Основы математического моделирования. Учебное пособие-1

что Гомер был слепым: в поэмах практически отсутствуют визуальные образы, зато очень много обращений к органам слуха.

Как ни странно, но подобные вопросы возникают и по поводу гораздо более современных авторов и произведений. До сих пор время от времени заново вспыхивают споры об авторстве "Тихого Дона". Сомнения имеют под собой некоторое основание. Каким образом молодой малообразованный казацкий паренек (а во время публикаций первых глав Шолохову было 20–22 года!) мог создать такую эпопею, которая по своему размаху и мастерству сопоставима разве что с "Войной и миром" Льва Толстого? Более того, в условиях Первой мировой войны, революции, Гражданской войны и разрухи случилось так, что рукопись Шолохова не сохранилась. Но сравнительное статистическое сопоставление "Тихого Дона" с произведениями, где авторство Шолохова не вызывает сомнений, однозначно показало: автором является действительно Михаил Александрович Шолохов. К счастью, несколько лет назад в одном из провинциальных архивов была обнаружениа рукопись одной из глав “Тихого Дона”, написанная самим Михаилом Александровичем, с его исправлениями и пометками. Таким образом, вопрос об авторстве этого шедевра можно считать закрытым, и решающую роль в этом сыграло математическое исследование.

Биоритмы творчества.

Хорошо известно, что жизнедеятельность человеческого организма носит периодический характер, в частности, выделяются физический, интеллектуальный и эмоциональный циклы (продолжительностью, соответственно, 23, 28 и 33 дня). Возникла идея, что подобным биоритмам подвержена также творческая активность писателей, композиторов, художников и т. д. В частности, профессором кафедры математического анализа РГПУ им. А. И. Герцена Валентином Федоровичем Зайцевым были исследованы биоритмы творчества Моцарта и ряда других великих композиторов. Для исследования было выделено 2 параметра: объем сочинений и количество новаций.

Разумеется, объем сочинений никак не связан с их качеством, с художественной ценностью, но все-таки в некоторой степени характеризует уровень творческой активности. Для композиторов в качестве величины объема было выбрано не количество произведений (что было бы в корне неправильно), а количество тактов. Что касается количества новаций, то здесь имеется в виду появление в творчестве новых, ранее не использовавшихся идей, приемов и т. д. (смена тональности, наличие ранее не встречавшихся аккордов и сочетаний звуков...).

После ряда исследований была составлена система дифференциальных уравнений относительно двух указанных переменных. К немалому удивлению, эта система оказалась совершенно аналогичной системе из модели хищник — жертва Лотки — Вольтерры. Роль жертвы играет количество инноваций, роль хищника

— объем сочиненного материала. Соответственно, оказалось, что творческая активность носит периодический характер, причем количество инноваций и объем сочинений имеют одинаковый период, но различны по фазе. Был выявлен основной период биоритмов творчества, который оказался равным приближенно 7.5–8

61

годам. Были выявлены также менее ярко выраженные периоды около 2-х и около 4-х лет.

Такая ситуация, конечно, в очередной раз говорит о справедливости принципа единства моделей. Одна и та же модель может описывать принципиально разные объекты и явления. Разумеется, математическое моделирование в гуманитарных науках не исчерпывается рассмотренными типами моделей. В частности, в лингвистике существует особый раздел под названием математическая лингвистика. Можно упомянуть о теории кодирования, о проблемах дешифровки и о многом другом.

62

Вопросы для самопроверки

1.Какие объекты изучает математика?

2.Назовите этапы математического моделирования.

3.Какие процессы описывает модель маятника?

4.В чем заключается принцип единства и множественности моделей?

5.Почему, на Ваш взгляд, столь важным является устойчивость математической модели?

6.При каких условиях, как правило, оказывается возможным линеаризация нелинейной модели?

7.Приведите примеры явлений, одинаково хорошо описываемых как дискретными, так и непрерывными моделями.

8.Как Вы понимаете термины "дискретизация" и "осреднение" моделей?

9.Есть ли в природе место случайности?

10.Что собой представляет "лапласовский детерминизм"?

11.Каковы причины неполной адекватности модели Мальтуса?

12.Что собой представляют такие течения, как мальтузианство и неомальтузианство?

13.Какую роль играет принцип Ферма в оптике?

14.Как Вы понимаете, в чем состоит принцип Гамильтона?

15.Расскажите вкратце историю возникновения задачи о брахистохроне и историю ее решения.

16.Какие задачи решает вариационное исчисление? Что собой представляет уравнение Эйлера?

17.Каковы, на Ваш взгляд, достоинства и недостатки модели Лотки — Вольтерра?

18.Какие физические процессы описываются уравнением колебаний струны?

19.Сформулируйте постановку задачи, решаемой методом Даламбера.

20.Опишите основные моменты метода Фурье.

21.Что такое клиометрика?

63

22.В чем суть проблемы единой хронологии в истории?

23.В чем Вы видите несостоятельность "новой хронологии" Фоменко — Носовского?

24.Почему проблема установления авторства произведений остается актуальной?

25.Какие математические методы применяются для установления авторства произведений?

26.Какие закономерности были обнаружены при изучении биоритмов творчества?

Задания для самостоятельного решения

1.(Модель пружинного маятника). Груз массой m подвешен на вертикальной пружине с коэффициентом жесткости k, верхний конец которой закреплен. Составьте модель движения груза.

2.С поверхности земли вертикально вверх подброшено тело массой m с начальной скоростью v0. Составьте модель движения тела. На какую максимальную высоту поднимется тело? Через сколько времени оно упадет на землю?

3.(Задача баллистики). С поверхности земли под углом α к поверхности произведен выстрел снарядом массы m с начальной скоростью v0. Составьте модель движения снаряда. Каковы дальность полета и время полета снаряда?

4.(Модель погони*). В начальный момент заяц находится в начале координат, а волк в точке x = a. Затем заяц убегает вдоль положительного направления оси OY с постоянной скоростью v. Волк гонится за зайцем с постоянной скоростью ω > v, причем в каждый момент времени волк движется в том направлении, в котором он видит зайца. Составьте модель "погони". Догонит ли волк зайца? Если догонит, то в какой точке это произойдет?

5.Найдите положительную непрерыную функцию f(x), определенную на отрезке [a, b], график которой при вращении вокруг оси абсцисс образует поверхность вращения с наименьшей площадью.

Примерные темы докладов по математическому моделированию.

1.Модели Птолемея и Коперника — Кеплера — Ньютона.

2.Вывод законов Кеплера из закона всемирного тяготения.

3.Различные модели Вселенной.

64

4.Модель эволюции звезд.

5.Математические аспекты теории относительности.

6.Математические модели в медицине.

7.Математическое моделирование системы кровообращения.

8.Золотое сечение в природе и искусстве.

9.Принцип Гамильтона.

10.Особенности нелинейных моделей.

11.Теория хаоса.

12.Солитоны.

13.Математическое моделирование в химии.

14.Применение теории графов в социологии.

15.Проблема "нуль-пункта" в истории.

16.Критика хронологической теории Фоменко —Носовского.

17.Биоритмы творчества.

18.Элементы криптографии.

65

Основы математического моделирования (вопросы к зачету)

1.Понятие математического моделирования. Этапы моделирования.

2.Модели математического маятника.

3.Модель пружинного маятника.

4.Принцип единства и множественности моделей.

5.Основные требования, предъявляемые к математическим моделям.

6.Классификация моделей (структурные и функциональные, линейные и нелинейные).

7.Классификация моделей (дискретные и непрерывные, детерминированные и вероятностные, динамические и статические).

8.Числа Фибоначчи. Золотое сечение.

9.Модель народонаселения Мальтуса.

10.Задача о преломлении света. Принцип Ферма.

11.Задача о брахистохроне.

12.Элементы вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Частный случай.

13.Модель "хищник — жертва" Лотки — Вольтерра. Модели Холлинга — Тэннера и Колмогорова.

14.Уравнение колебаний струны (вывод уравнения, постановки задач, физические процессы, описываемые уравнением).

15.Метод Даламбера.

16.Метод Фурье.

17.Математические методы в социологии.

18.Математические методы в истории (эконометрика, работа И. Д. Ковальченко, проблема единой хронологии, критика "Новой хронологии" Фоменко — Носовского).

19.Математические методы в литературоведении и музыке (проблема установления авторства произведений, биоритмы творчества).

66