Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский педагогический государственный университет»
А. В. Царев, Г. В. Шеина
ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Учебное пособие
2-е издание, стереотипное электронное
МПГУ Москва • 2024
УДК 512 (07) ББК 22.14я73 Ц181
Рецензенты:
В. А. Артамонов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей алгебры
Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова
О. В. Муравьева, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической информатики и дискретной математики Московского педагогического государственного университета
|
Царев, Андрей Валерьевич. |
|
Ц181 |
Элементы |
абстрактной и компьютерной алгебры: Учебное |
|
бие / А. В. Царев, Г. В. Шеина. – 2-е изд., стер. электрон. – Москва: |
|
|
МПГУ, 2024. – 116 с. – Текст: электронный. |
|
|
ISBN 978-5-4263-0393-5 |
|
|
Учебное пособие подготовлено на кафедре алгебры МПГУ и адресовано |
|
|
студентам математических факультетов педвузов. В нем рассматриваются не |
|
|
только необходимые теоретические основы курса «Абстрактная и компью- |
|
|
терная алгебра», но и приводится большое количество задач разного уровня |
|
|
сложности, в том числе и задания для самостоятельных и контрольных работ. |
|
|
|
УДК 512 (07) |
|
|
ББК 22.14я73 |
ISBN 978-5-4263-0393-5 |
© МПГУ, 2016 |
|
|
|
© Царев А. В., Шеина Г. В., текст, 2016 |
Ɉɝɥɚɜɥɟɧɢɟ
ȼȼȿȾȿɇɂȿ
ɑɌɈ ɌȺɄɈȿ ɄɈɆɉɖɘɌȿɊɇȺə ȺɅȽȿȻɊȺ"
ɇȿɈȻɏɈȾɂɆɕȿ ɋȼȿȾȿɇɂə ɂɁ ȺȻɋɌɊȺɄɌɇɈɃ ȺɅȽȿȻɊɕ
ɈɌɇɈɒȿɇɂə ɉɊəɆɈȿ ɉɊɈɂɁȼȿȾȿɇɂȿ ɆɇɈɀȿɋɌȼ ȻɂɇȺɊɇɕȿ ɈɌɇɈɒȿɇɂə ȼɂȾɕ ȻɂɇȺɊɇɕɏ ɈɌɇɈɒȿɇɂɃ
ɈɌɇɈɒȿɇɂə ɗɄȼɂȼȺɅȿɇɌɇɈɋɌɂ ɄɅȺɋɋɕ ɗɄȼɂȼȺɅȿɇɌɇɈɋɌɂ
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɤɥɚɫɫɨɜ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ
Ɏɚɤɬɨɪɦɧɨɠɟɫɬɜɚ
ɉɈɇəɌɂȿ ɄɈɅɖɐȺ ɉɈɅə ɈȻɅȺɋɌɂ ɐȿɅɈɋɌɇɈɋɌɂ ȼɕɑɂɋɅȿɇɂȿ ɈȻɊȺɌɇɈɃ ɆȺɌɊɂɐɕ Ɋȿɒȿɇɂȿ ɆȺɌɊɂɑɇɕɏ ɍɊȺȼɇȿɇɂɃ ȼȺɊɂȺɇɌɕ ȾɅə ɋȺɆɈɋɌɈəɌȿɅɖɇɕɏ ɊȺȻɈɌ ɌȿɈɊɂə ȾȿɅɂɆɈɋɌɂ ȼ ɄɈɆɆɍɌȺɌɂȼɇɕɏ ɄɈɅɖɐȺɏ
ɉɊɈȻɅȿɆȺ ɉɊȿȾɋɌȺȼɅȿɇɂə ȾȺɇɇɕɏ
ɄɈɅɖɐɈ ɐȿɅɕɏ ɑɂɋȿɅ ɉɈɅȿ ɊȺɐɂɈɇȺɅɖɇɕɏ ɑɂɋȿɅ ȿȽɂɉȿɌɋɄɂȿ ȾɊɈȻɂ ȺɅȽɈɊɂɌɆɎɂȻɈɇȺɑɑɂ ɄɈɅɖɐȺ ȼɕɑȿɌɈȼ ɇȺɏɈɀȾȿɇɂȿ ɈɋɌȺɌɄɈȼ ɈɌ ȾȿɅȿɇɂə ɄɈɇȿɑɇɕȿ ɉɈɅə ɁȺȾȺɇɂə ȾɅə ɋȺɆɈɋɌɈəɌȿɅɖɇɕɏ ɊȺȻɈɌ ɆɇɈȽɈɑɅȿɇɕ ȺɅȽȿȻɊȺɂɑȿɋɄɂȿ ɑɂɋɅȺ
ɇȺɂȻɈɅɖɒɂɃ ɈȻɓɂɃ ȾȿɅɂɌȿɅɖ
ɉɈɇəɌɂȿ ɇȺɂȻɈɅɖɒȿȽɈ ɈȻɓȿȽɈ ȾȿɅɂɌȿɅə
ɋȼɈɃɋɌȼȺ ɇȺɂȻɈɅɖɒȿȽɈ ɈȻɓȿȽɈ ȾȿɅɂɌȿɅə ɐȿɅɕɏ ɑɂɋȿɅ
ȺɅȽɈɊɂɌɆɕ ȼɕɑɂɋɅȿɇɂəɇɈȾȾɅə ɐȿɅɕɏ ɑɂɋȿɅ
Ⱥɥɝɨɪɢɬɦ ȿɜɤɥɢɞɚ
Ɋɚɫɲɢɪɟɧɧɵɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ȿɜɤɥɢɞɚ
Ȼɢɧɚɪɧɵɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ
ɉɪɢɦɚɪɧɵɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ
ɇȺɂȻɈɅɖɒɂɃ ɈȻɓɂɃ ȾȿɅɂɌȿɅɖ ɆɇɈȽɈɑɅȿɇɈȼ ɂɋɉɈɅɖɁɈȼȺɇɂȿ ȺɋɋɈɐɂɂɊɈȼȺɇɇɕɏ ɆɇɈȽɈɑɅȿɇɈȼ
ɇȿɉɊɂȼɈȾɂɆɈɋɌɖ ɇȺȾ ɉɊɈɂɁȼɈɅɖɇɕɆ ɉɈɅȿɆ ɂ ɉɈɅəɆɂ ɂ
ɆɇɈȽɈɑɅȿɇɕ ɇȺȾ ɉɈɅȿɆ ɊȿȾɍɄɐɂə ɐȿɅɈɑɂɋɅȿɇɇɕɏ ɆɇɈȽɈɑɅȿɇɈȼ ɊȿȾɍɄɐɂɈɇɇɕɃ ɉɊɂɁɇȺɄ ɊȿȾɍɄɐɂɈɇɇɕɃ ɉɊɂɁɇȺɄ ɉɊɂɁɇȺɄɗɃɁȿɇɒɌȿɃɇȺ ɂ ȿȽɈ ɆɈȾɂɎɂɄȺɐɂɂ ɍɉɊȺɀɇȿɇɂə ɁȺȾȺɇɂə ȾɅə ɄɈɇɌɊɈɅɖɇɕɏ ɊȺȻɈɌ
ɆɇɈȽɈɑɅȿɇɕ ɈɌ ɇȿɋɄɈɅɖɄɂɏ ɉȿɊȿɆȿɇɇɕɏ
ɋɌȿɉȿɇɖ ɆɇɈȽɈɑɅȿɇȺ
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɫɬɟɩɟɧɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
Ʌɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɢ ɟɝɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚ
Ɋȿɒȿɇɂȿ ɋɂɋɌȿɆ ȺɅȽȿȻɊȺɂɑȿɋɄɂɏ ɍɊȺȼɇȿɇɂɃ
ȻȺɁɂɋ ɂȾȿȺɅȺ ȼɋɉɈɆɈȽȺɌȿɅɖɇɕȿ ɉɈɇəɌɂə ɂ ɄɈɇɋɌɊɍɄɐɂɂ Ɋȿɒȿɇɂȿ ɋɂɋɌȿɆ ɍɊȺȼɇȿɇɂɃ ɋ ɉɈɆɈɓɖɘ ɊȿȾɍɄɐɂɃ ɁȺȾȺɇɂə ȾɅə ɋȺɆɈɋɌɈəɌȿɅɖɇɕɏ ɊȺȻɈɌ ȻȺɁɂɋȽɊȬȻɇȿɊȺ ȺɅȽɈɊɂɌɆȻɍɏȻȿɊȽȿɊȺ ɍɉɊȺɀɇȿɇɂə
ɈɌȾȿɅȿɇɂȿ ɄɈɊɇȿɃ
ɉɈɋɅȿȾɈȼȺɌȿɅɖɇɈɋɌɖ ɆɇɈȽɈɑɅȿɇɈȼɒɌɍɊɆȺ
ɉɊɈɋɌȿɃɒɂȿ ɋȼɈɃɋɌȼȺ ɋɂɋɌȿɆɕ ɆɇɈȽɈɑɅȿɇɈȼɒɌɍɊɆȺ
ɋɑȿɌɑɂɄ ɉȿɊȿɆȿɇ ɁɇȺɄȺ ɂ ȿȽɈ ɋȼɈɃɋɌȼȺ ɋɑȿɌɑɂɄ ɉȿɊȿɆȿɇ ɁɇȺɄɈȼ ɈɋɇɈȼɇȺə ɅȿɆɆȺ
ɎɈɊɆɍɅɂɊɈȼɄȺ ɌȿɈɊȿɆɕɒɌɍɊɆȺ ɉɊɂɆȿɊɕ ɂ ɍɉɊȺɀɇȿɇɂə
ɌɂɉɈȼɕȿ ɁȺȾȺɇɂə ȾɅə ɁȺɑȿɌȺ
ɉɊɂɆȿɊɇɕȿ ȼɈɉɊɈɋɕ Ʉ ɗɄɁȺɆȿɇɍ
ɊȿɄɈɆȿɇȾɍȿɆȺə ɅɂɌȿɊȺɌɍɊȺ
ȼɜɟɞɟɧɢɟ
Ɉɛɭɱɟɧɢɟ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɮɚɤɭɥɶɬɟɬɚ ɜɤɥɸɱɚɟɬ ɜ ɫɟɛɹ ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɩɪɟɞɦɟɬɚ ©Ⱥɛɫɬɪɚɤɬɧɚɹ ɢ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɚɹ ɚɥɝɟɛɪɚª Ⱦɚɧɧɵɣ ɤɭɪɫ ɜɯɨɞɢɬ ɜ ɩɪɨ ɝɪɚɦɦɭ ɨɛɭɱɟɧɢɹ ɜɨ ɜɫɟɯ ɩɪɨɮɢɥɹɯ ɩɨɞɝɨɬɨɜɤɢ ɜ ɛɚɤɚɥɚɜɪɢɚɬɟ ɜ ɬɨɦ ɱɢɫɥɟ ɷɬɨɬ ɤɭɪɫ ɢɡɭɱɚɟɬɫɹ ɢ ɫɬɭɞɟɧɬɚɦɢ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɤɭɪɫ ɚɥɝɟɛɪɵ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ ɱɚɫɚ ɜ ɧɟɞɟɥɸ ɢ ɢɡɭɱɚɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɜ ɩɟɪɜɨɦ ɫɟɦɟɫɬɪɟ ȼ ɧɟɦ ɞɨɜɨɥɶɧɨ ɛɨɥɶɲɨɟ ɦɟɫɬɨ ɡɚɧɢɦɚɸɬ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɚɥɝɟɛɪɵ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɬɚɤɢɟ ɬɟɦɵ ɤɚɤ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɷɤ ɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɢ ɮɚɤɬɨɪɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɤɨɥɶɰɚ ɜɵɱɟɬɨɜ ɝɪɭɩɩɵ ɩɨɥɹ ɤɨɥɶɰɚ ɢɞɟ ɚɥɵ ɤɨɥɟɰ ɨɫɬɚɸɬɫɹ ɜɧɟ ɩɨɥɹ ɡɪɟɧɢɹ ɷɬɢɯ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ
Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ ɚɛɫɬɪɚɤɬɧɚɹ ɚɥɝɟɛɪɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɞɧɢɦ ɢɡ ɫɚɦɵɯ ɬɪɭɞɧɵɯ ɞɥɹ ɢɡɭɱɟɧɢɹ
ɩɪɟɞɦɟɬɨɦ ɜ ɫɢɥɭ ɢɦɟɧɧɨ ɟɟ ɚɛɫɬɪɚɤɬɧɨɫɬɢ Ɉɧɚ ɜɵɡɵɜɚɟɬ ɫɜɨɟɝɨ ɪɨɞɚ ɨɬɬɨɪɠɟ
ɧɢɟ ɟɳɟ ɢ ɩɨɬɨɦɭ ɱɬɨ ɜ ɷɬɨɦ ɤɭɪɫɟ ɩɨɱɬɢ ɧɟ ɩɪɨɫɥɟɠɢɜɚɟɬɫɹ ɫɜɹɡɢ ɫɨ ɲɤɨɥɶɧɨɣ
ɩɪɨɝɪɚɦɦɨɣ ɜ ɨɬɥɢɱɢɟ ɨɬ ɤɭɪɫɚ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ ɢɥɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɬɚɤɠɟ
ɢɡɭɱɚɟɦɵɯ ɧɚ ɦɥɚɞɲɢɯ ɤɭɪɫɚɯ ɉɨɷɬɨɦɭ ɦɵ ɜɤɥɸɱɢɥɢ ɬɚɤɢɟ ɪɚɡɞɟɥɵ ɤɚɤ ɪɟɲɟ
ɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɦɟɬɨɞ ɒɬɭɪɦɚ ɢ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɨɫɬɶ ɦɧɨɝɨ
ɱɥɟɧɨɜ ɤɚɤ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɟ ɤ ɲɤɨɥɶɧɨɣ ɩɪɨɝɪɚɦɦɟ ɪɚɡɞɟɥɵ ɚɥɝɟɛɪɵ
ɂɦɟɸɳɢɟɫɹ ɭɱɟɛɧɢɤɢ ɩɨ ɞɚɧɧɨɦɭ ɤɭɪɫɭ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɫɥɨɠɧɵ ɚ ɡɚɞɚɱɢ ɩɪɟɞɥɚɝɚ
ɟɦɵɟ ɜ ɷɬɢɯ ɤɭɪɫɚɯ ɬɪɭɞɧɵ ɞɥɹ ɛɨɥɶɲɢɧɫɬɜɚ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɮɚɤɭɥɶɬɟɬɚ ȼ ɧɚɫɬɨɹ
ɳɟɦ ɢɡɞɚɧɢɢ ɦɵ ɩɨɩɵɬɚɥɢɫɶ ɜɧɟɫɬɢ ɫɜɨɣ ɜɤɥɚɞ ɜ ɭɫɬɪɚɧɟɧɢɟ ɜɨɡɧɢɤɚɸɳɢɯ ɬɚ
ɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɩɪɨɛɥɟɦ ɢ ɢɡɥɨɠɢɬɶ ɧɟɞɨɫɬɚɸɳɢɟ ɬɟɦɵ ɜ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨ ɧɟɨɛɯɨɞɢ
ɦɨɦ ɨɛɴɟɦɟ ɬɚɤ ɱɬɨɛɵ ɷɬɨ ɛɵɥɨ ɞɨɫɬɭɩɧɨ ɢ ɬɚɤɢɦ ɫɬɭɞɟɧɬɚɦ
ɇɟɫɤɨɥɶɤɨ ɫɥɨɜ ɨ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɢ ɪɚɛɨɬɵ
ɉɟɪɜɵɣ ɩɚɪɚɝɪɚɮ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɪɚɬɤɢɦ ɧɚɩɨɦɢɧɚɧɢɟɦ ɢɥɢ ɫɜɨɟɝɨ ɪɨɞɚ ɫɩɪɚɜɨɱɧɢ
ɤɨɦ ɩɨ ɨɫɧɨɜɧɨɦɭ ɤɭɪɫɭ ɚɥɝɟɛɪɵ
ȼɬɨɪɨɣ ɩɚɪɚɝɪɚɮ ɩɨɫɜɹɳɟɧ ɩɪɨɛɥɟɦɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɞɚɧɧɵɯ
5
А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ȼ ɬɪɟɬɶɟɦ ɩɚɪɚɝɪɚɮɟ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬɫɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɚɥɝɨɪɢɬɦɵ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɞɟɥɢɬɟɥɹ ɞɥɹ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ
ȼ ɱɟɬɜɟɪɬɨɦ ɩɚɪɚɝɪɚɮɟ ɤɪɚɬɤɨ ɢɡɭɱɚɸɬɫɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɨɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧ
ɧɵɯ ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɨɞɧɨɱɥɟɧɨɜ ɢ ɟɝɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚ
ɉɹɬɵɣ ɩɚɪɚɝɪɚɮ ɩɨɫɜɹɳɟɧ ɫɢɫɬɟɦɚɦ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ Ɋɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚ
ɸɬɫɹ ɛɚɡɢɫɵ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɢ ɚɥɝɨɪɢɬɦ Ȼɭɯɛɟɪɝɟɪɚ ɫ ɰɟɥɶɸ ɧɚɭɱɢɬɶɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɧɢɯ
ɪɟɲɚɬɶ ɛɨɥɟɟ ɫɥɨɠɧɵɟ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫɨ ɲɤɨɥɶɧɨɣ ɩɪɨɝɪɚɦɦɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɚɥɝɟɛ
ɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ȼ ɲɟɫɬɨɦ ɩɚɪɚɝɪɚɮɟɨɛɫɭɠɞɚɸɬɫɹ ɜɨɩɪɨɫɵ ɫɜɹɡɚɧɧɵɟ ɫ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ ɱɢɫɥɚ ɤɨɪɧɟɣɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨɝɨɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚɧɚɡɚɞɚɧɧɨɦɩɨɥɭɢɧɬɟɪɜɚɥɟɢɥɢɧɚɜɫɟɣ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɩɪɹɦɨɣ
Ʉɪɨɦɟ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɚɬɟɪɢɚɥɚ ɢɡɥɨɠɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɡɚɧɹɥɨ ɥɟɤɰɢɣ ɦɵ ɩɪɢ
ɜɨɞɢɦ ɤɪɚɬɤɨɟ ɢɡɥɨɠɟɧɢɟ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɯ ɬɟɦ ɧɟ ɞɥɹ ɜɫɟɯ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɨɫɬɟɣ ɜɯɨ ɞɹɳɢɯ ɜ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɤɭɪɫ ɚɥɝɟɛɪɵ ɢ ɡɚɞɚɱɢ ɞɥɹ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɧɹɬɢɣ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɧɹɬɢɣ ɚ ɬɚɤɠɟ ɜɚɪɢɚɧɬɵ ɡɚɞɚɧɢɣ ɞɥɹ ɤɨɧɬɪɨɥɶɧɵɯ ɢɥɢ ɫɚ ɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɵɯ ɪɚɛɨɬ
6
ɑɬɨ ɬɚɤɨɟ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɚɹ ɚɥɝɟɛɪɚ"
Ʉɨɦɩɶɸɬɟɪɧɚɹ ɚɥɝɟɛɪɚ ± ɨɛɥɚɫɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɥɟɠɚɳɚɹ ɧɚ ɫɬɵɤɟ ɚɥɝɟɛɪɵ ɢ ɜɵ
ɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ Ɍɟɪɦɢɧ©ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɚɹɚɥɝɟɛɪɚªɜɨɡɧɢɤɤɚɤɫɢɧɨɧɢɦ ɬɟɪɦɢɧɨɜ ©ɫɢɦɜɨɥɶɧɵɟ
ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹª ©ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹª ©ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹª ɢ ɬ ɞ Ⱦɚɠɟ ɜ ɧɚɫɬɨɹɳɟɟ ɜɪɟɦɹ ɷɬɨɬ ɬɟɪɦɢɧ ɧɚ ɮɪɚɧɰɭɡɫɤɨɦ ɹɡɵɤɟ ɞɨɫɥɨɜɧɨ ɨɡɧɚ ɱɚɟɬ ©ɮɨɪɦɚɥɶɧɵɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹª
Ʉɨɦɩɶɸɬɟɪɧɚɹ ɚɥɝɟɛɪɚɜ ɨɬɥɢɱɢɟ ɨɬɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜɡɚɧɢɦɚɟɬɫɹ ɪɚɡɪɚɛɨɬ ɤɨɣ ɢ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɟɣɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢɯɦɟɬɨɞɨɜ ɪɟɲɟɧɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɞɚɱ ɧɚ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɟ ɢ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬ ɱɬɨ ɢɫɯɨɞɧɵɟ ɞɚɧɧɵɟ ɤɚɤ ɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɧɵ ɜɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɦ ɫɢɦɜɨɥɶɧɨɦɜɢɞɟ
ɋɢɦɜɨɥɶɧɵɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ± ɷɬɨ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɢ ɪɚɛɨɬɚ ɫ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɪɚ ɜɟɧɫɬɜɚɦɢ ɢ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ ɤɚɤ ɫ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶɸ ɫɢɦɜɨɥɨɜ Ɉɧɢ ɨɬɥɢɱɚɸɬɫɹ ɨɬ ɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɪɚɫɱɟɬɨɜ ɤɨɬɨɪɵɟ ɨɩɟɪɢɪɭɸɬ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɦɢ ɱɢɫɥɟɧɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟ ɧɢɹɦɢ ɫɬɨɹɳɢɦɢ ɡɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹɦɢ ɋɢɫɬɟɦɵ ɫɢɦɜɨɥɶɧɵɯ ɜɵ ɱɢɫɥɟɧɢɣ ɢɯ ɬɚɤɠɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɢɫɬɟɦɚɦɢ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɨɣ ɚɥɝɟɛɪɵɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɵ ɞɥɹɫɢɦɜɨɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɢ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɹɩɨɞɫɬɚ ɧɨɜɤɢ ɨɞɧɢɯ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣ ɜ ɞɪɭɝɢɟ ɭɩɪɨɳɟɧɢɹ ɮɨɪɦɭɥ ɢ ɬ ɞ
ȼ ɱɟɦ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɨɬɥɢɱɢɹ ɫɢɦɜɨɥɶɧɵɯ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɨɬ ɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɢ
ɩɨɱɟɦɭ ɜɨɡɧɢɤ ɬɟɪɦɢɧ ©ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɚɹ ɚɥɝɟɛɪɚª" Ʉɨɝɞɚ ɦɵ ɝɨɜɨɪɢɦ ɨ ɜɵɱɢɫɥɢ ɬɟɥɶɧɵɯ ɦɟɬɨɞɚɯ ɬɨ ɫɱɢɬɚɟɦ ɱɬɨ ɜɫɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ ɜ ɩɨɥɟɜɟɳɟ ɫɬɜɟɧɧɵɯ ɢɥɢ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɯ ɱɢɫɟɥȼ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɠɟ ɜɫɹɤɚɹ ɩɪɨɝɪɚɦɦɚ ɞɥɹ ɗȼɆ ɢɦɟɟɬ ɞɟɥɨ ɬɨɥɶɤɨ ɫ ɤɨɧɟɱɧɵɦ ɧɚɛɨɪɨɦ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɬɨɥɶɤɨ ɬɚɤɢɟ ɱɢɫɥɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬɫɹ ɜ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɟ Ⱦɥɹ ɡɚɩɢɫɢ ɰɟɥɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɨɬ ɜɨɞɢɬɫɹ ɨɛɵɱɧɨ ɢɥɢ ɞɜɨɢɱɧɵɯ ɫɢɦɜɨɥɚ ɛɢɬɚ ɞɥɹ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ± ɢɥɢ ɛɢɬɚ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɬɚɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɧɟ ɡɚɦɤɧɭɬɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟ ɫɤɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɱɬɨ ɦɨɠɟɬ ɜɵɪɚɠɚɬɶɫɹ ɜ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɩɟɪɟɩɨɥɧɟɧɢɹɯ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɩɪɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ ɢɥɢ ɩɪɢ ɞɟɥɟɧɢɢ ɧɚ ɦɚɥɵɟ ɱɢɫɥɚ
7
А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ȿɳɟ ɛɨɥɟɟ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨɣɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɶɸ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨ ɱɬɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɧɚɞ ɷɬɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ ɜɵɩɨɥɧɹɟɦɵɟ ɤɨɦɩɶɸɬɟ ɪɨɦ ɨɬɥɢɱɚɸɬɫɹ ɨɬ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɜ ɩɨɥɟ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɢ ɛɨ ɥɟɟ ɬɨɝɨ ɞɥɹ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɵɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɧɟ ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɚɤɫɢɨɦɵ ɩɨɥɹ ɚɤɫɢɨɦɵ ɚɫɫɨɰɢɚɬɢɜɧɨɫɬɢ ɢ ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɨɫɬɢ ɗɬɢ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɢ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪ ɧɵɯ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɨɰɟɧɢɜɚɸɬɫɹ ɜ ɬɟɪɦɢɧɚɯ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɢɥɢ ɬɨɱɧɨɫɬɢ ɜɵɱɢɫɥɟ ɧɢɣ Ɉɰɟɧɤɚ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɨɞɧɭ ɢɡ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɩɪɨɛɥɟɦ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶ ɧɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ Ʉɚɠɞɭɸ ɡɚɞɚɱɭ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɪɟɲɢɬɶ ɫ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟɦ ɢɦɟɸ ɳɢɯɫɹ ɪɟɫɭɪɫɨɜ ɗȼɆ ɡɚ ɨɛɨɡɪɢɦɨɟ ɜɪɟɦɹ ɫ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ȼ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɨɣ ɚɥɝɟɛɪɟ ɜɫɟɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɞɨɥɠɧɵ ɛɵɬɶɬɨɱɧɵɦɢɢ ɜ ɷɬɨɦ ɫɨ ɫɬɨɢɬ ɟɟ ɝɥɚɜɧɨɟ ɨɬɥɢɱɢɟ ɨɬ ɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɍ ɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɟɫɬɶ ɧɟ ɫɤɨɥɶɤɨ ɨɬɥɢɱɢɣ ɨɬ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢɯ ɢ ɫɚɦɨɟ ɝɥɚɜɧɨɟ ɢɡ ɧɢɯ ± ɬɨ ɱɬɨ ɜ ɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɦɟɬɨɞɚɯ ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ ɪɚɫɱɟɬɨɜ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɢɩɨɜɨɣ ɧɚɛɨɪ ɚɥɝɨɪɢɬɦɨɜ ɚ ɜɵɱɢɫɥɟ ɧɢɹ ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɣ Ɉɛɵɱɧɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ ɱɢɫ ɥɟɧɧɵɦɢ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ± ɤɨɧɤɪɟɬɧɵɣ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɨɬɜɟɬ ȼ ɧɚɭɱɧɵɯ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹɯ ɢ ɬɟɯɧɢɱɟɫɤɢɯ ɪɚɫɱɟɬɚɯ ɫɩɟɰɢɚɥɢɫɬɚɦ ɩɪɢɯɨɞɢɬɫɹ ɝɨ ɪɚɡɞɨ ɛɨɥɶɲɟ ɡɚɧɢɦɚɬɶɫɹ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹɦɢ ɮɨɪɦɭɥ ɱɟɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨ ɱɢɫɥɟɧɧɵɦ ɫɱɟɬɨɦ
ɋɢɫɬɟɦɵ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɨɣ ɚɥɝɟɛɪɵ ɪɚɡɥɢɱɚɸɬɫɹ ɩɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɹɦ ɧɨ ɨɛɵɱɧɨ ɩɨɞ
ɞɟɪɠɢɜɚɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɫɢɦɜɨɥɶɧɵɟ ɞɟɣɫɬɜɢɹ
xɭɩɪɨɳɟɧɢɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣ ɞɨ ɦɟɧɶɲɟɝɨ ɪɚɡɦɟɪɚ ɢɥɢ ɩɪɢɜɟɞɟɧɢɟ ɤɫɬɚɧɞɚɪɬ ɧɨɦɭ ɜɢɞɭ
xɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɚ ɫɢɦɜɨɥɶɧɵɯ ɢ ɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ
xɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɜɢɞɚ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣ ɪɚɫɤɪɵɬɢɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣ ɢ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɪɚɡɥɨɠɟ
ɧɢɟ ɧɚ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ
xɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɧɚ ɩɪɨɫɬɵɟ ɞɪɨɛɢ
xɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣ
xɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɟ ɜ ɱɚɫɬɧɵɯ ɢ ɩɨɥɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ
8
ЧТО ТАКОЕ КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА?
xɧɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɫɢɦɜɨɥɶɧɨɟ ɢɧ
ɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ
xɫɢɦɜɨɥɶɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱ ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɝɥɨɛɚɥɶɧɵɯ ɷɤɫɬɪɟɦɭ
ɦɨɜ ɭɫɥɨɜɧɵɯ ɷɤɫɬɪɟɦɭɦɨɜ ɢ ɬ ɞ
xɪɟɲɟɧɢɟ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɢ ɧɟɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
xɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɟ ɧɟɱɢɫɥɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɢ ɤɨɧɟɱɧɨ ɪɚɡ
ɧɨɫɬɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
xɧɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɩɪɟɞɟɥɨɜ ɮɭɧɤɰɢɣ ɢ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɟɣ
xɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɵɟ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ
xɨɩɟɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɫ ɪɹɞɚɦɢ ɫɭɦɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɫɭɩɟɪɩɨɡɢɰɢɹ
xɦɚɬɪɢɱɧɵɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ
xɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ
Ɇɵ ɛɭɞɟɦ ɢɦɟɬɶ ɞɟɥɨ ɫɨ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɨɛɴɟɤɬɚɦɢ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɨɣ ɚɥɝɟɛɪɵ
Ʉɨɥɶɰɨ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɫ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦɉɨɥɟ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥɄɨɥɶɰɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜɆɚɬɪɢɱɧɵɟ ɤɨɥɶɰɚȺɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɟ ɱɢɫɥɚɄɨɥɶɰɚ ɜɵɱɟɬɨɜɄɨɧɟɱɧɵɟ ɩɨɥɹ
9
ɇɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ ɫɜɟɞɟɧɢɹ ɢɡ ɚɛɫɬɪɚɤɬɧɨɣ ɚɥɝɟɛɪɵ
Ɉɬɧɨɲɟɧɢɹ
ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɞɜɭɯ ɢɥɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɫɜɹɡɚɧɵ ɞɪɭɝ ɫ ɞɪɭɝɨɦ ɬɟɦ
ɢɥɢ ɢɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɞɜɟ ɩɪɹɦɵɟ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶ
ɧɵɦɢ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵɦɢ ɫɤɪɟɳɢɜɚɸɳɢɦɢɫɹ Ⱦɜɟ ɩɪɹɦɵɟ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɟɪɩɟɧ
ɞɢɤɭɥɹɪɧɵ ɨɞɧɨɣ ɢ ɬɨɣ ɠɟ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ Ⱥɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ
ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨ ɪɚɜɧɵɦɢ Ⱦɥɹ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɩɨɞɨɛɧɨɝɨ ɪɨɞɚ ɫɜɹɡɟɣ ɧɚɦ ɩɨɧɚɞɨɛɹɬɫɹ
ɩɨɧɹɬɢɹ ɩɪɹɦɨɝɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ
ɉɪɹɦɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜ
Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɪɹɦɵɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦɞɜɭɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨ
ɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɯ ɩɚɪ ɜɢɞɚǡɝɞɟ א א ɉɪɹɦɨɟ
ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ ɬɚɤ
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟɋɥɨɜɚ ©ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɯɩɚɪª ɨɡɧɚɱɚɸɬ ɱɬɨ ɩɚɪɵǡɢ
ǡɪɚɡɥɢɱɧɵ ɟɫɥɢ
Ɉɬɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɩɚɪɵǡɢ ǡ ɦɵ ɫɱɢɬɚɟɦɪɚɜɧɵɦɢ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ
ɤɨɝɞɚ ɢ
ɉɪɢɦɟɪɉɪɹɦɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚ ɫɟɛɹ ɬɨ ɟɫɬɶ ɨɛɨɡɧɚɱɚ
ɟɬɫɹ ɤɚɤ Ɉɧɨ ɨɛɵɱɧɨ ɨɬɨɠɞɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɫ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɜɫɟɯ ɬɨɱɟɤ
ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ
ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɩɪɢɦɟɪ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦɨɝɨ ɜ ɜɢɞɟ ɩɪɹɦɨɝɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ
ɉɪɢɦɟɪɊɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɬɨɱɟɤ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɡɚɞɚɜɚɟɦɨɟ ɭɪɚɜɧɟ
ɧɢɟɦݔ ݕ ɉɨɤɚɠɟɦ ɱɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ
ɜɢɞɟ ɩɪɹɦɨɝɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ك ɢ ك Ǥɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ ɧɚɩɪɨɬɢɜ
10