Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. Учебное пособие
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§2. ПРОБЛЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
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§2. ПРОБЛЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
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§2. ПРОБЛЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
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ɪɚɫɬɚɧɢɹ Ⱦɥɹ ɤɚɧɨɧɢɱɧɨɫɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɩɨɥɚɝɚɸɬ ɱɬɨ Ɍɚɤɨɟ ɩɪɟɞ
ɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨ
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§2. ПРОБЛЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
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ɛɨɥɶɲɭɸ ɫɬɟɩɟɧɶ ɢɦɧɨɝɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ
ɇɚɩɪɢɦɟɪ ݔ ͵ݔ ɩɥɨɬɧɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
ǡ ǡ ǡ ǡ ǡ͵ǡ ǡ ǡ ǡ ǡ
Ɋɚɡɪɟɠɟɧɧɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞǡ Ǣ ͵ǡ Ǣ ǡ
ɉɪɢ ɬɚɤɢɯ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɢɡ ɤɨɥɶɰɚݔɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɱɬɨ ɦɧɨ
ɝɨɱɥɟɧɵǡݔǡǥǡ ݔ ǡǥɨɛɪɚɡɭɸɬ ɛɚɡɢɫ ɤɨɥɶɰɚݔ
Ȼɚɡɢɫ ɦɨɠɧɨ ɦɟɧɹɬɶ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɛɚɡɢɫ
ǡݔ ǡǥǡݔ ǡǥɢɥɢ ɧɚɛɨɪ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ǡ ǡǥɭ ɤɨɬɨɪɵɯ
ǡ ǡǥ
ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɩɪɨɛɥɟɦɚ ɩɟɪɟɯɨɞɚ ɨɬ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɛɚɡɢɫɚ ɤ ɞɚɧɧɨɦɭ
ɛɚɡɢɫɭ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɡɚɞɚɱɚ ɩɟɪɟɯɨɞɚ ɨɬ ɛɚɡɢɫɚ ɫɨɫɬɨɹɳɟɝɨ ɢɡ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜݔ
ɤ ɛɚɡɢɫɭ ɫɨɫɬɨɹɳɟɦɭ ɢɡ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜݔ ɪɟɲɚɟɬɫɹ ɫ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟɦ
ɫɯɟɦɵ Ƚɨɪɧɟɪɚ ɢɥɢ ɮɨɪɦɭɥɵ Ɍɟɣɥɨɪɚ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɟɩɟɪɶ ɤɨɥɶɰɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɨɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ
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ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɜݔǡݕɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ݔ ʹݔ ݕ ͵ݕ ݔ ݕ
Ⱦɥɹ ɤɚɧɨɧɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɭɩɨɪɹɞɨɱɢɬɶ ɦɨɧɨɦɵ
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ɪɹɞɨɤ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ
ɉɭɫɬɶ ǡ ǡʹǡǥ ڂ ǡ ǥ ɬɨ ɟɫɬɶ
ǡ ǡǥǡ ȁ א ǡ ǡǥǡȻɭɞɟɦ ɝɨɜɨɪɢɬɶ ɱɬɨ ɧɚɛɨɪ
ǡ ǡǥǡ ɜɵɲɟɧɚɛɨɪɚ ǡ ǡǥǡ ɟɫɥɢ ɩɟɪɜɵɣ ɫɱɢɬɚɹ ɫɥɟɜɚ ɧɚɩɪɚɜɨ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ɷɥɟɦɟɧɬ ɩɟɪɜɨɝɨ ɧɚɛɨɪɚ ɨɬɥɢɱɧɵɣ ɨɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɜɬɨɪɨɝɨ
ɧɚɛɨɪɚ ɛɨɥɶɲɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɟɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɜɬɨɪɨɝɨ ɧɚɛɨɪɚ
Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ ©ɜɵɲɟª ɛɭɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ ɫɢɦɜɨɥɨɦظ طɨɡɧɚɱɚɟɬ ©ɧɢɠɟª
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɦɨɧɨɦɵݑ ݔ ݔ ǥݔ ɢݒ ݔ ݔ ǥݔ Ȼɭɞɟɦ ɝɨɜɨɪɢɬɶ ɱɬɨ ɦɨɧɨɦݑ ɫɬɚɪɲɟɢɥɢ ɦɨɠɧɨ ɬɚɤɠɟ ɝɨɜɨɪɢɬɶɜɵɲɟɦɨɧɨɦɚݒɟɫɥɢ
ǡ ǡǥǡ ظ ǡ ǡǥǡ Ɇɵ ɬɚɤɠɟ ɛɭɞɟɦ ɩɢɫɚɬɶݑ ظ ݒ
Ʌɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɥɢɧɟɣɧɵɦ ɩɨɪɹɞɤɨɦ ɬɨ ɟɫɬɶ ɥɸɛɵɟ ɞɜɚ
ɦɨɧɨɦɚ ɫɪɚɜɧɢɦɵ
ȿɫɥɢ ɫɱɢɬɚɬɶ ɱɬɨݔ ݕɬɨ ɭ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ݔ ʹݔ ݕ ͵ݕ ݔ ݕ
ɫɬɚɪɲɢɦ ɦɨɧɨɦɨɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹݔ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɭ ɧɟɝɨ ǡ ͵ǡ ǡɭ ɞɪɭɝɢɯ ɦɨ ɧɨɦɨɜ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶ ɫɬɟɩɟɧɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣݔɦɟɧɶɲɟ ɬɪɟɯ
Ⱥɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɟ ɱɢɫɥɚ
ɉɨɞɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɦɱɢɫɥɨɦ ɛɭɞɟɦ ɩɨɧɢɦɚɬɶ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɹɜɥɹɸɳɟɟɫɹ ɤɨɪɧɟɦ ɧɟɧɭɥɟɜɨɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɫ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ
ɇɚɩɪɢɦɟɪ ξʹǡ ʹ ξ͵ǡξ± ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɟ ɱɢɫɥɚ
Ʉɪɨɦɟ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɢɦɟɸɬɫɹ ɟɳɟɬɪɚɧɫɰɟɧɞɟɧɬɧɵɟɱɢɫɥɚǡ ǡ ͵
ɍ ɤɚɠɞɨɝɨ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɢɦɟɟɬɫɹ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
ɈɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɆɧɨɝɨɱɥɟɧ א ݔɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹɦɢɧɢɦɚɥɶɧɵɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɦ
ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɟɫɥɢ
Ǣ
ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɫɨ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ
ɫɬɚɪɲɢɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɪɚɜɟɧ
48
§2. ПРОБЛЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
Ɇɢɧɢɦɚɥɶɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɟɧ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɟɝɨ ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ
ɞɥɹ ɤɚɧɨɧɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɝɨ ɱɢɫɥɚ Ɉɫɬɚɥɶɧɵɟ ɤɨɪɧɢ ɬɨɝɨ
ɠɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɨɩɪɹɠɟɧɧɵɦɢɫ ɱɢɫɥɨɦ
ȿɫɥɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɚɞɚɬɶ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɟ ɱɢɫɥɨ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɞɨ ɫɨɩɪɹɠɟɧɢɹ ɩɨ
ɫɤɨɥɶɤɭ ɫɨɩɪɹɠɟɧɧɵɟ ɤɨɪɧɢ ɡɚɞɚɸɬ ɨɞɧɨ ɢ ɬɨ ɠɟ ɪɚɫɲɢɪɟɧɢɟ ɩɨɥɹ ɬɨ ɦɢɧɢ ɦɚɥɶɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɞɥɹ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɱɢɫɟɥ
ȼ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɧɚɪɹɞɭ ɫ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɵɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɦ ɡɚɞɚɟɬɫɹ ɨɬɪɟɡɨɤ
ǡ ǡ ǡ א ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɧɚ ɤɨɬɨɪɨɦ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɡɚɞɚɧɧɨɟ ɚɥɝɟɛɪɚɢ
ɱɟɫɤɨɟ ɱɢɫɥɨ ɟɫɥɢ ɨɧɨ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨɟ ɩɪɢɱɟɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥǡɧɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ
ɞɪɭɝɢɯ ɤɨɪɧɟɣ ɷɬɨɝɨ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
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ɇɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶ
ɉɨɧɹɬɢɟ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɞɟɥɢɬɟɥɹ
Ⱦɥɹ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɜ ɜɢɞɟ ɧɟɫɨɤɪɚɬɢɦɨɣ ɞɪɨɛɢ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ
ɡɚɞɚɱɚ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɞɟɥɢɬɟɥɹ ɞɜɭɯ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɉɨɞɨɛɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɢ ɞɥɹ ɞɪɭɝɢɯ ɰɟɥɵɯ ɤɨɥɟɰ ɉɨɷɬɨɦɭ ɞɚɞɢɦ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨɨɛɳɟɝɨ ɞɟɥɢɬɟɥɹɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦɚɥɝɨɪɢɬɦɵɟɝɨɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɤɨɥɶɰɚ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɢ ɤɨɥɶɰɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ
Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɉɭɫɬɶ ± ɰɟɥɨɟ ɤɨɥɶɰɨ ɗɥɟɦɟɧɬ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɦ ɨɛ
ɳɢɦ ɞɟɥɢɬɟɥɟɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢ ɟɫɥɢ
ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɛɳɢɦ ɞɟɥɢɬɟɥɟɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢ ɬɨ ɟɫɬɶȁɢȁ
ɟɫɥɢ ± ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢ ɬɨȁ
ɇɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧ ɧɟ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɚ ɬɨɥɶɤɨ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɞɨ
ɚɫɫɨɰɢɢɪɨɜɚɧɧɨɫɬɢ Ⱥ ɢɦɟɧɧɨ ɟɫɥɢ ɟɫɬɶ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶ ɷɥɟɦɟɧ
ɬɨɜ ɢ ɚ ̱ɬɨ ± ɬɚɤɠɟ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢ
ȼɟɪɧɨ ɢ ɨɛɪɚɬɧɨɟ ɟɫɥɢ ɢ ± ɞɜɚ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɯ ɨɛɳɢɯ ɞɟɥɢɬɟɥɹ ɬɨ ̱ ɂɫɯɨɞɹ ɢɡ ɫɤɚɡɚɧɧɨɝɨ ɡɚɩɢɫɶʜʝʓ ǡɦɨɠɧɨ ɩɨɧɢɦɚɬɶ ɞɜɨɹɤɨ
xɤɚɤ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɯ ɨɛɳɢɯ ɞɟɥɢɬɟɥɟɣ
xɤɚɤ ɨɞɢɧ ɤɨɧɤɪɟɬɧɵɣ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶ
ɉɪɢɦɟɪɵ
x ȿɫɥɢ ɬɨʜʝʓ ʹǡ͵ ǡɢɥɢ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ʜʝʓ ʹ ǡ͵ ǡɢɥɢ
ʜʝʓ ʹǡ͵
x ʜʝʓ ǡ ɢɥɢʜʝʓ ǡɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ
ɉɪɟɠɞɟ ɱɟɦ ɩɟɪɟɣɬɢ ɤ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚɦ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɇɈȾ ɜ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɤɨɥɶɰɚɯ ɪɚɫ
ɫɦɨɬɪɢɦ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɇɈȾ
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