Основы математического моделирования. Учебное пособие-1

Рецензенты:

Т. А. Алексеева, кандидат физико-математических наук, доцент, СанктПетербургская школа физико-математических и компьютерных наук НИУ ВШЭ; К. Г. Аркина, кандидат физико-математических наук, доцент, Санкт-

Петербургский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена

пособие / В. Д. Будаев, М. Я. Якубсон. — Санкт-Петербург : Издательство РГПУ им. А. И. Герцена, 2024. — 68 с.

ISBN 978-5-8064-3550-8

В учебном пособии излагаются общие принципы математического моделирования, дается классификация математических моделей, рассматриваются конкретные математические модели в физике, технике, астрономии, биологии, демографии, социологии, истории, музыковедении, литературоведении.

Пособие предназначено для студентов бакалавриата и магистратуры педагогических и технических вузов, изучающих курс математического моделирования.

УДК 57-1 ББК 87.256.631.0

Предисловие

Курсы математического моделирования появились в учебных планах многих вузов сравнительно недавно: лет 15–20 назад. На факультете математики РГПУ им. А. И. Герцена (где работают авторы) курс "Основы математического моделирования" сначала возник в учебном плане магистратуры "Математическое образование". Затем появился аналогичный курс для бакалавриата "Прикладная математика и информатика", который вскоре дополнился несколькими более "узкими" курсами.

Втечение нескольких лет такие курсы читались профессором Валентином Федоровичем Зайцевым, одним из крупнейших в мире специалистов по групповому анализу дифференциальных уравнений, а также специалистом по применению математических методов в музыке. После безвременной кончины В. Ф. Зайцева большинство названных курсов читает один из авторов.

Разумеется, в этой ситуации возникла потребность в учебных пособиях по математическому моделированию. Такие пособия в последние годы активно издаются многими вузами, однако положение дел продолжает желать лучшего.

Дело в том, что, с одной стороны, в отличие от традиционных математических диcциплин типа алгебры, геометрии, математического анализа, содержание которых формировалось в течение нескольких столетий и давно стабилизировалось, содержание курсов математического моделирования пока только лишь начинает формироваться. С другой же стороны, само понятие математического моделирования — весьма общее, почти тождественное с понятием "прикладная математика". Изложить весь огромный объем материала в рамках сравнительно небольшого курса практически невозможно, да и ни один лектор или автор пособия не может быть настолько разносторонним специалистом, чтобы свободно себя чувствовать во всех разделах науки, связанных с математическим моделированием. В итоге

вразличных пособиях и курсах лекций лишь первые 2–3 лекции имеют болееменее общее содержание, а дальше каждый автор (лектор) излагает те модели, которые ему наиболее близки, интересны, и в которых он может чувствовать себя специалистом.

Всвязи с этим назрел вопрос о создании пособия, соответствующего содержанию именно тех курсов, которые читаются на названном факультете.

На наш взгляд, после рассмотрения понятия математического моделирования уместно сразу рассказать студентам об одной из конкретных моделей, на примере которой можно проиллюстрировать такие вопросы, как принцип единства и множественности моделей, предъявляемые к моделям требования, а также основные моменты, связанные с классификацией моделей. Далее идет рассказ о знаменитых классических моделях, естественным образом дополняющий содержание курса истории математики. На наш взгляд, "цепочка" связанных друг с другом вопросов (задача о преломлении света — принцип Ферма — обобщение этого принципа Ньютоном для решения задачи о брахистохроне — зарождение вариационного исчисления) дает студентам представление о развитии математических идей от конкретной модели к весьма общим теориям.

3

Надеемся, что пособие будет полезно студентам, изучающим основы математического моделирования. В дальнейшем предполагается разработка еще одного пособия, посвященного математическим моделям в экономике.

Пояснительная записка

Настоящее пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплину "Основы математического моделирования", а также может быть полезно при изучении других дисциплин, связанных с математическим моделированием.

Пособие включает в себя:

–краткий курс лекций;

–вопросы для самопроверки;

–небольшой набор заданий для самостоятельного решения;

–список примерных тем докладов;

–вопросы для подготовки к теоретическому зачету.

В течение семестра каждому студенту предлагается сделать доклад по выбранной им и самостоятельно разобранной математической модели. Тема доклада может быть как выбрана студентом из примерного списка докладов, так и предложена студентом (в этом случае тема должна быть одобрена преподавателем).

Отчетность по завершении семестра — зачет. Форма проведения зачета — устный ответ студента на один из теоретических вопросов. Обязательным условием получения зачета является успешно сделанный доклад.

4

1. Понятие математической модели

Вопрос о том, что изучает математика, достаточно сложен. До сих пор не существует общепринятого определения математики как науки.

Зададимся чуть более простым вопросом: объекты, изучаемые в математике (число, точка, прямая, уравнение, производная, группа и т. д.) — существуют ли эти объекты в реальном мире?

Нетрудно сообразить, что ответ на этот вопрос отрицателен. В самом деле, в реальном мире существуют такие объекты, как, например, "две березы, растущие на вершине холма", "два яблока, лежащие на тарелке", "двое мужчин, беседующих за столом" и т.д., но нет такого объекта как "число два". Аналогично, в природе существуют длинная тонкая проволока, луч света и т. д., но нет такого объекта как бесконечно длинная и абсолютно тонкая прямая.

Таким образом, например, "число два" — абстрактное понятие, полученное вычленением общего свойства, присущего огромному количеству реальных объектов.

Итак, математика изучает абстрактные объекты, созданные нашим мышлением путем выделения одного или нескольких свойств, присущих большому количеству объектов реального мира.

С одной стороны, математика не может дать полного представления об объектах реального мира, поскольку изучает далеко не все стороны этих объектов, а только отдельные их свойства, поддающиеся описанию на языке математики. С другой стороны, изучаются свойства, присущие большому количеству реальных объектов, и по этой причине математические законы и факты носят весьма общий характер. В этом и состоит сила математики: изучив, например, колебания маятника, мы одновременно получим информацию практически обо всех колебательных процессах.

Пусть нас интересует некий реальный объект или явление a. Выделяем некоторое свойство или набор свойств S, которые нас будут интересовать. Построив математическую модель, мы получаем некий новый абстрактный объект a′ с набором свойств S′. Математическую модель можно считать удачной, если в том или ином смысле a ≈ a′, S ≈ S′ и нас удовлетворяет точность приближения. Если результаты, которые мы получили при составлении модели и решении полученной математической задачи, адекватно описывают реальный объект (реальное явление), то нашу модель можно считать удовлетворительной.

Процесс математического моделирования можно разбить на несколько этапов. Изучение некоторого объекта (явления) мы начинаем с этапа наблюдения. На этом этапе мы выделяем те свойства, которые будут нас интересовать, смотрим, какие свойства являются для нас несущественными (их можно исключить из рассмотрения), а какие, напротив, наиболее важны. В результате мы получаем содержательную модель нашего объекта (явления), которая, как правило, формулируется на языке той или иной науки (физики, биологии, экономики и т. д.). Далее, интересующие нас свойства мы стараемся перевести на язык математики. Как правило, это означает составление уравнений или систем уравнений

5

(возможно также — неравенств или систем неравенств), описывающих интересующие нас свойства объекта. Полезно помнить, что при этом мы пользуемся двумя типами законов: универсальные законы природы (законы сохранения энергии, импульса, массы) и частные законы данной конкретной науки (законы Ома или Кирхгофа, если речь идет о некой электрической цепи, законы Ньютона, если речь идет о механическом движении и т. д.). В результате мы получаем математическую модель изучаемого явления (объекта). Далее мы переходим к этапу исследования составленной модели, который фактически представляет собой выбор или разработку алгоритма решения полученной математической задачи. Возможно, алгоритм решения нашей задачи уже известен, но нередко приходится разрабатывать новый алгоритм. Далеко не всегда задача может быть решена аналитически в явном виде, поэтому очень часто приходится прибегать к использованию различных приближенных методов и, соответственно, разработке программ для реализации выбранного алгоритма. Наконец, добравшись до решения задачи, мы должны проанализировать полученные результаты. Если наше решение достаточно хорошо согласуется с наблюдаемым поведением реального объекта — значит, разработанная нами модель удачна, она адекватно описывает реальность. Если же имеет место недопустимое расхождение нашего решения с реальностью — наша модель оказалась несостоятельной, и мы должны вернуться к этапу построения математической модели (а может быть, и к этапу составления содержательной модели). Здесь уместно вспомнить классическую фразу из философии: "Практика — критерий истины".

Такова общая схема математического моделирования. Разумеется, эта схема достаточно условна, она может видоизменяться в зависимости от конкретной задачи.

2. Математическая модель маятника

Рассмотрим одну из простейших математических моделей, на примере которой станет более понятен материал параграфа 1, а также трех последующих параграфов.

Речь пойдет о математической модели маятника.

Под маятником будем понимать груз, подвешенный на тонком стержне. (Такой маятник можно увидеть, например, в старинных часах.) Нас интересует закон движения маятника.

Наблюдая за движением маятника, мы можем заметить, что толщина стержня значительно меньше его длины, поэтому в идеале мы можем считать этот стержень абсолютно тонким (с толщиной, равной нулю) и, соответственно, невесомым. Можно также заметить, что стержень не меняет свою длину и форму, т. е. является нерастяжимым и недеформируемым. Что касается груза, то его размеры также малы по сравнению с длиной стержня, поэтому можем считать этот груз точечной массой. Наконец, нас не будет интересовать материал, из которого изготовлены

6

стержень и груз. Таким образом, мы будем рассматривать точечную массу m на конце невесомого абсолютно тонкого нерастяжимого и недеформируемого стержня длины l. Тем самым мы составили содержательную модель, которую обычно называют математическим маятником.

q

φ

Далее, положение маятника однозначно можно задать углом φ отклонения стержня от вертикального положения (считаем, что движение маятника происходит в одной плоскости). Значит, дальнейший этап (построение математической модели маятника) состоит в составлении уравнения, описывающего закон изменения переменного угла с течением времени, т. е. уравнения с неизвестной функцией

φ(t).

Рассмотрим положение маятника, отклонившегося на угол φ от вертикали. Введем систему координат: ось OY направим вдоль стержня маятника, а ось OX

Поскольку стержень нерастяжим и недеформируем, при проектировании на ось OY получим Ft cos φ − T = 0 (это равенство нам фактически не понадобится в дальнейшем). При проектировании на ось OX будем иметь −Ft sin φ + Fc = ma.

Как известно, сила тяжести есть Ft = mg, где g — ускорение свободного падения. Сила сопротивления воздуха при небольших скоростях пропорциональна скорости движения и направлена в сторону, противоположную движению (экспериментально подтвержденный закон): Fc = −kv (где k — коэффициент сопротивления). Скорость (линейная скорость) при движении по окружности есть

7

радиус окружности, умноженный на угловую скорость, т. е. в данном случае

Fc = −klφ′(t). Наконец, ускорение равно радиусу, умноженному на угловое ускорение, т.е. a = lφ′′(t).

Таким образом, получаем уравнение

−mg sin φ − klφ′(t) = mlφ′′(t).

Деля обе части уравнения на ml и перенося все в одну часть, получим окончательно уравнение, описывающе движение маятника:

Мы получили дифференциальное уравнение второго порядка. Для его решения необходимо задать два начальных условия: положение маятника в начальный момент времени (например, φ(0) = 0) и угловую скорость груза в начальный момент: φ′(0). Полученное нами уравнение с начальными условиями есть математическая модель движения маятника (правильнее было бы сказать: математическая модель движения математического маятника, но такой термин выглядел бы слишком неуклюже).

Насколько удачна наша модель? Даже при беглом взгляде на уравнение можно заметить, что уравнение нелинейно (за счет присутствия в нем синуса угла), а значит, его решение связано с весьма существенными трудностями. Сделаем еще одно правдоподобное предположение: отклонение маятника от вертикали мало. Тогда мы можем использовать элементарную формулу замены на эквивалентные: sin φ φ. Следовательно, наше уравнение примет вид

Это уравнение относится к хорошо изученному классу линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Таким образом, мы заменили составленную нами математическую модель на несколько менее точную, но гораздо более удобную модель.

Для решения полученного уравнения следует составить характеристическое

q

уравнение λ2 + mk λ + gl = 0. Его корни: λ1,2 = 12 −mk ± (mk )2 − 4lg .

Из наблюдений над физическим процессом мы можем заметить, что коэффициент сопротивления воздуха k в реальности достаточно мал, поэтому дискриминант в нашем случае отрицателен, а значит, общее решение уравнения даст нам

q

Коэффициенты A, B легко находятся из начальных условий. Так, если φ(0) = 0, то, очевидно, B = 0. Если φ′(0) = φ′0, то, находя производную φ′(t) =

8

В частном случае, когда сопротивление воздуха отсутствует (т. е. k = 0), функция φ(t) окажется периодической функцией. Физически это означает, что маятник будет бесконечно долго совершать периодические незатухающие колебания с частотой ω. При k > 0 экспонента с отрицательным показателем e−2km t убывает и стремится к нулю при t → +∞, поэтому колебания станут затухающими. Чем больше коэффициент сопротивления k, тем быстрее колебания будут затухать.

Можно убедиться, что полученное нами решение достаточно точно описывает реальные колебания маятника. Таким образом, наша математическая модель маятника является вполне удовлетворительной.

При построении модели мы использовали фундаментальный закон механики — второй закон Ньютона, а также некоторые частные законы и экспериментальные факты: сопротивление воздуха при малых скоростях пропорционально скорости, коэффициент сопротивления в реальности достаточно мал, угол отклонения маятника от вертикали также достаточно мал.

Заметим, что второй закон Ньютона фактически является одной из форм универсального закона сохранения импульса. В самом деле, записав второй закон Ньютона в краткой форме F = ma и умножив обе части на достаточно малое время t, получим: F t = mat, т. е. F t = mv, где v – скорость (при достаточно малом промежутке времени t можем считать, что ускорение и скорость за этот промежуток времени не меняются, т.е движение можно считать равномерным). Но в левой части мы получили импульс силы, а в правой — импульс тела массой m, движущегося со скоростью v. Таким образом, этот закон означает, что импульс, сообщенный телу силой F за некоторый промежуток времени, равен импульсу, который получило это тело. Фактически, мы получили закон сохранения импульса для ситуации, когда тело движется под воздействием некоторой силы: импульс, полученный телом, равен импульсу, сообщенному ему действующей силой; в частности, при отсутствии силы импульс тела не меняется.

В заключение отметим, что составленная нами математическая модель описывает не только колебания маятника. Эта модель описывает также колебания груза, подвешенного на пружине; изменение силы тока в так называемом колебательном контуре (электрической цепи, содержащей сопротивление, индуктивность и емкость), да и практически любые другие процессы, связанные с колебаниями.

3. Принцип множественности и единства моделей

Принцип множественности и единства моделей — один из основных принципов математического моделирования.

9

Множественность моделей означает, что для одного и того же объекта (явления) можно строить разные модели (причем, как правило, таких моделей можно построить бесконечно много).

Например, при изучении колебаний маятника мы получили в качестве модели нелинейное дифференциальное уравнение, содержащее синус угла. Модель выглядит слишком сложной, поэтому мы упростили ее, считая, что угол отклонения маятника от вертикали невелик. Тем самым мы составили другую (линейную) модель колебаний маятника. Рассмотрев частный случай, когда сопротивление воздуха отсутствует, мы фактически получили еще одну модель. Можно представить ситуацию, когда размеры груза оказываются существенными, и, соответственно, нет смысла рассматривать массу как точечную, — при этом мы опять-таки получим еще одну модель. Если маятник колеблется с достаточно большой скоростью, то сила сопротивления воздуха приобретает принципиально иной характер, она становится пропорциональной не скорости, а квадрату скорости, в результате чего мы получим гораздо более сложное (нелинейное!) уравнение, моделирующее колебания маятника. Итак, для одного и того же процесса мы можем строить различные модели.

Рассмотрим еще более простой пример. В древности люди считали, что Земля плоская. Тем самым они пользовались моделью, в которой поверхность Земли была приближенно заменена плоскостью. По мере развития мореплавания, астрономии и других наук, стало ясно, что более адекватной моделью Земли является шар, т. е. поверхность Земли стала считаться сферической. Далее выяснилось, что этот "шар" несколько сплюснут с полюсов; возникла новая модель поверхности Земли, для которой ввели специальный термин — геоид. Наконец, совершенно ясно, что даже геоид лишь весьма приближенно описывает реальную поверхность, поскольку на Земле существуют горы, впадины, реки, океаны и т. д. Таким образом, для одного и того же объекта (поверхности Земли) использовались различные модели. Можно ли сказать, что какие-то из этих моделей лучше, а какие-то хуже? Такое утверждение было бы весьма сомнительным. Ведь даже сейчас в обыденной жизни, когда мы находимся на малом участке земной поверхности, мы используем "плоскую" модель, не испытывая при этом никакого неудобства. И лишь в некоторых ситуациях (когда нас интересуют достаточно большие участки поверхности) мы вспоминаем про шарообразную форму. Геоид (и тем более реальная форма поверхности Земли) используются редко (например, в геологии, авиации и космических исследованиях). Таким образом, в зависимости от ситуации, мы используем различные модели, и каждая из них может оказаться вполне адекватной

иоправданной.

Всоответствии с представлениями о плоской Земле в древности использовалась геоцентрическая модель мира: считалось, что вокруг плоской Земли вращаются Солнце, Луна, известные к тому времени планеты и звезды. Каждая из них движется по окружности, лежащей на соответствующей сфере (сфера Солнца, сфера Луны и т. д.). По мере развития мореплавания (что требует умения вычислять положение небесных светил) стало ясно, что такая модель слишком неточная.

10