Элементы квантовой механики. Учебное пособие по дисциплине «Физика»

точно так же как она не может неподвижно «лежать» на дне прямоугольной, или какой бы то ни было другой потенциальной ямы конечной ширины. Порядок величины для E0 может быть оценен из соотношения неопределенности.

Сравним выражение (16) с формулой En 2 2 n2 (n 1,2…)

2ml 2

для возможных значений энергии микрочастицы массой m, находящейся в прямоугольной яме шириной l с бесконечно высокими стенками – см. [5]. Обратим внимание на то, что в отличие частицы в прямоугольной яме, энергия осциллятора пропорциональна не второй, а первой степени n, так что энергетические уровни оказываются равноотстоящими один от другого (эквидистантными). Эти энергетические уровни изображены на рис. 4. На этом же рисунке изображены графики квадратов модуля волновых функций квантового осциллятора при первых трёх значениях энергии (на уровнях с номерами n 0, 1, 2). Рисунок отражает тот факт, что осциллятор «может находиться» на любом из изображенных уровней энергии, но «не может находиться» между уровнями.

Чтобы «раскачать» осциллятор, перевести его из одного энергетического состояния в другое, нужно добавить ему энергию, равную разности энергий соседних уровней:

E En 1 En ħ . (21)

Мы видим, что в отличие от классического осциллятора, реагирующего на воздействие любой частоты (сама зависимость амплитуды от частоты внешней силы носит резонансный характер), квантовый гармонический осциллятор реагирует только на одну частоту, равную собственной частоте колебаний,

Так, например, если передача энергии колеблющейся микрочастице осуществляется посредством фотона, то для частоты этого фо-

тона должно выполняться условие En 1 En .

11

Существенной является ещё одна особенность поведения линейного гармонического квантового осциллятора. В отличие от рассмотренных ранее систем (как классических, так и квантовых, в частности, – микрочастицы в потенциальной яме) переходы осциллятора из одного энергетического состояния в другое должны подчиняться «правилу отбора»: разрешёнными являются переходы лишь между уровнями – соседями, когда квантовое число n меняется на единицу:

Это означает, что, например, с третьего уровня осциллятор может перейти на второй (потеряв порцию энергии ħ ) или на четвёртый (получив такую же порцию), а на все другие уровни переход из состояния с n 3 запрещён.

12

2 СВЯЗАННОЕ СОСТОЯНИЕ ДВУХ МИКРОЧАСТИЦ НА ПРИМЕРЕ АТОМА ВОДОРОДА

Простейшими атомными системами являются атом водорода и водородоподобный атомы, то есть атомы, у которых в поле ядра находится только один электрон. К таким атомам относятся, например, однократно ионизированный атом гелия He с зарядовым числом Z 2 и двукратно ионизированный атом лития Li с Z 3.

Потенциальная энергия водородоподобного атома равна

график этой функции изображён на рис. 5.

Рис. 5. Кривая U(r) и схема уровней энергии в атоме водорода (Z 1)

Уравнение Шредингера в этом случае приобретает вид

Физический смысл имеют лишь однозначные, конечные и непрерывные решения этого уравнения В том числе и на бесконечно большом удалении электрона от ядра.

Можно показать, что в случае, когда полная энергия электрона E отрицательна (что как раз характерно для электрона в атоме) данное

13

уравнение имеет решение только в случае, если E принимает вполне определённые значения:

Мы видим: как и в случае прямоугольной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками и в случае микрочастицы – квантового осциллятора возможные значения энергии электрона в водородоподобном атоме оказываются дискретными. Дискретность возникает из-за того, что мы потребовали, чтобы волновая функция электрона была конечной на сколь угодно больших расстояниях от ядра. При E 0 энергия не квантуется: электрон, имеющий большую кинетическую энергию, не движется вокруг ядра, а пролетает мимо него, удаляясь на бесконечное расстояние.

Вернемся к формуле (26). Обратим внимание на структуру коэффициента А, для чего перепишем его в виде

Величина А определяет энергию уровней и имеет размерность энергии. Размерность определяется величиной mc2 – энергией покоя электрона. Кроме mc2, в формуле входят универсальные постоянные , c и e, а также (в СИ) электрическая постоянная 0 в виде безраз-

постоянной тонкой структуры, причём 1371 .

Эта постоянная фигурирует во многих формулах квантовой механики, поэтому её значение рекомендуется запомнить.

14

Вслучае водорода в формуле Z 1 поэтому, подставив в формулу

(25)значения me, е, ħ, , 0 и преобразовав полученный результат из джоулей в электронвольты, получим:

В частности, при n 1 E1 13,6 эВ (основное состояние), если n 2, E2 13,6 212 эВ 3,47 эВ (первое возбуждённое состояние),

1

n 3, E3 13,6 32 эВ 1,57 эВ (второе возбуждённое состояние).

Расчёт показывает: уровни энергии сгущаются по мере возрастания E от 13,6 эВ до нуля. При E 0 электрон является свободным, и уровни энергии, как мы уже знаем, не квантуются (образуют непрерывный спектр). Уровни энергии электрона в атоме водорода изображены выше на рис. 5.

Сделаем одно важное замечание. Уровни энергии, которые описываются формулой (25), определяются только расстоянием до ядра, то есть состояние электрона характеризуется сферической симметрией, для которого нет выделенных направлений в пространстве. Это означает, что в этом состоянии момент импульса электрона равен нулю. Но с точки зрения классической физики устойчивые состояния электрона с нулевым моментом импульса невозможны, так как это возможно только, если скорость электрона равна нулю: следовательно, он должен упасть на ядро.

В квантовой механике, однако, действуют соотношения неопределённостей, согласно которым чем ближе электрон к ядру (то есть чем меньше неопределённость его координаты), тем большей должна быть неопределённость проекции импульса на соответствующую ось. Импульс, в свою очередь, связан с кинетической энергией WК, поэтому в результате оказывается, что при уменьшении расстояния между электроном и ядром происходит возрастание WК и полной энергии электрона E. Уменьшение расстояния между электроном и ядром ниже некоторого значения становится энергетически невыгодным, так что «упасть» на ядро электрон не может.

15

3 СПЕКТРЫ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ

Дискретность атомных уровней проявляется, например, в опытах по возбуждению и ионизации атомов газа электронным ударом (опыты Франка-Герца). Возбуждение атома, то есть переход с нижнего уровня на один из верхних, происходит в том случае, когда атому передается энергия E*, равная разности энергий E этих уровней. В опыте Франка-Герца ускоренные электроны испытывают неупругие столкновения с атомами именно в том случае, когда их энергия E* оказывается равной E электронов в атомах газа.

Энергия E, деленная на заряд электрона, называется потенциалом возбуждения; ионизационным потенциалом называется отношение энергии ионизации (минимальной энергии, необходимой для отрыва электрона от атома), к заряду электрона.

Ионизация атома водорода означает выбрасывание электрона с нижнего (основного) уровня атома (E1 13,6 эВ) в область непрерывного спектра значений энергии (E 0), и, следовательно, может осуществляться при столкновениях атомов и электронов с энергиями не ниже 13,6 эВ.

Как было отмечено, основное состояние атома водорода характеризуется квантовым числом n 1. В этом состоянии атом обладает наименьшей энергией (E1). Возбуждение атомов происходит в тех случаях, когда электрон тем или иным путем приобретает энергию, достаточную для перехода на один из уровней, лежащих выше. Способ возбуждения может быть самым различным: облучение электронами, электрический разряд, нагрев, облучение фотонами и так далее. Возбужденные атомы спустя некоторое время самопроизвольно переходят в состояние с меньшей энергией (меньшими значениями квантового числа n); освобождающаяся при таких переходах энергия чаще всего выдается в виде электромагнитного излучения.

Спектр атома водорода, то есть набор частот (длин волн), испускаемых возбужденными атомами водорода, экспериментально определен с большой точностью, именно поэтому представляет интерес сравнить эти экспериментальные данные с теорией.

16

Воспользуемся формулой (24) и найдем выражение для значений энергии, которые соответствуют спектральным линиям атома водорода (Z 1). Любая спектральная линия возникает при переходе электрона с некоторого уровня, имеющего номер i, на более низкий уровень с номером j (очевидно, j i). Энергия испускаемого кванта h i j должна равняться разности энергий этих двух уровней:

На рис. 6 изображены уровни энергии атома водорода; стрелками обозначены переходы между уровнями, соответствующие наблюдаемым спектральным линиям.

Рис. 6. Спектр атома водорода

В спектроскопии, однако, принято оперировать не с энергиями фотонов, а с длинами волн и с величинами, обратными длинам волн

17

Формула (30) была найдена эмпирически и получила название обобщенной формулы Бальмера. Формула правильно описывает экспериментальные значения длин волн спектральных линий водо-

рода при R RЭКСП 109677,6 см-1.

На рис. 6 вдоль некоторых стрелок проставлены экспериментально полученные значения длин волн, соответствующих переходам электронов между различными энергетическими уровнями.

Из рисунка следует, что каждая линия в спектре водорода входит в одну из спектральных серий; для всех линий серии значение nj

остается постоянным, а ni может принимать любые значения от ni nj 1 до ∞. В сторону коротких длин волн линии сгущаются к границе, расположенной при ni ∞.

Серия с nj 1 называется серией Лаймана. Она находится в ультрафиолетовой части спектра. Серия с nj 2 носит название серии Бальмера и находится в видимой части спектра; головная линия этой серии обозначается Hα, следующие линии – Hβ, Hγ и т.д. Серия с nj 3 называется серией Пашена; последующие серии названы именами Брэккета (nj 4) и Пфунда (nj 5); эти серии расположены в инфракрасной части спектра.

Найдем теоретическое значение постоянной Ридберга RТЕОР. С учётом формулы (27) получим:

(здесь принято 3,1415926535897932, c 299 792 458 м/c,

18

ментально, но всё же не равно ему. Исследуем причину этого расхождения.

При составлении уравнения Шредингера для водородоподобных атомов мы считали, что электрон находится в кулоновском поле неподвижного ядра. На самом же деле следовало рассматривать движение электрона и движение ядра вокруг их общего центра масс. В нашем расчёте мы получили значение постоянной Ридберга не для реального, а для мысленно бесконечно тяжелого ядра и потому покоящегося ядра. Если же учесть движение ядра, мы получим именно то значение RЭКСП, которое было определено из данных экспериментов, что является блестящим подтверждением правильности применения квантово-механических представлений к атомам.

Кроме легкого изотопа водорода H, существует два тяжелых изотопа водорода: дейтерий D и тритий T. Ядро дейтерия, кроме ротона, содержит один нейтрон, а ядро тритий – два нейтрона. Спектры тяжелых изотопов водорода описываются также формулой (30), но в качестве R следует брать RD для дейтерия и RT для трития.

Различие RH, RD и RT приводит к различию длин волн одних и тех же линий в спектрах различных изотопов водорода.

Аналогичным образом могут быть рассчитаны спектральные линии для ионов Li++, Be++ и других водородоподобных атомов.

19

Литература

1.Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 3. / И.В. Савельев. – М.:

Наука, 2016. – 438 с.

2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.: Высшая школа, 2016. – 560 с.

3.Киттель Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Киттель. – М.: Книга по требованию, 2012. – 789 с.

4.Кокин С.М., Никитенко В.А. Физика. Часть III. Конспект лекций.

– М.: РУТ (МИИТ), 2017. – 256 с.

5.Наумов Н.П., Афанасьев С.Г. Элементы квантовой физики. Учебное пособие / Под ред. профессора С.М. Кокина – М.: РУТ (МИИТ),

2017. – 22 c.

20