Основы математического моделирования. Учебное пособие-1

13

21

8

5

Рис. 3

Золотая спираль (иногда ее называют спиралью Фибоначчи) очень часто встречается в природе. Например, морская раковина имеет форму золотой спирали, то же самое — форма улитки. Семена подсолнуха организованы в два набора спиралей: короткие, раскручивающиеся от центра по часовой стрелке, и длинные — против часовой стрелки. Если сфотографировать сверху торнадо, то оно имеет также форму спирали, раскручивающейся от эпицентра торнадо. В астрономии хорошо известны спиральные галактики. Подобные примеры можно продолжать до бесконечности.

В связи с числами Фибоначчи естественно рассмотреть последовательность

φn = xn+1 , где {xn} — последовательность Фибоначчи. Очевидно, φ1 = 1, а из

xn

21

(т.е. каждое последующее число поочередно то больше, то меньше предыдущего),

причем |φn − φn−1| |φn−1−φn−2|.

(3/2)2

Нетрудно заметить, что мы получаем последовательность вложенных отрезков [φ1, φ2] [φ3, φ4] [φ5, φ6] . . ., причем длины отрезков стремятся к нулю (т. е. последовательность стягивается). По принципу вложенных отрезков, эта последовательность имеет единственную общую точку, являющуюся пределом

называется золотым сечением.

Золотое сечение было известно еще древним грекам задолго до Фибоначчи. В "Началах" Евклида в III веке до нашей эры рассмотрена задача: разделить отрезок на два отрезка так, чтобы длина большего из них относилась к длине меньшего так же, как длина всего отрезка к длине большего отрезка.

Поскольку речь идет не о самих длинах отрезков, а лишь об их отношениях, можем считать длину исходного отрезка равной 1. Обозначим длину большего отрезка через x. Тогда условие задачи запишется в виде уравнения

что как раз дает золотое сечение.

Древние греки широко использовали золотое сечение в искусстве. Например, самый знаменитый древнегреческий храм Парфенон построен по законам золотого сечения: отношение высоты храма к высоте колонн, а также соотношение сторон прямоугольника, лежащего в основании храма, в точности равны золотому сечению. В других архитектурных сооружениях, а также в древнегреческих статуях также используется золотое сечение.

22

Такая традиция сохраняется в искусстве с древнегреческих времен до сегодняшнего дня. В архитектуре, в скульптуре, в живописи отдельные элементы произведения сплошь и рядом по своим размерам относятся как золотое сечение. Даже размеры полотен для своих картин художники, как правило, выбирают так, чтобы длина и ширина прямоугольника, составляющего полотно, относились как золотое сечение (поскольку давно замечено, что именно такие размеры прямоугольника наиболее приятны для глаз).

Удивительно, но золотое сечение, по-видимому, было известно еще в Древнем Египте. Размеры пирамид (середина III тысячелетия до нашей эры) также подчиняются правилу золотого сечения: сторона квадрата в основании пирамиды относится к ее высоте как φ. Вообще, пирамиды таят в себе много загадок. В различных параметрах пирамид "зашифрованы" много удивительных знаний (как, например, расстояние от Земли до Солнца), расположение пирамид в точности соответствует звездной карте созвездия Орион во времена постройки пирамид, и т. д. Более того, до сих пор неизвестно, каким образом были построены пирамиды: даже современные технологии не позволяют перемещать на десятки километров каменные глыбы весом в тысячи тонн, а также разрезать их и "подгонять" друг к другу так, что между ними невозможно вставить даже лезкие бритвы.

С золотым сечением связано много интересных соотношений и фактов. Так, в уже упоминавшейся формуле Бине нетрудно увидеть число φ. Золотое сечение можно выразить, например, как

φ = 2 cos π5 ,

s

r

φ = 1 + 1 + q1 + √. . ..

В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении.

Не только в человеческой деятельности, но и в природе мы постоянно можем встретить золотое сечение. Так, золотому сечению равны отношение длины тела и длины хвоста ящерицы, расстояния между листьями на ветке также относятся как золотое сечение. Параметры человеческого тела также связаны с золотым сечением. Так, точка на переносице (между глаз) делит лицо в пропорции φ. По высоте человеческое тело делится пупком в отношении, близком к φ: статистические данные показывают, что у мужчин это отношение в среднем равно 13:8, а у женщин 8:5 (числа Фибоначчи!). Подобных соотношений можно привести достаточно много. Разумеется, у каждого конкретного человека параметры могут отклоняться от идеала, но чем ближе соотношение отдельных частей тела к числу φ, тем более красивой и гармоничной выглядит для нас фигура человека.

Золотым сечением серьезно интересовался Леонардо да Винчи и использовал его в своих картинах.

Нередко золотое сечение называют "божественной гармонией", считая его неким гармонизирующим началом, лежащим в основе мироздания. Так или иначе,

23

но число φ, очевидно, является одной из универсальных математических констант, наряду с числами π и e.

Как мы видим, весьма простые математические модели (числа Фибоначчи и золотое сечение), изначально составленные для весьма частных задач (задача о разможении кроликов и о делении отрезка), в результате описывают огромное количество объектов и закономерностей реального мира. Такая ситуация лишний раз показывает могущество математики, а также иллюстрирует принцип единства моделей.

7. Модель народонаселения Мальтуса

Исторически весьма известной математической моделью, связанной как с биологией, так и с экономикой, была модель народонаселения, опубликованная в 1798 году английским ученым Томасом Мальтусом.

Коротко говоря, суть теории Мальтуса в том, что численность населения Земли (и отдельных регионов) растет в геометрической прогрессии, а продовольственные ресурсы — в арифметической прогрессии, что неизбежно должно привести к голоду и обнищанию населения.

Пусть x(t) — численность населения в момент времени t. Конечно, переменная x(t) может принимать только целочисленные значения, однако, поскольку речь идет о достаточно больших значениях этой величины, удобно вместо дискретной рассмотреть непрерывную модель, считая x(t) достаточно гладкой функцией непрерывного аргумента t.

За промежуток времени [t, t + ∆t] численность населения изменится за счет рождаемости и смертности. Естественно считать, что как количество родившихся, так и количество умерших за этот промежуток времени пропорционально количеству населения и длине отрезка времени. Поэтому

x(t + ∆t) − x(t) = Rx(t)∆t − Sx(t)∆t,

где R — коэффициент рождаемости, а S — коэффициент смертности. Поделив обе части равенства на ∆t и перейдя к пределу при ∆t → 0, получим уравнение

x′(t) = (R − S)x(t).

Это уравнение является математической моделью изменения численности населения по Мальтусу. Решая дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, будем иметь x(t) = Ce(R−S)t. Если нам известна численность населения в некоторый начальный момент времени, т. е. имеется начальное условие x(0) = x0, то, очевидно, C = x0, и окончательно получим

x(t) = x0e(R−S)t.

24

Очевидно, в случае R < S численность народонаселения убывает и стремится к нулю, а при R > S возрастает и стремится к бесконечности. Возрастание происходит очень быстро, по экспоненте.

Может возникнуть вопрос: Мальтус говорил о росте народонаселения в геометрической прогрессии, а его модель дает экспоненциальный рост. Какова связь между экспоненциальным ростом и геометрической прогрессией? Геометрическая прогрессия — дискретная последовательность, характеризующаяся тем, что отношение двух соседних членов прогрессии есть константа (знаменатель прогрессии). Давайте дискретизируем полученную экспоненциальную модель. Если мы будем считать время не непрерывно меняющимся, а принимающим дискретные значения 0, ∆t, 2∆t, . . . , n∆t, . . ., то численность населения в эти моменты будет представлять собой некую последовательность, а отношение двух соседних чле-

нов последовательности даст x0e(R−S−)(n+1)∆t = e(R−S)∆t, то есть константу. Таким

x0e(R S)n∆t

образом, дискретизация экспоненциального закона приводит нас к геометрической прогрессии. Можно сказать, что экспоненциальный закон и геометрическая прогрессия — это две разных модели (непрерывная и дискретная соответственно) одного и того же процесса.

Удивительно, но для многих развивающихся стран (в частности, в Африке) в определенные периоды времени модель Мальтуса оказалась вполне адекватной.

Конечно, признать эту модель адекватной в целом нельзя. Численность населения в принципе не может стремиться к бесконечности: рано или поздно наступит нехватка ресурсов, да и чисто физически расместить на Земле бесконечно много людей невозможно. Впрочем, именно об этом и говорил Мальтус: рост населения вступает в противоречие с нехваткой ресурсов.

Основной недостаток модели Мальтуса в том, что коэффициенты рождаемости и смертности R, S считаются постоянными. Между тем ясно, что, например, в периоды войн, эпидемий, неурожая коэффициент смертности может существенно возрасти, а коэффициент рождаемости уменьшиться. Более того, в разных регионах эти коэффициенты могут сильно отличаться друг от друга, в зависимости от традиций, природных условий и уровня экономического развития региона. Наконец, именно нехватка ресурсов в некоторый момент времени должна сильно повлиять на значение этих коэффициентов. Таким образом, модель Мальтуса нельзя признать адекватной.

Между тем, модель Мальтуса породила целое направление в экономике и политике, получившее название "мальтузианство". Приверженцы этого направления ратуют за всемерный контроль над рождаемостью, ограничение прав на рождение детей и т.д. Крайней формой мальтузианства является более современное течение

— неомальтузианство, приверженцы которого порой опускаются до откровенного нацизма, считая, что надо дать развиваться некоторой наиболее здоровой и "совершенной" расе и всячески препятствовать (вплоть до уничтожения) росту численности других рас.

Справедливости ради надо сказать, что сам Мальтус был далек от подобных выводов из своей теории. Он был весьма набожным человеком, вполне искренне

25

обеспокоенным результатами своих исследований.

Модель Мальтуса — безусловно, весьма простая и малоадекватная, однако даже она дала почву для размышления, для изучения проблемы, и тем самым способствовала развитию науки. Важно также понимать, что слишком прямолинейное толкование математических моделей может привести к пагубным последствиям.

Каков же современный взгляд на проблемы демографии? Если отбросить предположение о постоянстве коэффициентов R и S, кривая роста населения уже не похожа на экспоненту. Кроме исторически случайных колебаний коэффициентов, связанных с войнами, эпидемиями, террором и прочими бедами, современные исследования выделяют в последние 150–200 лет долговременный тренд, состоящий в снижении как смертности, так и рождаемости. Таким образом, зависимость численности населения от времени в различных странах независимо от их уровня развития, религии и традиций описывается S-образыми кривыми.

Одна из них — кривая Гомперца, введенная английским математиком и статистиком Бенджамином Гомперцем в 1825 году. Она описывается уравнением

P (t) = a + bcdt, где 0 < c, d < 1.

P (t)6 a + b

a

-

t

Рис. 5

Легко проверить, что кривая имеет две горизонтальные асимптоты: P → a при t → −∞, P → a + b при t → +∞. В средней части кривая похожа на экспоненту.

Нулевой момент на графике соответствует первому демографическому переходу. В этот момент вследствие развития медицины, доступа населения к чистой воде, некоторого увеличения уровня жизни беднейших слоев населения резко падает коэффициент смертности, особенно детской. В этот момент начинается экспоненциальный рост населения. В Англии первый демографический переход случился как раз в конце XVIII — начале XIX века, так что Мальтус его и наблюдал. Однако на графике мы видим, что участок экспоненциального роста сменяется участком замедления, а потом и практического прекращения роста

26

населения. Это явление известно как второй демографический переход. Его причина — падение коэффициента рождаемости до 2–3 детей на одну женщину. Второй демографический переход наблюдается во всех странах, причем чем позже он начинается, тем быстрее происходит. В качестве толчка к этому переходу исследователи отмечают получение женщинами доступа к образованию, хотя бы начальному.

В настоящий момент численность населения Земли практически стабилизируется, таким образом проблема “мальтузианского голода” снята — если в современном мире существует голод, то не по причине его перенаселения.

8. Модель "хищник — жертва" Лотки — Вольтерры.

Рассмотрим знаменитую модель, положившую, по-видимому, начало развитию математических моделей в биологии.

Вито Вольтерра (1860–1940) — выдющийся итальянский математик и физик, один из создателей (вместе с И. Фредгольмом) теории интегральных уравнений, занимался также дифференциальными уравнениями, функциональным анализом, математическими методами в биологии.

Альфред Джеймс Лотка (1880–1949) — американский математик, физикохимик, статистик, демограф, биолог, основатель современного демографического анализа.

Модель Лотки — Вольтерры была разработана Лоткой в 1925 и Вольтеррой в 1926 годах независимо друг от друга.

Модель "хищник — жертва" — модель межвидовой конкуренции, где рассматривается одна из простейших ситуаций сосуществования двух популяций, одна из которых (жертвы) имеют неограниченные ресурсы для жизни (неограниченный растительный корм), а вторая популяция (хищники) питается исключительно "жертвами". Считается, что обе популяции сосуществуют в некотором замкнутом ареале, где отсутствуют какие-либо другие виды. Разумеется, такое предположение идеализирует ситуацию, однако модель оказывается достаточно адекватной для многих ситуаций, а главное, является основой для более сложных моделей межвидовой конкуренции.

Как правило, для удобства под жертвами мы понимаем зайцев, а под хищниками

— волков.

Обозначим через x(t) численность жертв, а через y(t) численность хищников в момент времени t. Как и в модели Мальтуса, будем считать функции x(t), y(t) непрерывными, т .е. будем составлять непрерывную модель. Такой подход становится особенно оправданным, если под x(t), y(t) понимать не количество особей,

асуммарную массу (биомассу) соответствующего вида.

Видеальной ситуации, при отсутствии хищников, скорость размножения

жертв (при неограниченном количестве корма) пропорциональна численности: x′(t) = αx(t). Что касается хищников, то при отсутствии жертв они не имеют

27

корма, а следовательно, вымирают, и скорость вымирания также пропорциональна численности: y′(t) = −γy(t). Cовместное существование двух видов означает, что хищники и жертвы регулярно встречаются друг с другом, в результате чего хищник поедает жертву. При этом, очевидно, количество жертв уменьшается, а хищник получает жизненные силы для размножения (в другой интерпретации: биомасса жертв уменьшается, а хищников — увеличивается). Очевидно, количество встреч хищников и жертв пропорционально произведению x(t)y(t). Таким образом, получаем систему дифференциальных уравнений

где α, β, γ, δ > 0.

Система (11) с естественными начальными условиями x(0) = x0, y(0) = y0 — это и есть модель "хищник — жертва" Лотки — Вольтерры.

Перейдем к анализу системы (11). Разложив на множители правые части, при-

Очевидно, что система имеет две стационарные точки: (0, 0) и (γ/δ, α/β). В этих точках правые части (а значит, и левые части) обращаются в ноль, т. е. производные x′, y′ равны нулю, а значит, функции x(t), y(t) остаются постоянными. Разумеется, точка (0, 0) не представляет интереса. Важно другое: при x0 = γ/δ и y0 = α/β численность как жертв, так и хищников остается постоянной. В этом случае мы имеем ситуацию равновесия.

Поделив уравнения друг на друга (считая теперь, что правые части не обращаются в ноль), получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получим в неявной форме общее решение:

Используя начальные условия, можно найти константу C.

К сожалению, полученное нами решение не дает наглядного представления о характере процесса. Вернемся к исходной системе (11). Будем изображать решение как траекторию на фазовой плоскости XOY (Рис. 6). Отметим стационарную точку (γ/δ, α/β) и проведем через нее горизонтальную и вертикальную прямые. Тогда первая четверть поделится на 4 области. Возьмем начальную точку (x0, y0), например, в левой нижней области (для остальных областей рассуждения аналогичны). Тогда в начальный момент у нас x < γ/δ, а y < α/β. Из системы (12)

28

видно, что тогда x(t) возрастает, а y(t) убывает. Когда траектория достигнет вертикальной прямой x = γ/δ, производная y′(t) обратится в ноль, а затем станет положительной. Следовательно, y(t) начнет возрастать (при этом x(t) по-прежнему останется возрастающей функцией). Таким образом, траектория в правой нижней области пойдет "направо вверх". Продолжая подобные рассуждения, увидим, что траектория пройдет через все четыре области, причем можно доказать, что она вернется в исходную точку. В самом деле, зафиксировав значение x, из вида решения (13) получим, что α ln y − βy = const. Но левая часть строго монотонна (поскольку ее производная α/y −β в левой нижней области строго отрицательна). Значит, при фиксированном значении x переменная y принимает единственное значение. Таким образом, вернувшись к исходному значению икса, мы неизбежно попадем в начальную точку, т.е. траектория будет образовывать замкнутую кривую.

Всевозможные траектории будут представлять собой семейство замкнутых непересекающихся кривых.

y

6

s

α/β

s(x0,y0)

Рис. 6

Таким образом, модель Лотки — Вольтерры позволяет сделать важнейший вывод: численность как жертв, так и хищников меняется периодически. В целом система имеет характер динамического равновесия. Численность и жертв, и хищников — периодические функции с одним и тем же периодом, но со "сдвигом по фазе" (см. Рис. 6).

Модель Лотки — Вольтерры оказывается достаточно адекватной, по крайней мере в смыле качественной адекватности. Она также положила начало другим,

29

более точным исследованиям и моделям. Разумеется, эта модель не является совершенной. Она не совсем удовлетворяет требованию робастности (устойчивости), и, как следствие, оказывается недостаточно адекватной в количественном смысле.

y 6

y(t)

x(t)

-

x

Рис. 7

В самом деле, если в начальный момент численность жертв и хищников достаточно велика, то, очевидно, небольшое изменение начальных данных не должно сильно влиять на решение. Например, для начальных данных (x0, y0) и (x0 +1, y0) решения должны асимптотически сближаться при t → +∞. Однако, траектории, начавшиеся в разных точках, не только не пересекаются, но и не будут асимптотически сближаться. Траектория, исходя из некоторой точки и совершив полный "оборот", вернется в ту же самую точку.

На основе модели Лотки — Вольтерры впоследствии были построены другие, уточняющие ее, модели. Наиболее известной (и, видимо, наиболее адекватной) является модель Холлинга — Тэннера (около 1966 г.):

− x(t)

где все коэффициенты — положительные числа.

Не проводя подробного исследования этой модели, скажем, что она имеет принципиальное отличие от модели Лотки — Вольтерры: в этой модели одна из траекторий оказывается предельным циклом, т.е. все остальные траектории асимптотически приближаются к этому предельному циклу. Модель Холлинга — Тэннера оказалась более адекватной как в качественном, так и в количественном отношении, а также удовлетворяет требованию робастности.

Наконец, нельзя не упомянуть еще одну модель, разработанную в 1936 году великим советским математиком А. Н. Колмогоровым. Эта модель имеет следующий вид:

30