Основы математического моделирования. Учебное пособие-1

В качестве примера, вернемся к функционалу (22), т. е. к задаче о брахисто-

√

или

f 1 + (f′)2 = const.

Нетрудно заметить, что это уравнение совпадает с уравнением (19). Таким образом, как модель, предложенная Ньютоном, так и модель, построенная с помощью вариационного исчисления, приводят к одним и тем же результатам.

Вариационное исчисление широко применяется для решения различных геометрических (в частности, изопериметрических) задач. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача о наименьшей поверхности вращения. Найти кривую с заданными граничными точками, от вращения которой вокруг оси абсцисс образуется поверхность наименьшей площади.

z

Рис. 11

Будем считать, что кривая y = f(x) целиком лежит выше оси OX, определена и дифференцируема на [a, b], Площадь поверхности вращения

41

Соответственно, x = Ct + C1. Таким образом, мы получаем решение уравнения в параметрической форме:

Очевидно, это решение можно выразить и в явной форме:

y = C ch x − C1 . C

Используя условия закрепления концов кривой (y(a) = A, y(b) = B), можно найти константы C, C1. Кривая вида (28) носит название цепная линия, поскольку она описывает форму цепи, подвешенной за концы в двух заданных точках.

Поверхность, полученная вращением цепной линии (т. е. поверхность с наименьшей площадью) носит название катеноид.

Мы рассмотрели лишь одну задачу вариационного исчисления: задачу с закрепленными границами. Возможны и другие постановки задач: задача с подвижными границами, задача для функционала от нескольких независимых переменных и т.д. Кроме установленного нами необходимого условия рассматриваются достаточные условия. Таким образом, круг задач, решаемых вариационным исчислением, весьма широк.

12. Уравнение колебаний струны

Неиссякаемым источником задач, требующих составления математических моделей, является физика. Любое физическое явление или физический процесс

42

связаны с изучением поведения неких переменных величин. Основная характеристика любой переменной величины — скорость ее изменения, т. е., говоря математическим языком, ее производная. Поэтому изучение физических процессов приводит к выяснению соотношений между переменными и их производными, т. е. к дифференциальным уравнениям. Поскольку физический процесс разворачивается в пространстве и во времени, то в роли независимых переменных, как правило, выступает время t и пространственные координаты x, y, z (во многих задачах, в силу симметрии, можно ограничиться не тремя, а одной или двумя пространственными переменными). Поэтому возникающие дифференциальные уравнения содержат несколько (как правило, от двух до четырех) независимых переменных, т.е. являются уравнениями в частных производных. Другой термин для таких уравнений — уравнения математической физики.

В качестве примера задач математической физики и, соответственно, моделей, описывающих физические процессы, рассмотрим знаменитую "задачу о звучащей струне". В начале и середине XVIII века ряд выдающихся математиков, среди которых были Даламбер, Д. Бернулли, Эйлер, Лагранж, заинтересовались законами, по которым струны музыкальных инструментов издают те или иные звуки. Представьте себе струну скрипки, гитары и т. д. Если мы дотронулись до струны, она начинает издавать вполне определенный звук. Почему и как звучит струна — этот вопрос заинтересовал названных ученых. Каждый из перечисленных ученых внес свой вклад в решение этой задачи, причем каждый разработал свой, отличный от других, метод решения. Обсуждение этих решений привело к многочисленным спорам (в частности, по вопросу о том, что следует в математике называть функцией, как понимать сумму бесконечного числа слагаемых и т. д.). Впоследствии эти споры и обсуждения привели к строгому определению понятия функции, к возникновению теории рядов Фурье, функционального анализа и ряда других разделов математики.

u

6

Рис. 12

Перейдем к построению математической модели "звучащей струны". Рассмотрим тонкую струну, концы которой закреплены в точках 0 и l оси OX. В начальный момент струна имеет форму отрезка [0, l] (cм. Рис. 12). Дотронувшись до струны, мы отклонили ее от положения равновесия, и она приняла вид некоторой кривой,

43

концы которой по-прежнему находятся в точках 0, l. Договоримся о некоторых допущениях. Будем считать струну бесконечно тонкой, упругой и гибкой. (Гибкость означает, что струна не сопротивляется изгибу). Будем считать, что движение струны происходит в одной плоскости, а смещение каждой точки струны происходит в этой плоскости в направлении перпендикуляра к оси OX. Тогда положение каждой точки струны в каждый момент времени однозначно задается отклонением точки в направлении второй оси координат, которую обозначим за Ou. Следовательно, положение струны в любой момент времени описывается функцией u(x, t).

Еще одно важнейшее предположение состоит в том, что отклонение струны от положения равновесия мало. В частности, это означает, что величинами u2, u3, . . .

можно пренебречь по сравнению с u. Кроме того, малость отклонений подразумевает, что углы наклона касательных к графику u(x, t) близки к нулю, а значит, можно считать, что u′x = tg φ sin φ φ (где φ — угол наклона касательной).

Перейдем непосредственно к выводу уравнения. Возьмем на отрезке [0, l] произвольную точку x и дадим ей сколь угодно малое приращение dx. Рассмотрим отклонение участка [x, x + dx] в произвольный момент времени t. На отклонив-

Обозначим углы наклона векторов T (x, t) и T (x + dx, t) к оси OX через α и β

соответственно. Поскольку движение точек струны происходит лишь в направлении, перпендикулярном оси OX, то, проектируя силы на ось OX, получим

достаточно малыми, то cos α = 1 −α /2 + . . . 1 и, аналогично, cos β 1. Тогда T (x+dx, t) = T (x, t) с точностью до бесконечно малых высокого порядка. Таким образом, сила натяжения струны не зависит от x.

Покажем, что сила натяжения не зависит также и от времени. Длина отрезка [x, x + dx] равна dx. Длина этого же участка в отклоненном состоянии равна

Как уже было сказано, u′x φ, а значит, в силу малости угла, величиной (u′x)2 можно пренебречь. В итоге L ≈ dx, т.е. длина участка струны не меняется. Итак, струну можно считать нерастяжимой. По закону Гука изменение силы натяжения пропорционально растяжению. Значит, при отсутствии растяжения, сила натяжения не меняется со временем. Итак окончательно, сила натяжения струны не зависит ни от переменной x, ни от времени t, т. е. T (x, t) = T = const.

Пусть F (x, t) — плотность внешней силы, действующей на струну (плотность силы — величина, интеграл от которой по некоторому участку струны дает силу, действующую на этот участок).

Спроектируем силы, действующие на рассматриваемый нами участок струны,

44

на ось Ou. По второму закону Ньютона получим

где m — масса участка струны, а a — ускорение. Как уже говорилось, sin β −sin α можно заменить на

Перейдем теперь к правой части уравнения (29). Ускорение, как известно, есть вторая производная u′′tt. Обозначим через ρ(x)линейную плотность материала, из которого изготовлена струна (линейная плотность есть масса единицы длины). В случае постоянной плотности (т. е. однородной струны) масса рассматриваемого участка равнялась бы ρdx. С учетом возможной неоднородности струны, правая часть (29) примет вид интеграла от ρ(x) u′′tt(x, t). В итоге из уравнения (29) получим

Собирая интегралы вместе, придем к уравнению

x+dx

Z

(T u′′xx + F (x, t) − ρu′′tt) dx = 0.

x

Поскольку отрезок [x, x + dx] – произвольный, отсюда следует, что

T u′′xx + F (x, t) − ρu′′tt = 0,

или, деля обе части на ρ,

u′′tt = Tρ u′′xx + Fρ .

Для краткости обозначим T/ρ = a2 (поскольку, исходя из физического смысла, это выражение заведомо положительно), а F/ρ = f. Окончательно получим уравнение, которое носит название уравнение колебаний струны:

Уравнение (30) можно назавать математической моделью колебаний струны. Примечательно, что это уравнение (под разными названиями) описывает огромное количество физических процессов. Среди них так называемое телеграфное

45

уравнение, описывающее силу тока (а также напряжение) в электрическом проводе; уравнение акустики, описывающее процесс распространения звуковых волн; уравнение гидродинамики, описывающиее потенциал жидкости (или газа), движущейся по длинному узкому каналу (вода в реке или канале, нефть в нефтепроводе, газ в газопроводе) и т. д.

Уравнение (30) дает качественно адекватную модель названных процессов. Для получения количественно адекватной модели следует задать дополнительные условия, позволяющие однозначно найти функцию u(x, t). Поскольку уравнение содержит вторые частные производные по переменным x и t, следует задать два краевых условия u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, которые говорят о том, что концы струны закреплены, а также два начальных условия u(x, 0) = φ(x) и u′t(x, 0) = ψ(x) (где φ(x), ψ(x) — известные функции), задающие начальное положение струны и начальную скорость точек струны.

Окончательно, модель колебаний струны выглядит следующим образом:

u′(x, 0) = ψ(x)

t

x [0, l], t [0, +∞)

Мы не останавливаемся сейчас на точной формулировке задачи, которая должна включать в себя требования на гладкость функции u(x, t).

Кроме (31), возможны другие постановки задач для уравнения колебаний. Так, вместо рассмотреной нами задачи с закрепленными концами (краевой задачи первого рода) можно рассмотреть задачу со свободными концами u′x(0, t) = u′x(l, t) = 0 (краевая задача второго рода). При изучении движения нефти по нефтепроводу вдали от его концов, можно считать, что нефтепровод бесконечен, т. е. x (−∞, +∞). Соответственно, в этом случае необходимость в краевых условиях отпадает, задача выглядит следующим образом:

x (−∞, +∞), t [0, +∞)

Задача о колебаниях струны требует рассмотрения всего одной пространственной переменной x. Существуют процессы, существенно связанные с двумя или тремя пространственными переменными: колебания мембраны, распространение звуковых волн в трехмерном пространстве и т.д. В этом случае уравнение колебаний принимает вид

где ∆ – оператор Лапласа, представляющий собой сумму вторых производных по пространственным переменным: ∆u = u′′xx + u′′yy + u′′zz в трехмерном случае, ∆u = u′′xx + u′′yy в двухмерном случае, ∆u = u′′xx в одномерном случае.

46

При некоторых естественных условиях на исходные данные, каждая из названных задач имеет решение, притом единственное.

13. Метод Даламбера и метод Фурье

1, Метод Даламбера.

Рассмотрим два метода решения задач, связанных с уравнением колебаний струны. Для простоты будем считать, что внешнее воздействие на струну отсутствует (точнее, имеет место только в начальный момент времени). Тогда функция f ≡ 0, получаем однородное уравнение

Рассмотрим задачу на бесконечной прямой (например, движение нефти или газа по нефтепроводу или газопроводу). Тогда, как уже отмечалось, мы задаем только начальные условия

Интегрируя уравнение (36) по η, будем иметь u′ξ = f(ξ) (где f – произвольная функция, зависящая только от ξ, но не от η). Интегрируя второй раз по ξ, придем к равенству

u(ξ, η) = f1(ξ) + f2(η),

где f1, f2 — произвольные дифференцируемые функции.

Возвращаясь к переменным (x, t), получим окончательно общее решение уравнения (34):

Это решение имеет наглядный физический смысл. Рассмотрим функцию вида f2(x − at) и представим себе графики этой функции в разные моменты времени.

47

В начальный момент t = 0 это будет график функции f2(x), а в момент времени t

— график f2(x − at), который может быть получен из графика f2(x) смещением на величину at направо вдоль оси абсцисс. Таким образом, функцию f2(x − at) можно интерпретировать как волну, бегущую направо со скоростью a.

Аналогично, функция f1(x + at) является волной, бегущей налево со скоростью a.

Таким образом, любое решение однородного уравнения колебаний (34) есть результат сложения двух волн, одна из которых бежит направо, а другая налево со скоростью a.

Подставим решение (37) в начальные условия:

f1(x) + f2(x) = φ(x) af1′(x) − af2′(x) = ψ(x).

Поделив второе уравнение на a и проинтегрировав, выразим функции f1, f2:

Тогда, подставив полученные функции в решение (29), придем к формуле

x−at

Формула (38) дает решение задачи с начальными условиями для уравнения колебаний на прямой. Эта формула носит название формула Даламбера. Из формулы Даламбера следует, что решение поставленной задачи единственно (поскольку любое решение уравнения колебаний имеет вид (37), а при подстановке в начальные условия мы однозначно приходим к формуле (38)). Для существования решения в виде (38) нужно потребовать, чтобы функции φ, ψ были достаточно гладкими.

Метод Даламбера показывает, что наша модель для задачи о колебаниях бесконечной струны является как качественно, так и количественно адекватной. Качественная адекватность обеспечивается формулой (37), показывающей структуру и физический смысл любого решения уравнения колебаний, а количественная адекватность видна из формулы Даламбера, в явном виде представляющей единственное решения начальной задачи на прямой.

Метод Даламбера удобен для решения задачи на бесконечной прямой. Для задачи на отрезке (в частности, для исходной задачи о струне) он требует уточнений: каждая из двух волн, добегая до конца отрезка, отражается и бежит в противоположном направлении; добегая до другого конца, волна снова отражается и т. д. При рассмотрении процесса колебаний в течение достаточно большого

48

промежутка времени мы получим наложение большого количества волн. Если рассматривать t [0, +∞), получим наложение бесконечного количества волн, т. е. фактически ряд.

Более удобным методом решения задачи для отрезка (т. е. для конечной струны) является метод разделения переменных, впервые предложенный И. Бернулли, а затем получивший свое обоснование в работах Фурье. Этот метод носит название метода Фурье (или метода разделения переменных). Подчеркнем, что этот метод оказывается применимым не только к решению задач для уравнения колебаний, но и для большого количества других задач математической физики.

2. Метод Фурье.

Рассмотрим задачу с начальными и краевыми условиями для уравнения колебаний (т. е. исходную задачу о звучащей струне):

u′(x, 0) = ψ(x)

t

Временно "забудем" о начальных условиях и будем искать нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение уравнения, удовлетворяющее краевым условиям. Будем искать решение в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, другая — только от t (отсюда название метода — метод разделения переменных):

u(x, t) = X(x) · T (t).

Подставим это выраженеи в уравнение:

X(x)T ′′(t) = a2X′′(x)T (t),

Заметим, что левая часть полученного уравнения зависит только от x (а значит, не зависит от t), а правая зависит только от t (а значит, не зависит от x). Но тогда обе части уравнения не зависят ни от x, ни от t, т. е. являются константой, которую обозначим через −λ. Таким образом, получаем равенство

49

Используем краевые условия:

u(0, t) = X(0) · T (t) = 0, u(l, t) = X(l) · T (t) = 0.

Поскольку нас интересуют нетривиальные решения, то функция T (t) не должна тождественно равняться нулю, а значит, X(0) = 0, X(l) = 0. Итак, мы приходим к следующей постановке проблемы: найти те значения параметра λ, при которых задача

X′′(x) + λX(x) = 0

(42)

X(0) = X(l) = 0

имеет нетривиальное рашение.

Задачи такого рода для дифференциальных уравнений называются спектральными задачами. Те значения параметра λ, при которых задача имеет нетривиальное решение, называются собственными значениями, а соответсвующие решения — собственными функциями.

Перейдем к решению спектральной задачи (42), которая имеет для нас вспомо-

гательный характер.

При λ = 0 имеем X′′(x) = 0, а значит, X(x) = Ax + B. Но из краевых условий получим, что A = B = 0, т. е. задача имеет только тривиальное решение

X(x) = 0.

При λ < 0 характеристическое уравнение k2 +λ = 0 имеет два действительных

√

корня λ1,2 = ± −λ, а значит, общее решение уравнения примет вид X(x) =

√ √

Ae −λx + Be− −λx, где A, B — произвольные константы. Подставляя в краевые условия, получим

√ √

X(0) = A + B = 0, X(l) = Ae −λl + Be− −λl = 0.

Очевидно, эта система имеет единственное решение A = B = 0, и, следовательно, X(x) ≡ 0. Нас же интересуют только нетривиальные решения. Значит, собственных значений λ 0 спектральная задача не имеет.

каждому натуральному n можно сопоставить собственное значение и соответствующую собственную функцию:

50