Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. Учебное пособие
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§3. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
ɉɨɷɬɨɦɭ ɜɫɟ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɵɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɩɪɢ ǡǥǡ ɞɟɥɹɬɫɹ ɧɚ
ɩɪɨɫɬɨɟ ɱɢɫɥɨ Ɉɬɫɸɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ ɱɬɨ ɜ ɤɨɥɶɰɟ ݔɢɦɟɟɬɫɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ
ݔ ݔ
Ɍɨɱɧɨ ɬɚɤ ɠɟ ɦɨɠɧɨ ɭɬɜɟɪɠɞɚɬɶ ɱɬɨ ɜ ɤɨɥɶɰɟ ݔɢɦɟɟɬɫɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ
ݔ ݔ ɟɫɥɢ ʹȾɥɹ ʹɷɬɨ ɬɚɤɠɟ ɜɟɪɧɨ
ɉɨɷɬɨɦɭ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟכɞɥɹ ɪɟɞɭɤɰɢɢ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɦɨɠɟɦ ɡɚɩɢɫɚɬɶ
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ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚ ɚ ɷɬɨ ɧɟ ɬɚɤ ɜ ɫɢɥɭ ɬɨɝɨ ɱɬɨ
ݔ ݔ ڮݔ ȁ ڮ Ǥ
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ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɹ
Ɋɚɡɥɨɠɢɬɟ ɧɚ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ ɜݔɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ
ɚ ݔ ݔ ɛ ݔ ݔ ݔ
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ɚ ݔ ݔ ʹ
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ɜ ݔ ݔ ɝ ݔ
ɭɤɚɡɚɧɢɟݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ
ݔ ݔ ݔ
ɞ ݔ ɟ ݔ ʹ
Ɋɚɡɥɨɠɢɬɟ ɰɟɥɨɱɢɫɥɟɧɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɚ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ ɢɥɢ
ɞɨɤɚɠɢɬɟ ɱɬɨ ɨɧ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦǣ
ɚ ݔ ͵ݔ ɛ ݔ ݔ ɜ ݔ ʹݔ ͻ
ɝ ݔ ݔ ͵ݔ ʹݔ ʹ ɞ ݔ ݔ
Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɥɢ ɰɟɥɨɱɢɫɥɟɧɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɦ ɚ ݔ ݔ ɛ ݔ ݔ ݔ
ɜ ݔ ʹݔ ݔ ͵ ɭɤɚɡɚɧɢɟ ɢɫɩɨɥɶɡɭɣɬɟ ɪɟɞɭɤɰɢɨɧɧɵɣ ɩɪɢɡɧɚɤ
ɝ ݔ ͺݔ ݔ
Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɤɨɧɬɪɨɥɶɧɵɯ ɪɚɛɨɬ
, ɉɪɢɦɟɧɢɬɟ ɪɚɫɲɢɪɟɧɧɵɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ȿɜɤɥɢɞɚ ɤ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚɦ ɢ
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§3. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
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ݔ ݔ ͵ݔ ͵ݔ ͵ݔ ǡ ݔ ʹݔ ʹݔ
,, ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɩɪɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɚɫɫɨɰɢɢɪɨɜɚɧɧɵɟ ɨɫɬɚɬɤɢ ɧɚɣɞɢɬɟ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ
ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ȿɜɤɥɢɞɚʜʝʓ ǡɟɫɥɢݔ ݔ ʹݔ ݔ ǡ ݔ ݔ ʹ
ݔ ͵ݔ ʹݔ ǡ ݔ ݔ ʹݔ ݔ ݔ ͵ݔ ʹǡ ݔ ʹݔ ʹݔ
ݔ ͺݔ ͻݔ ݔ ǡ ʹݔ ͵ݔ ͵ݔݔ ͺݔ ݔ ͺݔ ǡ ݔ ͵ݔ ݔ ͵
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,, Ɋɚɡɥɨɠɢɬɟ ɧɚ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɢ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ ɢ ɧɚɣɞɢɬɟʜʝʓ ǡɟɫɥɢ
ݔݔݔݔݔݔݔ
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ݔ ݔ ɢ ݔ ʹ ݔ ʹ
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ʹݔ ݔ ʹɢ ݔ ݔݔ ݔ ɢ ݔ ʹ ݔ ʹ
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ݔ ݔ ݔ ɢ ݔ ʹ ݔ ʹ
ݔ ݔ ݔ ɢ ݔ ͵ ݔ ͵
ݔ ʹݔ ݔ ʹɢ ݔ ʹ ݔ ʹ
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Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɨɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ
ɇɚɲɟɣ ɛɥɢɠɚɣɲɟɣ ɰɟɥɶɸ ɛɭɞɟɬ ɡɚɞɚɱɚ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟ
ɧɢɣ ɬɨ ɟɫɬɶ ɫɢɫɬɟɦ ɤɚɠɞɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɵɯ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ ɝɞɟ ± ɦɧɨɝɨ
ɱɥɟɧ ɨɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ
ɉɭɫɬɶ ± ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɟ ɤɨɥɶɰɨ Ɉɛɵɱɧɨ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ
ɱɢɫɥɨɜɨɟ ɤɨɥɶɰɨ ɬɨ ɟɫɬɶ ك
Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟȼɵɪɚɠɟɧɢɟ ɜɢɞɚݔ ݔ ǥݔ ɝɞɟ ± ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɢɡ ɤɨɥɶɰɚ ɱɢɫɥɚ ǡ ǡǥǡ ± ɰɟɥɵɟ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ ɬɨ ɟɫɬɶ ǡ ǡǥǡ א
ڂɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶɦɨɧɨɦɨɦ ɨɬݔ ǡݔ ǡǥǡݔ ɧɚɞ ɤɨɥɶɰɨɦ
Ɋɚɡɧɨɫɬɶ ɢɥɢ ɫɭɦɦɚ ݔ ݔ ǥݔ ݔ ݔ ǥݔ ɦɨɧɨɦɨɜ ɨɬɥɢɱɚɸɳɢɟɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɤɚɤ ɦɨɧɨɦ ݔ ݔ ǥݔ ɉɨɷɬɨɦɭ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ ɱɬɨ ɜ ɡɚɩɢɫɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɧɟɬ ɩɨɞɨɛɧɵɯ ɦɨɧɨɦɨɜ
ɉɪɢɦɟɪɆɧɨɝɨɱɥɟɧ ݔ ʹݔݖ ݕ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ
ݔ ݕ ݖ ʹݔ ݕ ݖ ݔ ݕ ݖ
ɉɭɫɬɶ ± ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ
ǥ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɭ ɩɨɫɬɚɜɢɦ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ
ɜɢɞɚ σ ǡ ǡǥǡ א ǡ ǡǥǡ ݔ ݔ ǥݔ ɩɪɢɱɟɦ ɞɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɜɟɤɬɨɪ
ǡ ǡǥǡ ɛɭɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ ɢ ɩɢɫɚɬɶ
σא ݔ ݔ ǥݔ
Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧ ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶɧɭɥɟɜɵɦɟɫɥɢ ɜɫɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ
Ɍɨɝɞɚɞɜɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ σא ݔ ݔ ǥݔ ɢ σא ݔ ݔ ǥݔ
ɪɚɜɧɵɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ ɢ ɞɥɹ ɜɫɟɯ א
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ɋɬɟɩɟɧɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
ɋɭɦɦɚɪɧɨɣ ɫɬɟɩɟɧɶɸ ɢɥɢ ɩɪɨɫɬɨɫɬɟɩɟɧɶɸɦɨɧɨɦɚݔ ݔ ǥݔ ɧɚɡɵ ɜɚɟɬɫɹ ɱɢɫɥɨ ڮ ɋɬɟɩɟɧɶɸ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɧɚɢɛɨɥɶ
ɲɭɸ ɢɡ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɜɯɨɞɹɳɢɯ ɜ ɧɟɝɨ ɧɟɧɭɥɟɜɵɯ ɦɨɧɨɦɨɜ
ȼɜɟɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ
ǡ ǡǥǡ א σ
Ɍɨɝɞɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ σא ݔ ݔ ǥݔ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
σ σא ݔ ݔ ǥݔ ɝɞɟ ± ɫɬɟɩɟɧɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
Ʉɚɤ ɢ ɞɥɹ ɨɞɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɩɢɫɚɬɶ
ɉɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ σ σא ݔ ݔ ǥݔ ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɤɚɧɨɧɢɱɟɫɤɨɣ
ɡɚɩɢɫɶɸ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
ɈɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɆɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɨɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯݔ ǡݔ ǡǥǡݔ ɛɭɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶݔ ǡݔ ǡǥǡݔ ɢ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɟɝɨ ɤɨɥɶɰɨɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɨɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ
ݔ ǡݔ ǡǥǡݔ ɧɚɞ ɤɨɥɶɰɨɦ
ȿɫɥɢ ɤɨɥɶɰɨ ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɞɟɥɢɬɟɥɟɣ ɧɭɥɹ ɬɨ ɤɨɥɶɰɨݔ ǡݔ ǡǥǡݔ ɬɚɤɠɟ ɧɟ
ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɞɟɥɢɬɟɥɟɣ ɧɭɥɹ
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɫɬɟɩɟɧɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
ɉɭɫɬɶ ɢ ɧɟɧɭɥɟɜɵɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɢɡݔ ǡݔ ǡǥǡݔ
ȿɫɥɢ ɬɨ ݔǡ
ȿɫɥɢ ɬɨ
ȿɫɥɢ ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɞɟɥɢɬɟɥɟɣ ɧɭɥɹ ɬɨ
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§4. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ȿɫɥɢ ± ɨɛɥɚɫɬɶ ɰɟɥɨɫɬɧɨɫɬɢ ɬɨ ݔ ǡݔ ǡǥǡݔ ± ɬɚɤɠɟ ɨɛɥɚɫɬɶ ɰɟɥɨɫɬ
ɧɨɫɬɢ
ɉɪɢɦɟɪɆɧɨɝɨɱɥɟɧ ݔ ʹݔ ݕݖ ݕ ʹݔ ݕ ݖ ɢɦɟɟɬ ɫɬɟɩɟɧɶ ɤɚɤ ɷɬɨ
ɜɢɞɧɨ ɢɡ ɩɨɞɱɟɪɤɧɭɬɨɝɨ ɫɬɚɪɲɟɝɨ ɦɨɧɨɦɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
Ʌɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɢ ɟɝɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚ
ɇɚɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɜɜɟɞɟɦɩɨɪɹɞɨɤɫɥɟɞɭɸɳɢɦɨɛɪɚɡɨɦȻɭɞɟɦɫɱɢɬɚɬɶɱɬɨ
ǡ ǡǥǡ ظ ǡ ǡǥǡ ɟɫɥɢ ɩɟɪɜɵɣ ɫɱɢɬɚɹ ɫɥɟɜɚ ɧɚɩɪɚɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬ ɩɟɪ
ɜɨɝɨ ɧɚɛɨɪɚ ɨɬɥɢɱɧɵɣ ɨɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɜɬɨɪɨɝɨ ɧɚɛɨɪɚ ɛɨɥɶɲɟ
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɟɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɜɬɨɪɨɝɨ ɧɚɛɨɪɚ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɟɩɟɪɶ ɧɟɧɭɥɟɜɵɟ ɦɨɧɨɦɵݑ ݔ ݔ ǥݔ ɢݒ ݔ ݔ ǥݔ ɢɡ ɤɨɥɶɰɚ ݔ ǡݔ ǡǥǡݔ
Ȼɭɞɟɦ ɝɨɜɨɪɢɬɶ ɱɬɨ ɦɨɧɨɦݑ ݔ ݔ ǥݔ ɫɬɚɪɲɟɦɨɧɨɦɚ
ݒ ݔ ݔ ǥݔ ɟɫɥɢ ǡ ǡǥǡ ظ ǡ ǡǥǡ ɋɢɦɜɨɥɢɱɟɫɤɢ ɛɭɞɟɦ ɨɛɨ ɡɧɚɱɚɬɶ ɷɬɨ ɬɚɤݑ ظ ݒ
Ɍɚɤɨɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɦ
ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɨɬ ɨɞɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɫɨɜ
ɩɚɞɚɟɬ ɫ ɨɛɵɱɧɵɦ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɟɦ ɨɞɧɨɱɥɟɧɨɜ
ɇɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɦɨɧɨɦ ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ
ɫɬɚɪɲɢɦ ɱɥɟɧɨɦ ɢɥɢ ɫɬɚɪɲɢɦ ɦɨɧɨɦɨɦ
ɉɪɢɦɟɪɊɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ݔ ݔ ݔ ݔ ͵ݔ ݔ ݔ ݔ
ȿɝɨ ɦɨɧɨɦɵ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɵɟ ɩɨ ɭɛɵɜɚɧɢɸ ɡɚɩɢɲɭɬɫɹ ɬɚɤ
ݔ ظ ݔ ݔ ظ ݔ ݔ ݔ ظ ͵ݔ ݔ
Ɍɟɨɪɟɦɚɫɜɨɣɫɬɜɚ ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɸɬɫɹ ɧɟɧɭɥɟɜɵɟ ɦɨɧɨɦɵݑǡݒǡݓ
ɋɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ
ɟɫɥɢݑ ظ ݒɢݒ ظ ݓɬɨݑ ظ ݓɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɨɫɬɶ
ɟɫɥɢ ݑ ظ ݒɬɨݑݓ ظ ݒݓɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɦɨɧɨɦɚݓ
©ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɦɨɠɧɨ ɭɦɧɨɠɚɬɶ ɫɩɪɚɜɚ ɢɥɢ ɫɥɟɜɚ ɧɚ ɥɸɛɨɣ ɦɨɧɨɦª
ɟɫɥɢݑ ظ ݒ ɢݑ ظ ݒ ɬɨݑ ݑ ظ ݒ ݒ
©ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɝɨ ɫɦɵɫɥɚ ɦɨɠɧɨ ɩɟɪɟɦɧɨɠɚɬɶª
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ
ɉɭɫɬɶݑ ظ ݒɢݒ ظ ݓɉɭɫɬɶݑ ݔ ǥݔ
ݒ ݔ ǥݔ ɢݓ ݔ ǥݔ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɟɪɜɵɣ ɫɱɢɬɚɹ ɫɥɟɜɚ ɧɚɩɪɚɜɨ ɧɨɦɟɪ ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɧɟ ɜɫɟ
ɬɪɢ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹ ɦɨɧɨɦɨɜݑ ݒɢݓɨɞɢɧɚɤɨɜɵ
Ɍɨɝɞɚ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹݑ ظ ݒɫɥɟɞɭɟɬ ɱɬɨ ɚ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹݒ ظ ݓɫɥɟɞɭɟɬ
ɱɬɨ
ȼɨɡɦɨɠɧɵɞɜɚɫɥɭɱɚɹ ɢ ȼɩɟɪɜɨɦɫɥɭɱɚɟɢɦɟɟɦ
ɢ ɩɨɷɬɨɦɭ ɬɨ ɟɫɬɶ ɱɬɨ ɜɥɟɱɟɬ ɡɚ ɫɨɛɨɣ ɱɬɨ ݑ ظ ݓȼɨ
ɜɬɨɪɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɬɨ ɟɫɬɶ ɫɧɨɜɚ ɢ ɩɨɷɬɨɦɭݑ ظ ݓ
ɉɪɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɢ ɧɚ ɦɨɧɨɦݓɤ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹɦ ɫ ɤɨɬɨɪɵɦɢ ɤɚɠɞɚɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ
ɜɯɨɞɢɬ ɜݑɢ ݒɞɨɛɚɜɥɹɟɬɫɹ ɨɞɧɨ ɢ ɬɨ ɠɟ ɱɢɫɥɨ ɢ ɡɧɚɤ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɢɥɢ
ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɦɟɠɞɭ ɷɬɢɦɢ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹɦɢ ɫɨɯɪɚɧɹɟɬɫɹ ɉɨɷɬɨɦɭ
ݑݓ ظ ݒݓ
ɉɨɥɶɡɭɹɫɶ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɩɨɥɭɱɢɦ ݑ ظ ݒ ֜ ݑ ݑ ظ ݒ ݑ
ݑ ظ ݒ ֜ ݒ ݑ ظ ݒ ݒ ɬɨ ɟɫɬɶݑ ݑ ظ ݒ ݑ ظ ݒ ݒ Ⱦɚɥɟɟ ɩɨ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜ
ɧɨɫɬɢݑ ݑ ظ ݒ ݒ
Ɍɟɨɪɟɦɚɨ ɫɬɚɪɲɟɦ ɱɥɟɧɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɉɭɫɬɶ ± ɰɟɥɨɟ ɤɨɥɶɰɨ Ɍɨɝɞɚ ɫɬɚɪ
ɲɢɣ ɱɥɟɧ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɧɟɧɭɥɟɜɵɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɢɡ ɤɨɥɶɰɚ ݔ ǡݔ ǡǥǡݔ ɪɚɜɟɧ
ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɫɬɚɪɲɢɯ ɱɥɟɧɨɜ ɫɨɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ
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§4. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ȾɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨɁɚɩɢɲɟɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɢ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɜɢɞɟ
˔˕˃˓˛ˋˌ˚ˎˈː ݑ ɫɭɦɦɚ ɦɥɚɞɲɢɯ ɱɥɟɧɨɜݑ
˔˕˃˓˛ˋˌ˚ˎˈːݓ ɫɭɦɦɚ ɦɥɚɞɲɢɯ ɱɥɟɧɨɜݓ
ɉɭɫɬɶݑ ݔ ǥݔ ݒ ݔ ǥݔ Ɍɨɝɞɚ ɢ ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜ ɤɨɥɶɰɟ ɧɟɬ ɞɟɥɢɬɟɥɟɣ ɧɭɥɹ ɬɨ ɢݑݓ ݔ ǥݔ ± ɧɟɧɭɥɟɜɨɣ ɦɨɧɨɦ ɉɨ ɬɟɦ ɠɟ ɩɪɢɱɢɧɚɦ ɧɟɧɭɥɟɜɵɦɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɬɚɤɠɟ ɦɨɧɨɦɵݑݓ ǡݑ ݓǡݑ ݓ
ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ݑ ظ ݑ ǡݓ ظ ݓ ȼ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɜɯɨɞɹɬ ɦɨɧɨɦɵ ɜɢɞɚ
ݑݓǡݑݓ ǡݑ ݓǡݑ ݓ ɉɨ ɞɨɤɚɡɚɧɧɵɦ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦ ɢɦɟɟɦ ݑݓ ظ ݑݓ ǡ
ݑݓ ظ ݑ ݓǡݑݓ ظ ݑ ݓ ɩɪɨɜɟɪɶɬɟ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨ ɉɨɷɬɨɦɭݑݓɟɫɬɶ ɫɬɚɪɲɢɣ
ɱɥɟɧ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ
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Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
Ȼɚɡɢɫ ɢɞɟɚɥɚ
ɉɭɫɬɶ ± ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɟ ɩɨɥɟ ǡǥǡ א ݔ ǡǥǡݔ ɋɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɢɞɚ
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ݔ ǡǥǡݔ |
כ |
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ݔ ǡǥǡݔ |
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ǥ |
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ݔ ǡǥǡݔ |
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹɫɢɫɬɟɦɨɣ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣɧɚɞ ɩɨɥɟɦ
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟȿɫɥɢ ɫɬɟɩɟɧɢ ɜɫɟɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ǡǥǡ ɧɟ ɩɪɟɜɨɫɯɨɞɹɬ ɟɞɢɧɢɰɵ
ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹɫɢɫɬɟɦɨɣ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣȿɟ ɦɨɠɧɨ ɪɟ
ɲɚɬɶ ɦɟɬɨɞɨɦ Ƚɚɭɫɫɚ
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟȿɫɥɢ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟכɢɦɟɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
ݔ ǡǥǡݔ ɢ ɨɞɧɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ ɬɨ ɟɫɬɶ ɬɨ ɦɵ ɢɦɟɟɦ ɫɢɬɭɚɰɢɸ ɫ
ɨɞɧɢɦ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɨɬ ɨɞɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɟɫɥɢ
ɩɨɥɟɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɥɟ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɪɟɲɢɬɶ
ɜ ɨɛɳɟɦ ɜɢɞɟ ɬɨɥɶɤɨ ɟɫɥɢ ɫɬɟɩɟɧɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɧɟ ɜɵɲɟ ɱɟɬɵɪɟɯ Ⱦɥɹ ɫɬɟɩɟ
ɧɟɣ ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɹɬɢ ɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɮɨɪɦɭɥɵ ɜɵɪɚɠɚɸɳɟɣ ɤɨɪɧɢ ɨɛɳɟɝɨ ɭɪɚɜ
ɧɟɧɢɹ ɫɬɟɩɟɧɢ ɜɵɲɟ ɱɟɬɜɟɪɬɨɣ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɜɵɱɢɬɚɧɢɹ ɞɟ
ɥɟɧɢɹ ɜɨɡɜɟɞɟɧɢɹ ɜ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɭɸ ɫɬɟɩɟɧɶ ɢ ɢɡɜɥɟɱɟɧɢɹ ɤɨɪɧɟɣ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɣ
ɫɬɟɩɟɧɢ
ɗɬɨɦɭ ɧɟ ɩɪɨɬɢɜɨɪɟɱɢɬ ɬɨɬ ɮɚɤɬ ɱɬɨ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚɩɪɢɦɟɪ
ݔ ɦɨɠɧɨ ɪɟɲɢɬɶ ɜ ɪɚɞɢɤɚɥɚɯ
ȼɜɟɞɟɦ ɪɹɞ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɵɯ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ
Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɉɭɫɬɶ ± ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɟ ɤɨɥɶɰɨ Ɍɨɝɞɚ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ك
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹɢɞɟɚɥɨɦ ɤɨɥɶɰɚɟɫɥɢ ɢɦɟɸɬ ɦɟɫɬɨ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ
x א ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜǡ א
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