Логика. Учебное пособие-1

Глава 2

ЯЗЫК ЛОГИКИ.

ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Люди — существа общественные. Отношения между ними строятся с помощью естественного языка, который обнаруживает их мышление. Поэтому логика, будучи наукой о формах мышления, является также наукой о языке.

Основные понятия языка

Язык — знаковая система, посредством которой кодируется, хранится и передается информация.

Знак — представитель (заместитель) обсуждаемого объекта. Знаки бывают языковые и неязыковые. К неязыковым знакам относятся: знаки-индексы (дым как знак горения и т. п.); знаки-сигналы (стук, свист и т. п.); знаки-копии (фото, отпечатки пальцев и т. п.). Логика изучает языковые знаки. Для обозначения объектов с их помощью используются имена.

Имя — слово или словосочетание, обозначающее какой-либо объект или группу объектов. Как правило, у имен есть значение и обязательно смысл. Значение имени (денотат, номинат) — это объект, названный данным именем. Под объектом необходимо понимать вещь или явление, например действие или бездействие. Значение из множества других выделяется с помощью ощущений. Смысл имени (концепт) — это информация об объекте, позволяющая однозначно выделить его из ряда других. Языковые выражения, лишенные смысла, не являются именами, т. е. ничего не обозначают.

11

Пример 2.1

Имя — Луна; значение этого имени мы можем увидеть ясным вечером на небе; смысл — естественный спутник Земли.

Пример 2.2

Имя — стук; значение этого имени мы можем услышать; смысл — звуковые колебания воздуха низкой частоты.

Имена могут обозначать объекты, которые не существуют в действительности. Они называются мнимыми (вечный двигатель, русалка и т. п.). Кроме того, имена по денотату бывают единичными и общими, т. е. обозначающими единичный объект или несколько объектов.

Как и другие науки, логика оперирует собственными понятиями.

Понятие множества

Множество — это такая совокупность единичных объектов, в которой каждому из них присущи одни и те же свойства. Отдельные объекты множества — это элементы. Например, множество А = {1, 2, 5, 8, 4} состоит из чисел, порядок вхождения которых безразличен. В таком случае каждое из чисел является элементом множества А, т. е. включено в него: 1 А, 2 А и т. д.

Иногда порядок расположения элементов множества фиксируется. Такое множество называется упорядоченным, или кортежем:

В = <1, 2, 3, 4, 5>.

Если имеется множество С = {1, 8, 4,}, тогда С есть правильная часть множества А или его подмножество: С А.

Д = {8} — единичное множество. Е = { } = Ø — пустое множест-

во.

Существует два способа задания множеств: экстенсиональный и интенсиональный. Экстенсиональный (количественный) способ

12

задает множество путем перечисления всех его элементов. Так, элементами множества А являются числа 1, 2, 5, 8, 4. Очевидно, что так можно задать только конечные и при этом очень небольшие множе-

ства. Интенсиональный (качественный) способ, напротив, предна-

значен для задания больших и даже бесконечных множеств. Этот способ состоит в указании какого-либо свойства, общего для всех элементов данного множества: множество всех россиян определяется как множество всех людей, обладающих свойством гражданства России. Пример бесконечного множества — множество всех чисел.

Основные отношения между множествами:

1)отношение включения (подчинения);

2)отношение эквивалентности (тождества);

3)отношение пересечения;

4)отношение внеположенности (несовместимости). Отношения между множествами удобно отображать с помо-

щью геометрических фигур, которые предложил выдающийся русский математик и естествоиспытатель, швейцарец по происхождению, Леонард Эйлер (1707–1783). Круги, названные его именем, были предложены им для наглядной иллюстрации отношений между множествами. В этих кругах каждая точка представляет один элемент множества.

Изобразим названные отношения с помощью кругов Эйлера. 1. Отношение включения: пусть А = {1, 2, 5, 8, 12} и В =

{1, 2, 8}, тогда

A

B

т. е. множество В есть подмножество множества А.

2. Отношение эквивалентности: пусть А = {1, 2, 5, 8, 12} и В = {1, 5, 2, 12, 8}, тогда

A = B

13

т. е. оба множества состоят из одних и тех же элементов (порядок расположения элементов в множестве не играет роли). В этом случае А и В есть всего лишь разные имена для обозначения одного и того же множества. При попытке совмещения кругов, обозначающих эти множества, они сливаются и становятся неразличимыми.

3. Отношение пересечения: пусть А = {1, 2, 5, 8, 12} и В = {1, 2, 5, 13, 18}, тогда

A B

т. е. элементы множеств 1, 2, 5 являются общими, попадают в заштрихованную часть кругов, а незаштрихованные области множеств А и В содержат несовпадающие элементы (для А это 8 и 12,

адля В — 13, 18).

4.Отношение внеположенности: пусть А = {1, 2, 5, 8, 12}

и В = {3, 4, 7, 9, 11}, тогда

A B

т. е. множества А и В не имеют ни одного общего элемента. Все подмножества одного и того же множества состоят с ним

в отношениях включения (подчинения). Для любых двух подмножеств множества отношения между собой могут быть совместными, т. е. совпадающими по объему, или несовместными.

Несовместимые Совместимые Подмножества (соподчиненные)

Схема 1. Отношения между подмножествами (деление по объему)

14

Объемы подмножеств по количеству элементов могут быть одинаковы, но о тождестве подмножеств идет речь, когда все элементы одни и те же! Если же при равном количестве элементов некоторые не совпадают, то тождество исчезает, и возникает пересечение объемов подмножеств. Когда же не совпадает ни один элемент, возникает внеположенность объемов подмножеств, т. е. несовместимость по отношению друг к другу.

Понятие логической функции

В логике к основным понятиям относится понятие «функтор». Функтор — это знак для обозначения операции, в результате которой образуется имя или высказывание. Видами функторов

являются логические константы. Их еще называют логическими союзами (связками), так как они служат для связи

ипреобразования выражений. Поскольку такими выражениями могут быть любые, то эти выражения называют переменными, или аргументами. Например, есть выражения А и В. Это аргументы. Применяем функтор «→» и получаем выражение: А → В.

Влогике особое место принадлежит именным и пропозициональным функциям.

Функция — это необходимое действие. По своему смыслу термин «функция» является абстракцией от функтора, т. е. мысленное отвлечение от самого объекта (функтора) и рассмотрение только его способности выполнять некоторое действие (ср.: проводник

ипроводимость).

Именная функция — это выражение, являющееся именем, полученное в результате подстановки к функтору вместо переменных соответствующих значений. Другими словами, это действие, влекущее появление имени.

Пример 2.3

15

Белый х — именная функция. Подставим вместо переменной х значение «цвет» и получим имя — «белый цвет». Здесь функтором является слово «белый».

16

Пропозициональная функция (от лат. propositio — выска-

зываю) — это выражение, являющееся высказыванием, полученное в результате подстановки к функтору вместо переменных соответствующих значений; это действие, влекущее появление высказывания.

Пример 2.4

«Если А, то В» — это пропозициональная функция. Подставим вместо переменных А и В два простых суждения «понимаю материал», «сдаю экзамен легко» и получим новое сложное высказывание: «Если понимаю материал, то сдаю экзамен легко». Здесь переменные — также высказывания, а в качестве функтора взята логическая константа «импликация». Могут быть использованы и другие логические константы.

Важным видом пропозициональной функции является функ- ция-предикат, в которой аргументом выступает некоторое имя, а в результате преобразования получается высказывание.

Пример 2.5

X есть черный — функция-предикат. Подставим вместо переменной x имя «уголь» и получим высказывание «уголь есть черный». Функторами выступают имя свойства и связка, т. е. здесь два функтора.

В функции-предикате аргументом может выступать как имя предмета, так и имя свойства или отношения.

Пример 2.6

Сахар есть х. Подставляем вместо переменной х свойство «сладкий» и получаем высказывание «сахар есть сладкий».

17

5 х 4. Подставляем вместо переменной х отношение «больше» и получаем высказывание «5 больше 4».

В этих примерах также по два функтора: имя свойства «сладкий» и связка «есть», имя отношения «больше» и подразумевается связка «есть».

В зависимости от того, что используется в качестве аргумента, выделяют пропозициональные переменные (см. пример 2.4), именные переменные (см. примеры 2.3 и 2.5) и предикатные переменные (см. пример 2.6).

18

Глава 3

ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ПОНЯТИЯМИ

Общая характеристика понятий

Понятие — это форма мышления (мысль), в которой объекты выделены из некоторого множества по существенному признаку, объединены в подмножество и обозначены именем.

В логике принято различать термины и понятия. Термин — это имя, обозначающее некоторое понятие (т. е. имя мысли о подмножестве). Например, термин «логика» — это имя конкретной науки. Мысль об этой науке изложена в определении предмета данной науки. Эта мысль и есть понятие.

Всякое понятие имеет содержание и объем. Содержание понятия — совокупность признаков, на основе которой объекты выделены в подмножество. Объем понятия — совокупность объектов, имеющих признаки, входящие в содержание данного понятия. Содержание и объем связаны законом: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот.

Все множество понятий можно разделить на подмножества прежде всего по этим двум характеристикам.

По объему понятия делятся:

1) по количеству элементов в подмножестве:

а) на пустое (нулевое) — в подмножество не входит ни один элемент;

б) единичное — в подмножество входит только один элемент; в) общее — в подмножество входит более одного элемента. Общие понятия делят, в свою очередь, на два подвида:

19

-регистрирующие — это понятия, обозначающие объекты, которые поддаются учету (например, столица страны). Регистрирующие понятия имеют конечный, определенный объем;

-нерегистрирующие понятия обозначают объекты, не поддающиеся учету (следователь, потерпевший). Нерегистрирующие понятия имеют конечный, но неопределенный объем;

г) универсальное — понятие, обозначающее все объекты из данной области рассмотрения. Например, в философии таким понятием является «изменение», поскольку все, что существует в мире, обладает свойством изменения. В логике таким понятием выступает «множество», так как любой объект в этой науке составляет некое множество: множество абстрактных форм, множество терминов, множество функторов и т. д.;

2) по характеру элементов подмножества выделяют два вида понятий:

-собирательные — понятия, обозначающие совокупность объектов, состоящих из однородных частей. Собирательное понятие может быть универсальным (вселенная), общим (общество, группа, библиотека, кодекс) и единичным (российское общество; группа №

11к Д/О РПА; УК РФ, принятый в 1996 г.);

-несобирательные — понятия, обозначающие отдельный объект (человек).

По содержанию понятия делятся:

1) на простые и сложные. В содержание простых понятий входит только один признак (существо), в содержание сложных — несколько признаков (человек, гражданин);

2) конкретные и абстрактные. Конкретное понятие обозначает объект (вселенная, юридическое лицо), абстрактное — отношение или свойство, рассмотренное отдельно от объекта (вечность, правоспособность);

3) относительные и безотносительные. Относительное поня-

тие обозначает объект, существование которого обусловлено другим объектом (ученик — учитель, истец — ответчик), безотносительное — объект, существующий независимо от других (юридический закон);

20