Основы математического моделирования. Учебное пособие-1

Отметим маленький нюанс: дифференциальное уравнение в задаче (34) является линейным, поэтому любое решение при умножении на константу остается решением. В связи с этим, при записи собственных функций постоянный множитель принято опускать (подразумевая, что при умножении собственной функции на константу мы снова будем получать собственную функцию).

Напомним, что методом разделения переменных мы свели исходную задачу к двум: спектральная задача для функции X(x) и уравнение для функции T (t). Вернемся к уравнению (41) для функции T (t) с учетом найденных собственных

Мы искали решение уравнения колебаний, удовлетворяющее краевым условиям,

при каждом натуральном n являются решениями уравнения колебаний и удовлетворяют краевым условиям.

Уравнение колебаний — линейное, поэтому любая линейная комбинация решений также является решением (очевидно, также удовлетворяющим краевым условиям). Поскольку решений бесконечно много, то можем составить ряд

который чисто формально удовлетворяет как уравнению, так и краевым условиям. Слово "формально" означает, что мы сейчас не задаемся вопросом о сходимости ряда и о возможности дважды почленно дифференцировать его по переменным x и t.

До сих пор мы не рассматрвали начальные условия. Подставим ряд (45) в начальные условия:

Полученные при этом ряды являются тригонометрическими рядами Фурье по синусам для функций φ, ψ. Если эти функции удовлетворяют каким-либо достаточным условиям разложимости в ряд Фурье, то коэффициенты An, Bn этих разложений находятся единственным образом по стандартным формулам коэффициентов Фурье. Подставив найденные коэффициенты в ряд (45), получим окончательно решение нашей исходной задачи (39). Впрочем, подчеркнем, что найденное

51

нами решение требует обоснования (доказательства сходимости и возможности почленного дифференцирования ряда).

Функция, описывающая форму струны, является суммой бесконечного числа функций вида (44), периодичных как по x, так и по t. Рассмотрим каждую из функций un(x, t). В любой фиксированный момент времени эта функция представляет собой синусоиду. Эта функция обращается в ноль в точках вида xk = nk l, где k = 0, 1, . . . , n. Таким образом, точки xk остаются неподвижными (эти точки называют узлами). Любая другая точка струны с течением времени совершает периодические колебания "вверх-вниз" с частотой ωn = πnal и амплитудой pA2n + Bn2 sin πnl x . Такой тип движения с неподвижными узлами и колебательными движениями всех остальных точек принято называть стоячими волнами.

Подытожим. Движение струны складывается из бесконечного числа колебательных движений (стоячих волн) с частотами ωn = πnal . Человеческий слух воспринимает лишь определенный диапазон частот. В итоге мы слышим лишь звучание струны с частотой ω1 = πal (его называют основным тоном струны, именно этот тон имеет наибольшую энергию), а также еще 2–3–4 частоты, которые носят название обертона и которые делают основной тон струны более богатым и красочным.

Отметим, что частота колебаний струны зависит от длины струны l. На этом основаны некоторые приемы, используемые музыкантами: например, зажав струну точно посередине, мы тем самым в два раза изменим ее длину и, соответственно, изменим частоту колебаний (такой прием носит название флажолет). На самом

q

деле частота зависит также от величины a = Tρ , а значит, от материала, из которого изготовлена струна, а также от ее толщины (влияющей на значение линейной плотности).

Итак, мы рассмотрели модель колебаний струны. Практика показывает, что эта модель является во всех смыслах адекватной. Два рассмотренных нами метода приспособлены для решения разных задач: метод Даламбера предпочтителен для "бесконечной" струны, а метод Фурье — для отрезка.

В заключение скажем, что задача о звучащей струне оказала огромное влияние на дальнейшее развитие математики. Она привела к уточнению понятия функции, к возникновению теории рядов (в первую очередь — рядов Фурье), а в дальнейшем изучение рядов Фурье привело к созданию функционального анализа, а также канторовской теории множеств.

14. Обзор математических моделей в социологии

Математика уже давно и достаточно успешно применяется в социологических исследованиях. Рассмотрим кратко три основных направления применения математики в социологии.

52

1. Статистическая обработка больших объемов данных

В современном обществе большую роль играют различные социологические опросы, референдумы, а также перепись населения. Проведение подобных мероприятий приводит к необходимости обработки больших массивов данных. При этом, разумеется, приходится прибегать к методам математической статистики.

Наиболее простым (с точки зрения математики) из перечисленных мероприятий является референдум. Все взрослое население страны, имеющее право голоса, отвечает на один и тот же вопрос. Обработка результатов, соответственно, состоит просто в подсчете голосов “за” и “против”. Однако на деле даже здесь проводится более тонкий анализ результатов, а именно, сравнение результатов по разным регионам с применением корреляционного анализа. Например, интересен вопрос: как коррелируются между собой мнение городского и сельского населения, мнение жителей столичных городов с мнением “провинции ” и т. д.

Социологический опрос отличается от референдума двумя особенностями: с одной стороны, опрашивается не все население, а лишь часть его. Это порождает вопрос о том, как грамотно сделать выборку, чтобы она адекватно отражала мнение всего населения. Иными словами, надо каким-то образом организовать репрезентативную выборку. Однако эта проблема лежит не в области математической статистики, а в области социологии.

С другой стороны, социологический опрос позволяет узнать мнение населения не по одному, а сразу по нескольким вопросам, а также получить информацию об опрашиваемых людях (пол, возраст, регион, возможно, уровень образования и т. д.). Таким образом, по сравнению с референдумом, социологический опрос теряет в широте охвата населения, но зато позволяет получить не только ответ на поставленные вопросы, но и массу полезной сопутствующей информации. Понятно, что при этом используется корреляционный анализ. Например, можно выяснить, как коррелируются между собой уровень образованности человека и его мнение по заданным вопросам.

Наконец, перепись населения, как и референдум, позволяет охватить все население страны, а с другой стороны, позволяет получить большой объем разнообразной информаици. Фактически, при переписи населения мы получаем моментальный “срез” общества по многим параметрам: возрастной состав, национальный, конфессиональный, половой, профессиональный и т. д. Обработка резальтатов переписи дает большой объем информации для корректировки социальной и экономической политики.

Важно отметить, что в результате проведенной переписи населения мы получаем математическую модель общества, в которой отражаются те и только те аспекты, которые были изначально обозначены в виде вопросов переписи. Можно сказать, что перепись дает нам статическую модель общества. То же самое можно сказать и о референдумах и социологических опросах (хотя здесь модель получается более “бедной”).

53

2. Применение теории графов к анализу социальных сетей

Под социальными сетями мы понимаем не только то, что принято называть социальными сетями в интернете (ВКонтакте, Одноклассники и т. д.), но и политические партии, объединения, клубы по интересам и прочие группы людей, объединенных по какому-либо признаку. К сожалению, в социальных сетях получили распространение весьма негативные явления. Например, через социальные сети в интернете распространяются инструкции по изготовлению самодельной бомбы, инструкция для подростков о том, как совершить суицид, действуют откровенно террористические организации. Эти организации устроены так, что выявить

ираскрыть их бывает весьма сложно. Например, многие подобные организации устроены по принципу “пятерок”, когда каждый участник должен привести с собой пять новых членов организации, в результате чего каждый участник знает только своего непосредственного “начальника” (того, кто привлек его в организацию)

ипять своих подопечных. Тем самым, он может не знать ни руководителей, ни истинных целей организации. Поэтому проблема обнаружения и раскрытия таких организаций является весьма непростой.

Для борьбы с подобными организацями спецслужбы используют теорию графов.

Каждый участник соцсети — вершина графа. Ребра связывают тех участников, между которыми идет обмен сообщениями. Граф может быть как ориентированным (если важно, кто из двоих участников посылал сообщение), так и неориентированным (если важно только наличие связи между двумя участниками), может быть нагруженным (если важны частота или количество сообщений). Заподозрив кого-либо в нежелательной деятельности, спецслужбы изучают соответствующий подграф и стараются выйти на главу преступной организации.

Таким образом, теория графов помогает создать модель, необходимую для работы органов безопасности.

3. Общество как динамическая система

Предыдущие модели являлись статическими (например, перепись населения дает статическую картину общества в конкретный момент времени по нескольким важнейшим параметрам). Между тем, общество — динамически развивающаяся система. Попытки исследовать динамику развития общества приводят к системам дифференциальных уравнений (так называемым динамическим системам).

Для этого прежде всего выделяют набор параметров, характеризующих состояние общества. К таким параметрам можно отнести, например, численность населения страны, ее территорию, процент плодородных земель и степень их плодородности, наличие полезных ископаемых, производительность труда, уровень системы образования, уровень медицины в стране и т. д. Чем больше выделяется параметров, тем более точную модель общества мы можем получить. Далее, рассматривается взаимозависимость параметров (например, как уровень развития образования влияет на производительность труда), в результате чего получаем систему дифференциальных уравнений. Значения параметров в некоторый фик-

54

сированный начальный момент времени играют роль начальных условий. Решая полученную систему, мы можем предсказать пути развития общества.

К сожалению, составление подобных моделей — чрезвыяайно сложная задача. Неясно, сколько и каких именно параметров следует рассматривать. Понятно, что никакое, даже очень большое, количество параметров, не даст нам возможность охватить все стороны жизни общества. С одной стороны, чем больше параметров будет задействовано, тем более адекватную модель мы должны получить. С другой стороны, увеличение количества параметров приводит к увеличению размера системы уравнений и, как следствие, к усложнению задачи ее решения, а также к росту вычислительных ошибок. Кроме того, рассматривая зависимость одного параметра от другого, мы должны знать коэффициент, характеризующий эту зависимость (сравните с моделью Лотки — Вольтерры). Однако на деле совершенно непонятно, откуда мы можем получить точные значения этих коэффициентов (не говоря уже о том, что эти коэффициенты, вообще говоря, не являются постоянными, а меняются с течением времени).

Таким образом, разработка динамических моделей развития общества – задача чрезвычайно сложная. Насколько нам известно, существующие в настоящий момент модели такого типа не могут считаться достаточно полными и адекватными (хотя они все же позволяют увидеть некоторые тенденции развития общества и на основе этого корректировать социальную политику властных структур).

15. Некоторые математические модели в истории

Клиометрика.

В 60–70-е годы XX века возникло новое направление в исторической науке, связанное с использованием математических методов. Это направление получило название клиометрика.(Клио — одна из древнегреческих муз, покровительница истории). Одним из первопроходцев в этом направлении был советский историк Иван Дмитриевич Ковальченко.

Ковальченко, будучи специалистом по аграрной истории России конца XIX — начала XX века, провел кластерный анализ состояния сельского хозяйства губерний европейской части России. Он выделил 19 параметров (таких, как плодородность почвы, средний размер крестьянских хозяйств, удельный вес помещичьих имений, цена на землю и т. д.). Каждый параметр в каждой из губерний оценивался по определенной шкале. В итоге каждая губерния представлялась как точка в 19мерном пространстве. Расстояние между точками рассматривалось в евклидовой метрике.

По степени близости губернии объединялись в группы (кластеры). Несколько кластеров оказались вполне ожидаемыми: группа черноземных губерний, группа нечерноземных, группа южных степных губерний, группа прибалтийских. Особую группу составили столичные губернии: Московская и Петербургская, которые резко отличались как от всех остальных, так и друг от друга. Однако были

55

и странные результаты: очень близкими оказались Воронежская и Саратовская губернии, казалось бы, совершенно различные по своим условиям.

Кроме кластерного анализа, был проведен корреляционный анализ, т. е. исследовалась связь между различными признаками. Так, например, изучалась связь между размером имения и его доходностью. Оказалось, что доходность на 76 процентов зависит именно от размера и только на 24 от всех остальных факторов.

Использовался также регрессионный анализ (если корреляция между признаками велика, то какова конкретно форма зависимости), а также факторный анализ (какие факторы наиболее важны).

В целом использование математических методов в истории открыло новые направления исследований.

Проблема хронологии (проблема "нуль-пункта" в истории).

В современном мире большинство стран используют единое летоисчисление "от Рождества Христова". Однако даже сейчас ряд мусульманских стран ведут отсчет от хиджры (переселения Мухаммеда из Мекки в Медину), некоторые другие страны — "от сотворения мира". Например, зимой 2024 года в мусульманских странах 1445 год хиджры, в Израиле 5784 год от сотворения мира, а в Японии

— 6 год эры Рэйва (в переводе “прекрасная гармония”), отсчитываемой от восшествия на престол нынешнего императора. Если же посмотреть на древние и средневековые цивилизации, то видим, что использовались различные системы летоисчисления. С этим связано большое количество проблем. Изучая какое-то событие древней истории, например, сражение между двумя противоборствующими армиями, можем прочитать в одном источнике, что в такой-то год правления такого-то императора произошло сражение, в котором доблестные войска этого императора одержали блестящую победу. В другом же источнике (с другой стороны) может быть сказано, что в таком-то году правления такого-то императора (разумеется, не того, что в первом случае) произошла битва, в которой сокрушительную победу одержала армия этого императора. Возникает вопрос: одно и то же событие описывается в этих источниках или же разные; а если одно и то же, то как его привязать по времени к нашему летоисчислению? Здесь помогает корреляционный анализ: проводится сравнение отдельных моментов, отдельных факторов в двух (или большем числе) описаний и находится корреляция между ними, на основе чего делаются выводы.

Имеется и более сложная глобальная проблема, связанная с установлением единой хронологии, с вычислением "нуль-пункта", от которого можно отсчитывать все события в истории. Проблема осложняется тем, что надежно датируемые письменные источники практически все относятся ко времени, начиная с X века. Датировка более ранних источников нередко оказывается непонятной или весьма сомнительной.

Важнейшую роль в формировании современной хронологии сыграла работа французского ученого Скалигера (1583 год). Он первым поставил задачу систематического исследования соотношения различных календарных систем и хронологических эр. В своей работе он опубликовал хронологические таблицы, в ко-

56

торых изложил всю мировую историю в датах. Современная историческая наука до сих пор практически полностью согласна с единой хронологией, предложенной Скалигером.

Наряду с вопросом о нуль-пункте, интересно рассмотреть общие принципы создания календаря. Система Земля — Луна участвует в трех основных движениях: вращение Земли вокруг Солнца, Луны вокруг Земли и Земли вокруг своей оси. Для земного наблюдателя эти движения воспринимаются соответственно как смена времен года, движение Луны по небу и смена ее фаз, движение Солнца по небу и смена дня и ночи.

Периоды этих движений лежат в основе единиц измерения времени. Первым исторически возникло понятие суток. Если не учитывать малообитаемые полярные области, сутки можно рассматривать как промежуток между двумя последовательными восходами Солнца. Со времен Древнего Египта и Двуречья сутки делятся на 24 часа.

Легко определяется наблюдением и лунный месяц — время между двумя одинаковыми фазами Луны (например, двумя последовательными новолуниями). Лунный месяц составляет примерно 29,53 суток, из них Луна видна на небе 28 ночей. Четверть от этого промежутка — семидневная неделя.

Сложнее (и позже) была определена продолжительность года. Для этого надо уметь определять высоту Солнца над горизонтом (например, по тени). День, когда высота Солнца максимальна, называется летним солнцестоянием. Промежуток между двумя летними солнцестояниями и принимается за год. Это 365,2421988 суток или 365 дней 5 часов 48 минут 48 секунд. Три основные единицы измерения времени несоизмеримы между собой, таким образом, построение календаря, в котором в году и в месяце целое число дней, а в году целое число месяцев, при этом календарь соответствует астрономическим наблюдениям, невозможно. Все разнообразие календарей делится на 3 типа: лунные, лунно-солнечные и солнечные.

Лунный календарь основан на лунном месяце, содержащем 29,53059 дней. Месяцы и год начинаются с новолуния. Чтобы в месяце было целое число дней, считают, что 6 месяцев “полные” по 30 дней, а другие 6 “пустые” по 29, при этом полные и пустые месяцы чередуются. Таким образом, лунный год составляет 29, 5 × 12 = 354 дня, тогда как астрономический лунный год равен 29, 53059 × 12 = 354, 36706 дней. Округление дает каждый год отставание на 0, 36706 суток, что приводит к отставанию на 1 день каждые 3 года. Значит, примерно каждые 3 года надо делать високосный год в 355 дней. В реальности ис-

пользовались более точные приближения. Если разложить число 0, 36706 = 10000036706 в цепную дробь, получим последовательность подходящих дробей

57

високосных лет за 30 лет. Последний цикл дает сдвиг новолуния на 1 день за 2500 лет. Пример лунного календаря — исламский религиозный календарь, использующий восьмиили тридцатилетний цикл. Он был введен в 631 году пророком Мухаммедом вместо существовавшего ранее у арабов лунно-солнечного календаря, гораздо более практичного.

Лунно-солнечные календари пытаются согласовать солнечный год, равный 365,2422 суток и лунный месяц, состоящий из 29,53059 суток, отсюда 1 год содержит K = 12, 36826 месяцев. Таким образом, простой год содержит 12 месяцев, високосный 13. При разложении дробной части K в цепную дробь получаются подходящие дроби

Практически распространены были календари, основанные на K3 = 38 и K5 = 197 . Популярен в Древнем мире был 19-летний цикл, открытый греческим астрономом Метоном в 432 году до н.э. Действительно, 19 лет с большой точностью равны 235 месяцам. 13-й месяц вставлялся 7 раз в течение цикла. Пример лунно-солнечного календаря — еврейский. Календарь основан на Метоновом цикле, дополнительный месяц вставляется в 3, 6, 8, 11, 14, 17, и 19 годы цикла. Еврейская Пасха приходится на вечер 14 нисана (март-апрель), первое полнолуние после весеннего равноденствия. К этой дате привязана и христианская Пасха, которая в солнечном календаре оказывается переходящей (приходится на разные числа).

Солнечные календари игнорируют лунные месяцы и привязаны к продолжительности солнечного года 365,2422 суток. Подходящие дроби для дробной части здесь

1 7 8

Ki = 4, 29, 33 . . .

Первая из них использована в юлианском календаре, который ввел в 46 году до н.э. Гай Юлий Цезарь, пожизненный диктатор и великий понтифик Рима, на основании расчетов александрийского астронома Созигена. Каждый четвертый год содержал 366 дней, лишний день вставляли между 24 и 25 февраля и называли “дважды шестой (bis sextum) до мартовских календ”. Соответственно, длинный год назывался “bissextus”. В русский язык это слово пришло через Византию и звучит как “високосный”.

Продолжительность года в юлианском календаре 365,25 суток, что существенно длиннее солнечного года. Таким образом, к XVI веку весеннее равноденствие приходилось на 11 марта вместо 21 марта, так что полнолуние, случавшееся между 11 и 21 марта не считалось весенним и Пасха праздновалась на месяц позже. Поэтому в 1582 году папа Григорий XIII на основе проекта Луиджи Лилио, врача и математика, ввел новый календарь, названный григорианским. 10 дней в октябре этого года были выброшены из календаря, так что весеннее равноденствие вернулось на 21 марта. Впредь годы, номера которых делятся на 100, но не делятся на 400, больше не считались високосными. Длина года по григорианскому календарю 365, 2425 = 36540097 . Заметим, что эта дробь не является подходящей.

58

Католические страны приняли григорианский календарь сразу, протестантские в течение 150–200 лет, Россия в 1918 году, а Русская православная церковь не приняла до сих пор. Так что Рождество в России празднуется 7 января по календарю, по которому живет страна, а с точки зрения церкви оно празднуется 25 декабря, как и в других христианских церквах.

Более точное приближение к истинной длине года 365, 24242 было реализовано с помощью дроби K3 = 338 в персидском календаре, введенном в 1079 году султаном Джалал-ад-Дином Малик-шахом и разработанным восемью астрономами под руководством великого ученого и поэта Омара Хайяма. Летоисчисление ведется от хиджры, начало года — Новруз совпадает с весенним равноденствием, каждые 33 года 8 високосных лет.

Нельзя не упомянуть о еще одной математической модели хронологии, которая подавляющим большинством историков и математиков считается антинаучной. Эта теория (под названием “Новая хронология”) принадлежит известному математику академику А. Т. Фоменко и его ученику и соавтору Г. В. Носовскому. Первые их работы датированы 70-ми годами XX века.

Авторы утверждают, что существующая хронология исторических событий в целом неверна, что письменная история человечества значительно короче, чем принято считать, и не прослеживается далее X века нашей эры, а древние цивилизации и государства Античности и раннего Средневековья являются фантомными отражениями, клонами гораздо более поздних культур, и наши представления об этих цивилизациях — следствие неправильного (ошибочного или тенденциозного) прочтения и интерпретации источников.

Так, согласно "новой хронологии" Фоменко и Носовского, античная цивилизация — это просто клон средневековой европейской цивилизации. Многие выдающиеся исторические личности по этой теории оказываются тождественными. Так, царь Соломон, Гай Юлий Цезарь, Карл Великий и Петр I оказываются одной и той же личностью. Если говорить непосредственно о российской истории, то авторы теории утверждают, что не было никакого татаро-монгольского ига, а была междоусобная борьба русских князей; что Чингис-хан и Юрий Долгорукий

— одна и та же личность; что Куликовская битва происходила не на Куликовом поле, а в Москве, в районе под названием Кулички (или Кулишки) — ныне это район Старой площади, улиц Варварка, Солянка и т. д. Некоторые из утверждений Фоменко и Носовского выглядят достаточно правдоподобно, их можно считать вполне допустимыми гипотезами, но в целом их теория практически единогласно признается антинаучной. Основная ошибка в том, что получив близкую к единице корреляцию между двумя событиями (двумя эпохами, двумя личностями) они объявляют эти события тождественными. Между тем давно известно, что история часто разворачивается "по спирали", где схожие однотипные события и цепочки событий повторяются многократно на новом уровне. Удивительно, что такую ошибку делает известный, крупный математик...

По-видимому, вначале Фоменко и Носовский сами верили в справедливость своей теории, однако, по мнению многих ученых, с середины 90-х годов их проект

59

носит ярко выраженный коммерческий характер, они издали более 80 книг огромным общим тиражом, а в их "доказательствах" все чаще встречаются откровенные подтасовки. Так, привлекая для подтверждения своих теорий астрономические карты древности, они из 200 сохранившихся карт используют только 8, которые можно каким-то образом привлечь для подтверждения их выкладок, а остальные отвегают как ошибочные, фальсифицированные, ненадежные и т.д.

Вся эта история наглядно показывает, что применение математических методов и математических моделей в других науках должно производиться очень аккуратно, осторожно и добросовестно. Некорректное использование математических методов чревато серьезными последствиями.

16. Некоторые математические модели в музыковедении и литературоведении

Установление авторства произведений.

В литературоведении и, особенно, в музыковедении, актуальна проблема установления авторства произведения. Дело в том, что несмотря на то, что печать нот появилась в Европе в конце XV века, вплоть до XIX века музыкальные произведения распространялись преимущественно в виде рукописей. Многие рукописи терялись, на многих не стояла фамилия автора. Находились деятели, которые после смерти великого композитора присваивали себе авторство не самых известных его произведений, или наоборот, выдавали свои произведения за музыку Моцарта, Баха и т. д. Великим Моцартом написано около 800 различных произведений, однако достоверно его авторство установлено не более чем для 700 произведений. Многим другим композиторам в этом плане повезло еще меньше.

Математические методы установления авторства основаны на сравнении "сомнительных" произведений с теми, где авторство достоверно установлено. Сравнение ведется по ряду параметров: основная тональность, используемые размеры, характерные для данного композитора сочетания звуков и аккорды и т.д. Разумеется, математические методы не могут стопроцентно установить авторство, они дают лишь ту или иную вероятность принадлежности произведения данному автору. Поэтому математические методы в этом случае носят вспомогательный характер.

Интересно, что подобные проблемы имеют место и в литературоведении. Так, несколько десятилетий назад некоторые литературоведы утверждали, что две великие древнегреческие поэмы — "Илиада" (посвященная событиям Троянской войны) и "Одиссея" (о многолетних странствиях одного из героев этой войны Одиссея), авторство которых приписыается слепому певцу Гомеру, не могли быть сочинены одним автором, а являются сборниками отдельных песен, созданных разными (неизвестными нам) авторами. Однако применение математических методов с высокой вероятностью показало, что каждое из этих произведений написано одним автором, причем одним и тем же для обоих произведений, и написаны они с интервалом около 20 лет. Более того, косвенно подтвердилась версия о том,

60