Логика. Учебное пособие-1

Петров (S) не совершал преступление (Р).

4.Выражения, относимые к среднему термину, идентичны.

5.Силлогизм фигуры 1, модус АЕЕ не соответствует фигуре. Вывод силлогизма не истинен.

6.Нарушено третье правило терминов: термин (Р), не распределенный в посылке, оказался распределенным в заключении.

Сокращенный категорический силлогизм

Для интеллектуальной речи является типичным использование выражений с пропущенными, но подразумеваемыми частями. К таким выражениям относится сокращенный силлогизм, или энтимема, что в переводе с греческого означает «в уме». Здесь одна из посылок или вывод не проговаривается.

Пример 6.11

«Все мужчины должны пройти воинскую службу,

аты мужчина».

Вуме вывод: «Ты должен пройти воинскую службу».

Пример 6.12

«Спорт полезен, так как он укрепляет здоровье». В уме бóльшая посылка: «Все, что укрепляет здо-

ровье, полезно».

Многие энтимемы делают малозаметными формальные или содержательные ошибки. Эти ошибки, как правило, становятся явными после восстановления энтимемы до полного силлогизма, поэтому овладение этой процедурой имеет важное практическое значение. Методика восстановления и оценки энтимемы состоит из следующих шагов:

1) энтимема записывается в стандартном виде: посылки помещаются над чертой, заключение — под ней;

51

2)в соответствии с определением посылок и заключения устанавливается, какая часть силлогизма подразумевается;

3)с использованием правил определения и правил силлогизма восстанавливается недостающее суждение;

4)производится анализ непроговоренного суждения на соответствие действительности. Его ложность означает наличие содержательной ошибки;

5)производится анализ связей между посылками и заключением на соответствие логическим правилам. Нарушение хотя бы одного из них означает наличие формальной ошибки.

Сложные и сложносокращенные категорические силлогизмы

В процессах рассуждений простые силлогизмы выступают, как правило, в логических связях друг с другом, образуя цепь силлогизмов. Цепь силлогизмов, в которой заключение предыдущего становится одной из посылок последующего силлогизма, называет-

ся сложным силлогизмом, или полисиллогизмом. Различают

прогрессивные и регрессивные полисиллогизмы. В прогрессивном полисиллогизме заключение предыдущего силлогизма становится бóльшей посылкой последующего. В регрессивном полисиллогизме заключение предыдущего силлогизма становится меньшей посылкой последующего. Полисиллогизмы в рассуждениях чаще всего применяются в сокращенной форме, т. е. в форме сорита. Соответственно, выделяют два виды сорита: прогрессивный и регрессивный. Эпихейремой называется сложносокращенный силлогизм, обе посылки которого являются энтимемами.

Все дедуктивные умозаключения, в которых логический вывод делается на основе анализа отношений между субъектами и предикатами высказываний, входящих в состав силлогизма, называются умозаключениями логики предикатов. К логике предикатов относятся в первую очередь непосредственные умозаключения (умозаключения из одной посылки) и простой категорический силлогизм.

52

Глава 7

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

В традиционной логике для обозначения предложения, имеющего логическое значение, используется термин «суждение». В математической логике для этой цели используют термин «высказывание». Построение умозаключений, рассмотренных в предыдущей теме, получило название «логика предикатов». В логике высказываний вывод делается на основе анализа внешней связи между простыми высказываниями, которые рассматриваются как неделимые на части. В данной теме будут рассмотрены виды силлогизмов, в которых одна или несколько посылок не являются категорическими, а высказаны с условием или сомнением, а также простые силлогизмы, т. е. состоящие из двух посылок.

Условные умозаключения

В условных умозаключениях содержатся условные суждения.

Чисто условное умозаключение: здесь обе посылки и вывод — условные суждения. Модус: (а → b) (b → с) / (а → с).

Условно-категорическое умозаключение: здесь одна посыл-

ка — условная, а другая — категорическая. Модусы правильные:

53

Таким образом, можно строить достоверные умозаключения от утверждения основания к утверждению следствия (modus ponens) и от отрицания следствия к отрицанию основания (modus tollens).

Модусы неправильные:

Рассуждая таким образом, получить достоверные умозаключения нельзя.

Обоснованность высказанных выводов проверяется с помощью таблицы истинности.

Таблица для одного из правильных модусов выглядит так:

Можно убедиться, что при любых значениях А и В выводы правильных модусов всегда принимают истинное значение. Такие выражения (модусы) называются тождественно-истин- ными высказываниями, или законами логики. Рассуждения, логическая форма которых становится тождественно-истинной при любых значениях нелогических терминов, называются

логически необходимыми, а формула рассуждения — общезначимой.

Подобным образом можно убедиться, что неправильные модусы не являются законами логики. Формула рассуждения, принимающая значение «истина» только при некоторых значениях нелогических терминов, называется выполнимой. Рассуждение с такой формой — логически случайным.

54

Формула рассуждения, принимающая значение «ложь» при любых значениях нелогических терминов, называется тождест-

венно-ложной, или противоречием. Рассуждение с такой формой — логическим противоречием.

Разделительные умозаключения

Разделительные умозаключения содержат разделительные суж-

дения. В этом случае каждое из простых суждений называется аль-

тернативой.

Чисто разделительное умозаключение. Здесь обе посылки и вывод являются разделительными суждениями. Модус: (а b)

(а1 а2) / (а1 а2 b).

Разделительно-категорическое умозаключение. Здесь одна посылка разделительная, другая категорическая.

Правильные модусы:

Формулы ((а b) а) → b и ((а b) b) → а являются то- ждественно-истинными, т. е. законами логики. Это доказывается с помощью таблицы истинности. Если в данном модусе будет использоваться нестрогая дизъюнкция, то данные формулы уже не будут законами логики.

В модусах, приведенных ниже, дизъюнкция может быть как строгой, так и нестрогой. В любом случае формулы рассуждения представляют собой законы логики.

Важным условием при выводах по разделительно-категори- ческому умозаключению является соблюдение правила о том,

55

что в разделительной посылке должны быть предусмотрены все возможные альтернативы, т. е. деление должно быть соразмерным. Это правило для отрицающе-утверждающего модуса обязательно.

Условно-разделительные умозаключения

Дилемма — умозаключение из трех посылок; в нем две посылки — условные, еще одна — разделительная из двух простых. Термин «лемма» означает «предположение», «ди» — «два», т. е. дилемма — предположение о двух событиях.

Модусы:

(а → с) (b → с) (а b) / c;

(а → с) (а → b) ( b с) / а.

Первый модус — простая конструктивная дилемма. Простой она называется потому, что вывод есть простое суждение, конструктивной — потому, что вывод утвердительный. Второй модус есть простая деструктивная дилемма. Деструктивной она называется потому, что вывод отрицательный. Данные формулы выражают законы логики, т. е. являются тождественно-истинными формулами, что можно доказать табличным способом.

Модусы:

(а → b) (с → d) (а c) / b d;

(а → b) (с → d) ( b d) / а c.

Это сложные конструктивная и деструктивная дилеммы. Сложными они называются потому, что выводы в них — сложные разделительные суждения. Эти формулы являются тождественноистинными только в том случае, если дизъюнкция является нестрогой.

Если разделительная посылка состоит из трех простых суждений, то такое условно-разделительное умозаключение называется трилеммой. Трилеммы так же, как и дилеммы, могут быть

56

конструктивными и деструктивными, каждая из них, в свою очередь, может быть простой и сложной.

Сокращенными могут быть не только категорические силлогизмы, но и условные, и разделительные, и условно-разделитель- ные умозаключения, в которых пропущена либо одна из посылок, либо заключение.

При проверке сложных формул на истинность и отсутствии скобок порядок действий определяется следующим образом: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. При наличии скобок первыми выполняются действия в скобках.

57

Глава 8

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Индуктивное умозаключение и его виды

Индукция — логический переход от посылок с меньшим объемом субъекта к выводу с бóльшим объемом субъекта. В индуктивном умозаключении посылками могут быть общие суждения. Но вывод должен быть суждением с бóльшим объемом субъекта.

Пример 8.1

Все моржи — водные млекопитающие. Все тюлени — водные млекопитающие.

Все ластоногие животные — водные млекопитающие.

В зависимости от степени завершенности опыта различают индукцию полную и неполную. Полная индукция — умозаключение, в котором общий вывод делается на основе изучения всех объектов данного класса. В противном случае — индукция неполная. Полная индукция осуществляется, если число элементов множества конечно и легко обозримо. Вывод полной индукции достоверен. Степень достоверности неполной индукции тем выше, чем больше число посылок. Но еще важнее количества посылок способ их обоснования. По этому признаку неполная индукция делится на два вида:

1) популярная индукция. Здесь признаки нескольких объектов одного подмножества переносятся на все множество на том основании, что не встретилось ни одного объекта, у которого исследуемый признак отсутствует. На основе популярной индукции складываются

58

народные приметы (погодные, лечебные и др.). Популярная индукция часто приводит к ошибке «поспешное обобщение». Если ошибка делается сознательно, она называется натяжкой;

2) научная индукция — это такое умозаключение, в котором на основе наличия необходимых признаков части объектов множества делается вывод о наличии этих признаков у всех объектов данного множества. Применение научной индукции позволило сформулировать все научные законы. Наиболее эффективным применение индукции становится при использовании методов поиска таких необходимых признаков. Основы этих методов заложил Ф. Бэкон (1561–1626), а развил Дж. Милль (1806–1873), поэтому они называются методами Бэкона — Милля.

Метод сходства. Модус данного умозаключения выглядит

так:

АВС → а АДЕ → а АКМ → а

А → а

Если несколько реализаций исследуемого явления сходны только в одном обстоятельстве, то это обстоятельство и есть необходимый фактор для наступления этого явления. Этот метод применяется при изучении явлений, которые наблюдаются в естественных условиях, и их нельзя организовать экспериментально. Возможна ошибка «неполный перечень условий».

Метод различия. Модус:

АВС → аbс ВС → bс

А → а

Если при одних и тех же условиях наличие какого-то обстоятельства вызывает, а его отсутствие устраняет исследуемое явление, то данное обстоятельство и есть необходимый фактор. Это наиболее эффективный метод, так как допускает экспериментальную проверку.

59

Метод сопутствующих изменений. Модус:

АВС → аbс А1ВС → а1bс А2ВС → а2bс

А → а

Всякое обстоятельство, изменение которого определенным образом изменяет исследуемое явление, есть необходимый фактор.

Метод остатков. Модус:

АВС → аbс

В→ b

С→ с

А→ а

Если из сложного явления вычесть элементы, зависящие от уже известных факторов, то остаток этого явления будет следствием остающихся обстоятельств. Данный метод — самый слабый из всех методов научной индукции. Здесь большую роль играет наличие или отсутствие независимости причин и условий между собой, чтобы можно было выделять остатки.

Статистические выводы

Видом неполной индукции являются статистические выводы. Это умозаключение о частоте наступления некоторого явления или о частоте появления определенного признака у некоторого множества объектов М. Например, это может быть число голосов, отданных за кандидата на выборах, где M — множество голосовавших избирателей. В социологии такое множество М называется генеральной совокупностью. Если Mi М, где Mi включает в себя различные типы элементов из М в такой же пропорции, как и в M, тогда Mi есть выборка из М. Выборка может быть сделана по различным признакам. Репрезентативность выборки — это соответствие

60