Основы математического моделирования. Учебное пособие-1

Модель Колмогорова носит чрезвычайно общий характер. Можно доказать, что

вэтой модели возникают три стационарных точки: (0, 0), (x1, 0), (x , y ). Первые две связаны с вырожденной ситуацией, а вот третья стационарная точка такова, что при некоторых ограничениях на коэффициенты все траектории стремятся к этой стационарной точке (либо по некоторым гладким кривым, образуя устойчивый узел, либо по закручивающимся спиралям, асимптотически приближаясь к этой точке — устойчивый фокус). При других ограничениях на коэффициенты возникает предельный цикл (аналогично модели Холлинга — Тэннера). Доказано, что никаких других ситуаций в этой модели не возникает.

Модель Колмогорова замечательна тем, что она качественно адекватно описывает все возникающие в природе ситуации, связанные с моделями "хищник — жертва". Однако общность этой модели является одновременно ее недостатком: рассматривая реальные популяции хищников и жертв, мы должны будем каким-то образом удачно подобрать коэффициенты α, K, V , чтобы получить количественно адекватные результаты. По этой причине модель Колмогорова, по-видимому, редко используется в практических исследованиях.

9.Модель преломления света. Принцип Ферма

Вначале XVII века ученые заинтересовались законами оптики, в частности, законом преломления света. Пусть имеется две прозрачные среды с плоской поверхностью раздела (Рис. 8). Свет движется из одной среды в другую от точки A

вточку B. Как связаны между собой углы падения и преломления?

A

A B

A

Рис. 8

Обозначим через v1, v2 скорости движения света в первой и второй среде соответственно, а через α1, α2 — углы падения и преломления (т.е. углы между лучом света и перпендикуляром к плоскости раздела).

В 1621 году голландский ученый Снелль (в латинском варианте Снеллиус) экспериментально вывел закон

получивший название закона Снеллиуса.

31

Уравнение (16) фактически дает нам математическую модель преломления света. Подчеркнем еще раз, что Снеллиус никак не обосновывал свой закон, он получил его чисто экспериментально. Можно сказать, что модель Снеллиуса является количественно (но не качественно) адекватной, а также функциональной, но не структурной (задав "на входе" значения скоростей v1, v2, получим на выходе соотношение между углами, но не получим никакой информации о причинах такого соотношения).

Иногда закон Снеллиуса записывают несколько иначе. Используя коэффициент преломления, который по определению есть n = c/v, где c — скорость света в вакууме, а v — скорость света в данной среде, можно переписать закон Снеллиуса как n1 sin α1 = n2 sin α2.

В 1662 году великий Пьер Ферма сформулировал принцип, ставший основным принципом геометрической оптики: из всевозможных путей между двумя точками луч света выбирает путь, требующий наименьшего времени. Таким образом, свет минимизирует время движения из одной точки в другую.

Закон Снеллиуса легко выводится из принципа Ферма. Опустим перпендикуляры из точек A и B на границу сред. Длины перпендикуляров обозначим через a и b соответственно. Расстояние между основаниями перпендикуляров обозначим через d, а расстояние от одного из оснований до точки, в которой свет пересекает границу сред, – через x.

Поскольку скорость света в каждой из сред постоянна, то время равно расстоянию, деленному на скорость. Следовательно, общее время, затраченное на путь из A в B, будет равно

√p

Получаем, что время, затраченное лучом света на весь путь, является функцией переменной x. Для нахождения наименьшего значения функции на [0, d] найдем критическую точку:

Можно проверить, что T ′′(x) > 0 на [0, d] (опустим громоздкие выкладки), поэтому T ′(x) строго монотонно возрастает. Кроме того, T ′(0) < 0, T ′(d) > 0. Следовательно, уравнение T ′(x) = 0 имеет единственный корень, причем при переходе через него знак производной меняется с минуса на плюс. Таким образом, функция T (x) имеет единственную критическую точку внутри отрезка, являющуюся точкой минимума. Следовательно, в ней функция T (x) достигает своего наименьшего значения.

Отыскание наименьшего значения в явном виде несколько затруднительно, од-

32

Итак, на основе принципа Ферма нам удалось вывести закон Снеллиуса. Тем самым экспериментальный закон, не имевший под собой никакого логического обоснования, оказался следствием фундаментального закона природы, сформулированного Ферма. Можно сказать, что Ферма предложил новую математическую модель преломления света, являющуюся моделью принципиально более высокого уровня. Хотя обе модели в количественном отношении дают один и тот же результат, но модель Ферма является не только количественно, но и качественно адекватной (поскольку позволяет увидеть суть явления, объяснить итоговую формулу), а также она является структурной, а не функциональной.

Такая ситуация подчеркивает следующий факт: из двух моделей, дающих одинаковый количественный результат, преимущество следует отдать качественно адекватной структурной модели.

Здесь уместно вспомнить геоцентрическую модель Птолемея и гелиоцентрическую модель (развитую Коперником, Кеплером, Ньютоном). Обе модели дают одинаково точные количественные резульаты, но гелиоцентрическая модель качественно более адекватна (являясь, безусловно, структурной, а не функциональной, как модель Птолемея).

Принцип Ферма позволяет изучить законы распространения света не только в ситуации прохождения через две среды, но и в более общих ситуациях.

Пусть мы имеем неоднородную среду. Соответственно, скорость света является переменной величиной, зависящей от точки M пространства: v = v(M). По какой траектории будет двигаться луч света, проходя от некоторой точки A в некоторую точку B?

Проведем достаточно большое количество n параллельных друг другу плоскостей так, что точки A, B расположены по разные стороны от этого набора плоскостей. Если расстояние между соседними плоскостями достаточно мало, то скорость света на малом участке между этими плоскостями можно приближенно считать постоянной. Тогда при пересечении каждой из плоскостей можно

воспользоваться законом Снеллиуса = sin αi+1 , где i, i + 1 — номера двух

vi+1

соседних участков между плоскостями. Поскольку плоскости параллельны друг другу, то углы "на входе" в очередной участок и "на выходе" равны. Поэтому получим цепочку равенств

Устремляя n к бесконечности (и, соответственно, расстояние между плоскостями к нулю), придем к равенству

sin α

v

= const.

Таким образом, принцип Ферма позволяет построить весьма общую модель распространения света в неоднородной среде.

В современной физике принцип Ферма считается одним из частных случаев экстремальных принципов. Экстремальный принцип — общее название для

33

ряда фундаментальных постулатов, который в общем виде можно сформулировать следующим образом: Система ведет себя таким образом, чтобы некоторая величина (энергия, действие и т. д.) принимала минимальное возможное значение.

В классической механике экстремальный принцип носит название принципа наименьшего действия (или принципа Гамильтона): тело движется таким образом, чтобы величина действия оказалась минимальной (при заданных начальных и конечных условиях). Не вдаваясь в глубокое обсуждение термина “действие”, приведем лишь первоначальное определение этого термина, данное Мопертюи в 1746 году: “Количество действия есть произведение массы тел на их скорость и на расстояние, которое они пробегают”.

§10. Задача о брахистохроне.

В 1640-х годах Галилео Галилей изучал закон движения шарика по наклонной плоскости из некоторой точки A в точку B (см. Рис 9а). В какой-то момент, видимо, доска, служившая ему наклонной плоскостью, треснула, и шарик покатился не по отрезку прямой, а по ломаной из двух звеньев (см. Рис. 9б). К удивлению Галилея, время движения по ломаной оказалось меньше, чем по прямой. Галилей предположил, что если увеличивать количество звеньев ломаной, то время движения будет уменьшаться, и что в пределе можно получить кривую наискорейшего спуска, которой, по его предположению, должна стать дуга некой окружности, соединяющей точки A и B. К сожалению, Галилей не довел свои опыты до конца, и его предположение не было ни подтверждено, ни опровергнуто.

qA qA

@@@qB APPPPPPqB

Рис. 9

В 1696 году Иоганн Бернулли, знакомясь с опытами Галилея, сформулировал задачу:

Среди всевозможных плоских кривых, соединяющих фиксированные точки A и B (не лежащие на одной вертикали и на одной горизонтали), выбрать такую кривую, двигаясь по которой, тело придет из A в B под действием

силы тяжести за кратчайшее время.

34

Задача, сформулированная И. Бернулли, получила название "задача о брахистохроне" (брахистохрона в переводе с греческого — "кривая наискорейшего спуска"). Эта задача показалась И. Бернулли настолько интересной и сложной, что он написал письма всем наиболее выдающимся европейским математикам того времени, с предложением провести конкурс на решение этой задачи, и отвел на ее решение 9 месяцев. Фактически, И. Бернулли предложил составить математическую модель движения тела под действием силы тяжести по некоторой кривой между двумя фиксированными точками, и затем выбрать оптимальную кривую. Среди ученых, принявших участие в этом конкурсе, были сам И. Бернулли, его брат Я. Бернулли, Ньютон, Лейбниц, Лопиталь и еще несколько менее известных математиков. Интересной была реакция ученых. Лейбниц ответил, что задача представляется ему настолько сложной, что он предлагает увеличить время, отведенное на конкурс (тем более, что участники конкурса жили в разных городах, в разных странах, а почта в те времена работала крайне медленно). А вот другой великий ученый, Исаак Ньютон, получив письмо, не стал откладывать дело в долгий ящик, а решил задачу за 9 часов! Интересен и еще один момент. У Ньютона была странная привычка: он никогда не подписывал свои письма и не указывал обратного адреса, поэтому И. Бернулли, получиа письмо с решением задачи, не знал, от кого это письмо. Тем не менее, прочитав его и оценив предложенное решение, он произнес замечательную фразу: ‘”По когтям узнаю льва”. Таким образом, Иоганн Бернулли, познакомившись с решением, сразу понял, что такое решение может принадледать только великому И. Ньютону.

Рассмотрим решение этой задачи, следуя рассуждениям Ньютона, (т. е. следуя составленной им модели данного процесса). Введем систему координат (см. Рис. 10), направив ось OX из точки A горизонтально, а ось OY вертикально вниз. Выберем некоторую кривую y = f(x), соединяющую точки A, B, и в произвольной точке C этой кривой проведем касательную. Обозначим через α и β углы, образуемые этой касательной с осями OY, OX соответственно.

Ньютон решил применить к задаче о брахистохроне принцип Ферма: если бы тело могло само выбрать траекторию движения, то оно выбрало бы ту траекторию, время движения по которой минимально, а значит, по закону Снеллиуса, для этой траектории должно выполняться условие

поскольку производная равна тангенсу угла наклона касательной. Воспользуемся законом сохранения энергии. Если в точке A начальная ско-

рость равна нулю, а в точке C — v, то при перемещении тела из A в C тело приобрело кинетическую энергию 12mv2. При этом потеря потенциальной энер-

35

Возводя в квадрат и учитывая, что 2g — константа, придем к дифференциальному уравнению

@

@@@qC

@ β

α@

@

@ q

y ? B

Рис. 10

Уравнение (19) с начальными условиями, задающимися положением точек A, B, дает нам математическую модель оптимальной кривой (брахистохроны).

Для решения дифференциального уравнения (19), не разрешенного относительно производной, применим стандартный метод: введем параметр p, численно равный производной y′. Уравнение примет вид

Выполним подстановку, которую принято называть универсальной тригонометрической подстановкой: p = ctg 2t . Такая подстановка уместна, поскольку область значений котангенса — вся числовая прямая. Тогда

36

а следовательно,

Тогда x = C2 (t − sin t) + C2. Окончательно получаем общее решение нашего уравнения в параметрической форме (переобозначая C2 через C):

x = C(t − sin t) + C2 y = C(1 − cos t)

Постоянные C, C2 можно найти, исходя из того, что кривая должна проходить черех заданные точки A(0, 0) и B(x0, y0). Так, при x = 0, y = 0, очевидно, t = 0 (с точностью до периода), поэтому C2 = 0. Кривая

x = C(t − sin t)

(20)

y = C(1 − cos t)

хорошо известна в математике. Это циклоида. Постоянная C может быть подобрана так, чтобы циклоида прошла через точку B.

Итак, решением задачи о брахистохроне оказалась циклоида. Именно движение по циклоиде осуществляется за кратчайшее время.

11. Понятие о вариационном исчислении

Задача о брахистохроне дала толчок к созданию нового для того времени раздела математики: вариационного исчисления.

Некоторые идеи вариационного исчисления просматраваются в работе Ньютона, а также других ученых, решавших задачу о брахистохроне, однако оформление вариационного исчисления в самостоятельный раздел математики связывают с именами Эйлера и Лагранжа. К задачам вариационного исчисления приводят, например, многие геометрические задачи (в частности, изопериметрические задачи).

Следуя Ньютону, мы выяснили, что кривой наикратчайшего спуска является циклоида, однако мы не нашли, чему равно время кратчайшего спуска. Для изучения этого вопроса рассмотрим две достаточно близкие точки кривой, соединяющей A(0, 0) и B(x0, y0) : (x, y), (x + dx, y + dy). Если эти точки достаточно близки друг к другу, то скорость тела на участке между ними можно приближенно

37

Далее, разобьем всю кривую точками деления на достаточно мелкие участки. Время прохождения каждого участка приближенно находится по формуле (21). Суммируя по всем участкам разбиения и переходя к пределу (устремляя к нулю максимальную длину участков), получим, что время прохождения телом всей кривой от A до B равно

Формула (22) ставит в соответствие каждой достаточно гладкой кривой, соединяющей точки A(0, 0), B(x0, y0), некоторое число T . Отображения из некоторого множества функций в некоторое числовое множество принято называть функционалами. Таким образом, задача о брахистохроне свелась к нахождению минимума функционала 22) при граничных условиях y(0) = 0, y(x0) = y0..

Сформулируем теперь более общую задачу. На множестве достаточно гладких (например, дважды непрерывно-дифференцируемых) функций y = f(x) на [a, b] рассмотрим функционал

где L — некоторая "хорошая" (например, опять-таки дважды непрерывнодифференцируемая) функция. Поставим задачу отыскания экстремальных (т. е. наименьших либо наибольших) значений функционала. Будем при этом считать, что на концах отрезка функция принимает фиксированные значения: f(a) = A, f(b) = B. (Такая задача носит название задачи с закрепленными концами). Функция f0, при которой функционал достигает своего экстремального значения, называется экстремалью.

Такая задача аналогична задаче нахождения экстремумов функции y(x). Но теперь в роли аргумента x выступают функции f, в роли точки экстремума — экстремаль f0, а в роли окрестности точки x0 — функции вида f(x) = f0(x)+εf1(x), где ε — произвольное достаточно малое число, а f1(x) произвольная фиксированная функция, значения которой на концах отрезка [a, b] равны нулю (последнее условие гарантирует, что функции f0 и f на концах отрезка принимают равные значения). Слагаемое εf1 играет роль, аналогичную приращению аргумента и называется вариацией.

38

Рассмотрим

b

Z

F [f] = F [f0 + εf1] = L(x, f0 + εf1, f0′ + εf1′) dx.

a

Полученное выражение можно рассматривать как функцию одной переменной ε, причем при ε = 0 эта функция должна достигать экстремума. Пользуясь необходимым условием экстремума, получим, что dFdε |ε=0= 0.

Не заботясь сейчас о строгом обосновании выкладок, найдем указанную производную:

b

b

Можно доказать, что из последнего равенства, в силу произвольности f1, следует, что

В самом деле, если выражение в скобках под знаком интеграла в правой части (24)

внекоторой точке c отлично от нуля (для определенности, пусть оно ранво d > 0), то, в силу непрерывности, найдется окрестность точки c, в которой эта скобка > d/2. Возьмем в качестве функции f1 функцию, равную нулю вне этой окрестности и равную рассматриваемой скобке внутри окрестности. Тогда последний интеграл

в(20) будет заведомо больше, чем интеграл от (d/2)2 по данной окрестности, т. е. будет заведомо строго положительным, что противоречит его равенству нулю.

Итак, мы получили, что функция, являющаяся экстремалью, обязана удовлетворять уравнению (25).

Уравнение (25) дает необходимое условие экстремума функционала и носит название уравнения Эйлера (или уравнения Эйлера — Лагранжа). Это уравнение является основным в вариационном исчислении.

Уравнение (25) — дифференциальное уравнение относительно функции f. Решив его (с учетом граничных условий), мы получим функции, “подозрительные”

39

на экстремаль. Вообще говоря, далее следует применить некоторые достаточные условия экстремали, однако, к сожалению, достаточные условия выглядят сложно, и мы здесь не будем их рассматривать. Такое “пренебрежение” достаточными условиями можно оправдать следующим соображением: решение уравнения Эйлера с заданными краевыми условиями, как правило, в реальных задачах, оказывается единственным, а по смыслу задачи обычно бывает ясно, дает ли это единственное решение минимум или максимум рассматриваемого функционала.

Если мы в уравнении Эйлера распишем полную производную по переменной x как производную сложной функции, то уравнение запишется в более подробной форме:

Уравнение (26) — дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции f. Решение этого уравнения может представлять собой достаточно сложную задачу. Рассмотрим один важный частный случай, нередко встречающийся на практике. Пусть функция L не зависит явным образом от переменной x, т. е. L = L(f, f′). В этом случае второе слагаемое в уравнении (26) обращается в ноль. Умножим обе части уравнения на f′:

Нетрудно проверить (проверьте самостоятельно!), что левая часть полученного уравнения представляет собой полную производную

Поскольку эта производная равна нулю, то получаем

где C — произвольная постоянная. Уравнение (27) — дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции f. Таким образом, в рассматриваемом частном случае уравнение Эйлера становится принципиально более простым по сравнению с общей ситуацией.

Подытожим. Решая задачу о минимизации функционала (23), мы должны составить уранение Эйлера (25) либо уравнение (27), если подынтегральная функция не зависит явно от x. Решив это уравнение с использованием краевых условий f(a) = A, f(b) = B, получим функции, подозрительные на экстремаль. Как правило, решение оказывается единственным, и по смыслу задачи ясно, действительно ли это решение явлется экстремалью.

40