невозможного события равна нулю. Очевидно, что
для доказательства этого нужно проверить равенство Р() = 0. Но оно
следует из известного свойства множеств
2. Для любого события А вероятность противоположного ему со-
бытия равна единице минус вероятность события А. Нужно показать,
что имеет место
() 1 ()PA PA . Но это так, поскольку AA
и аксиом 2 и 3.
и
AA
.
3. Если событие А влечет за собой событие В (т. е. А благоприят-
ствует В), то вероятность последнего не меньше вероятности А. На
языке подмножеств это означает, что если
казывается это следующим образом:
28
B , то
/()
ABAA B A , отку-
() ()PA PB
. До-
да, используя аксиому сложения, имеем
В
доказываемое положение следует из аксиомы 1.
4. Каково бы ни было случайное событие А, его вероятность
не превосходит единицы. Это следует из предыдущего свойства и аксиомы 2.
5. Теорема сложения вероятностей двух случайных событий А и В
(см. раздел 1.2.3). Нужно доказать равенство
()РА В
(/ )ABAB
() \( )РА РВ А В . Так как
. Заметим, что
, то по аксиоме сложения получаем
/( )BAB, по той же аксиоме
АВ ВАВ и
)\(( () )РВ РА Р В W А , и
() ()() РА В РА РВ
(/ )ABA BAB
() ( ) \( )РВ РА В Р В А В
. Тогда, поскольку
( ) \
()AB
()РА В
, откуда
ство завершено.
Отметим, что система аксиом Колмогорова непротиворечива. Это
означает, что существуют математические объекты, которые удовлетворяют всем входящим в нее аксиомам, в то же время система аксиом
Колмогорова неполна. Одним из проявлений неполноты является тот
факт, что даже для одного и того же множества
выбирать различными способами. Таким образом, при аксиоматическом подходе отсутствует однозначная связь между реальными событиями и их формальным описанием. Это затрудняет интерпретацию
полученных результатов и может привести к парадоксальным следствиям, противоречащим интуиции и даже здравому смыслу.
()(\ – )( )РВ А В РВ РА В . Таким образом, доказатель-
вероятности можно
Контрольные вопросы к разделу 1.5
1. Каковы, по вашему мнению, причины появления аксиоматиче-
ского подхода к определению вероятности?
В чем, по вашему мнению, преимущества аксиоматического
2.
определения вероятности перед классическим?
Что такое σ-алгебра подмножеств? Какова ее роль в аксиомати-
3.
ческой теории вероятности?
Как определяется вероятность в аксиоматической теории?
4.
Входит ли во множество аксиом, определяющих вероятность,
5.
аксиома о том, что она принимает значения, меньшие единицы?
29
6. Определены ли формально в аксиоматической теории несовме-
P
P
P
стимые события? Если да, то каким образом?
Как в аксиоматическом подходе формально определяются не-
7.
зависимые события? Отличается ли это определение от того, которое
имеет место в классическом подходе?
В аксиоматическом подходе вероятность может быть опреде-
8.
лена разными способами. Пусть имеются две определяющие ее функ-
и
ции
P
1
неравенство
() ()PA PB
22
9.
, а также события A и B. Имеет место
2
при этом
, а также произвольные случайные события A и B. Имеется
P
2
() ()PA PB
11
. Всегда ли при этом будет выполняться
?
Так же как и в предыдущем вопросе, имеются вероятности
, будет ли
( ) () ()PAB PBPA
222
? Другими словами, является ли незави-
( ) () ()
AB P B P A
111
и
1
симость событий инвариантной по отношению к выбору вероятности?
Считаете ли вы, что аксиоматический подход имеет недостатки?
10.
1.6. Статистический подход
к определению вероятности
Классическое определение вероятности при переходе от простейших примеров к рассмотрению сложных задач наталкивается на трудности, которые, по мнению некоторых исследователей, носят принципиальный характер. Прежде всего возникает вопрос о возможности
нахождения разумного способа выделения «равновозможных случаев».
Еще в самом начале разработки классического подхода был замечен
эффективный способ приближенной оценки
случайного события, не связанный с построением пространства элементарных случайных событий.
Длительные наблюдения над появлением или не появлением события А при большом числе независимых испытаний, производимых при
одном и том же комплексе условий, в ряде случаев показывают, что
число появлений события А подчиняется устойчивым закономерностям. Если
обозначить через m число появлений события А при n независимых испытаниях, то оказывается, что отношение
появления события А) при достаточно больших n для большинства таких серий наблюдений сохраняет почти постоянную величину, причем
неизвестной вероятности
/mn
(частота
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]