Элементы квантовой механики. Учебное пособие по дисциплине «Физика»

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

Институт управления и информационных технологий

Кафедра «Физика»

Н.П. Наумов

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Под редакцией профессора С.М. Кокина

Учебное пособие для студентов ИУИТ, ИПСС, ИТТСУ, ИПТ

и Вечернего факультета

Москва – 2019

1

УДК 530

Н-34

Наумов Н. П. Элементы квантовой механики: Учебное пособие по дисциплине «Физика» / Под ред. профессора С.М. Кокина.

– М.: РУТ (МИИТ), 2019. – 22 с.

Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов дневной и вечерней форм обучения университета транспорта, соответствует программе по физике для подготовки бакалавров и специалистов, включает в себя вопросы теории и примеры по разделу «Атомная физика и квантово-механическая теория».

Учебное пособие адресовано студентам ИУИТ, ИПСС, ИПТ, ИТТСУ и Вечернего факультета.

Рецензенты:

–проф. кафедры «Физика» МГТУ «Станкин» А.А. Шарц;

–проф. кафедры «Управление транспортным бизнесом и интел-

лектуальные системы» РУТ (МИИТ) В.В. Доенин

© РУТ (МИИТ), 2019

2

1 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ

1.1 Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер (туннельный эффект)

Рассмотрим случай одномерного движения, при котором микрочастица проходит через область пространства с полем, график зависимости потенциальной энергии U от координаты x в котором изображен на рис. 1 (например, речь идёт о маленьком шарике, движущемся в поле сил тяжести в направлении потенциального барьера – поверхности выпуклой формы). Согласно законам классической физики, если энергия E шарика меньше высоты препятствия UМАКС, он не сможет достичь вершины и «отразится» от препятствия, а если EUМАКС, препятствие обязательно будет преодолено. Квантовая механика, однако, даёт необычный прогноз: и отразиться от препятствия, и преодолеть его с некоторой вероятностью шарик может в обеих ситуациях, как при E UМАКС, так и при E UМАКС.

Рис. 1. Потенциальный барьер произвольной формы

Сказанное справедливо, если речь идёт не просто о шарике, а о очень маленьком объекте (микрочастице), имеющем массу m, энергию E и движущемся вдоль оси X в сторону одномерного потенциального барьера прямоугольной формы (рис. 2) вида

3

U 0 при x 0 (область I)

U U0 при 0 x d (область II) (1)

U 0 при x d (область III).

Рис. 2. Потенциальный барьер прямоугольной формы

Найдём волновую функцию этой микрочастицы во всех трёх областях пространства (I, II и III). Поскольку потенциальная энергия U не зависит от времени, следует воспользоваться уравнением Шредингера для стационарных состояний,

при этом независимой переменной будет являться лишь одна координата x, вдоль которой движется микрочастица.

В области I уравнение (2) е его решение имеют вид

где kI √2ħm2 , а i √ 1. Таким образом, для свободной микроча-

стицы, падающей на потенциальный барьер, решение описывает две волны: падающую (слагаемое AIeikI) и отраженную (слагаемое

BIe ikI). Параметр kI является волновым числом, которое связано с

4

импульсом микрочастицы соотношением p ħk; множитель AI – амплитуда волновой функции падающей волны, BI – амплитуда волно-

вой функции отражённой от барьера волны.

Поскольку плотность вероятности обнаружения микрочастицы в заданной точке пространства равна квадрату модуля волновой функции, то есть, по сути – квадрату её амплитуды, то в качестве меры интенсивности отражения (коэффициента отражения R) принимают отношение квадратов амплитуд отраженной и падающей волн:

B 2

R I2. (4)

AI

Аналогично для области III

III(x) 2ħm2 E III 0,

III(x) AIIIeikIIIx BIIIe ikIII x.

где kIII √2ħm2 kI.

Но в этой области отражаться не от чего, то есть отражённой волны здесь нет, а, следовательно, BIII 0 и

или проходит), поэтому можно записать:

Для области II уравнение Шредингера записывается следующим образом:

5

Вид решения зависит от того, положительной или отрицательной является разность U0 E.

Если E U0 0 (то есть энергия микрочастицы E больше высоты потенциального барьера), решение оказывается аналогичным фор-

причём и здесь имеют место две волны: бегущая вдоль оси X и отражённая на границе x a,

II(x) AIIeikII x BIIe ikII x. (9)

Очевидно, kII kI kIII, то есть длина волны в области II оказывается больше, чем в областях I и II (напомним, что волновое число k 2 / , где – длина волны).

Но если U0 E 0 (энергия частицы меньше высоты барьера),

Второе слагаемое, неограниченно возрастающее по мере движения частицы вдоль оси X, физического смысла не несет, следовательно, B̃II 0. Сказанное означает: в области II решение описывает

совсем не волну, а является экспонентой, спадающей с расстоянием:

̃II(x) ÃIIe qI Ix. (10)

Теперь запишем формулу для коэффициента прозрачности барьера D.

Поскольку -функция должна быть непрерывной, выполняются условия

Функция также должна быть гладкой, то есть

6

I (x 0) II (x 0) и II (x d) III (x d).

Используя эти условия совместно с формулами (3), (5), (10) и (6), можно получить, что в случае, когда U0 E 0, коэффициент прозрачности

Это означает: микрочастица может пройти «сквозь» барьер даже если её энергия меньше высоты барьера. Данное явление получило название туннельного эффекта: микрочастица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (хотя никакого туннеля на самом деле нет).

В случае барьера не прямоугольной формы, а характеризующегося некоторой зависимостью U(x) – см. рис. 1 – коэффициент прозрачности рассчитывается по формуле

(очевидно, что выражение (11) является её частным случаем).

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как микрочастица, «находящаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией (в туннеле E U0). Поэтому данный эффект – явление специфически квантовое, не имеющее аналога в классической физике. Это связано с тем, что в квантовой механике строгое деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла.

Одним из примеров проявления туннельного эффекта является-распад ядра 21084Po – одного из наиболее часто применяемых в технике радиоактивных изотопов. Полоний испускает -частицы с энергией 5,30 МэВ, в результате вылета возникает дочернее (остав-

шееся) ядро свинца 20826Pb. Распаду препятствуют ядерные силы, которые хотя и существенно больше силы Кулона, отталкивающих друг от друга -частицу (заряд q 2e) и ядро свинца (заряд qPb

82e), но, в отличие от силы Кулона, являются короткодействующими (для тяжёлых ядер их влияние ограничивается расстоянием r 10 14 м). Итоговый график зависимости потенциальной энергии

7

взаимодействия -частицы и ядра 20826Pb имеет вид прямоугольной потенциальной ямы со стенками конечной высоты (рис. 3): область I соответствует притяжению, осуществляемому ядерными силами, а область II – кулоновскому отталкиванию. Ширина ямы близка к размерам ядра.

Рис. 3. График потенциальной энергии взаимодействия -частицы с оставшимся дочерним ядром 20826Pb

Высота потенциального барьера на его границе (там, где ядерное

притяжение становится равным кулоновскому отталкиванию) может быть рассчитана по формуле, известной из электростатики:

U0 q qPb 2 1,6 10 19 82 1,6 10 19 3,78 10 12 Дж 23,6 МэВ. 4 0r 4 8,85 10 12 10 14

Но поскольку, как было сказано выше, энергия вылетающей при

распаде ядра 21084Po -частицы (5,30 МэВ) существенно меньше высоты барьера (23,6 МэВ), можно сделать вывод: распад происходит только благодаря туннелированию -частицы сквозь потенциальный барьер.

8

1.2 Задача о линейном гармоническом осцилляторе

Задача о гармоническом осцилляторе – это задача о поведении микрочастицы в потенциальной яме параболической формы. К задаче об осцилляторе сводятся задачи о малых колебаниях.

Рассмотрим физическую систему с одной степенью свободы x, потенциальная энергия которой имеет минимум при некотором значении x x0. Примером такой системы может служить пружинный маятник. С точки зрения классической физики маятник должен совершать колебательное движение около положения равновесия при x x0 с амплитудой, зависящей от начальных условий. Обычно координату x0 принимают равной нулю (начало отсчёта), тогда при небольших отклонениях потенциальную энергию маятника можно описать формулой

2

График зависимости U(x) представлен на рис. 4.

Рис. 4. Графики зависимости потенциальной энергии и квадрата модуля волновой функции (плотности вероятности) линейного осциллятора от смещения колеблющейся частицы от положения равновесия.

Такая физическая система будет совершать гармонические колебания по закону:

9

где – собственная частота колебаний гармонического осциллятора

жёсткость пружины) Учитывая, что потенциальной энергии (13) соответствует линейная зависимость от координаты для силы упругости пружины (F x ), употребляют также термин «линейный» осциллятор.

Многие задачи физики микрочастиц сводятся к описанию поведения осциллятора (например, это задачи о колебаниях атомов, молекул). Понятно, что при их рассмотрении следует использовать не обычную, классическую, а квантовую механику.

Для решения задачи о квантово-механическом осцилляторе необходимо найти конечное, однозначное и непрерывное решение

уравнения Шредингера в случае U(x) x2 :

2

В теории дифференциальных уравнений показывается, что уравнение вида (15) имеет решение не при любых, а при вполне определённых значениях параметра E (энергии осциллятора):

где n 0, 1, 2…

Как и следовало ожидать, наименьшее значение энергии осцил-

лятора не равно нулю: при n 0 энергия E0 2 . Значение E0 назы-

вается «нулевой энергией». Квантово-механическая микрочастица не может «лежать» на дне параболической потенциальной ямы,

10