Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. Учебное пособие
.pdfɉɪɨɛɥɟɦɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɞɚɧɧɵɯ
ɗɬɨɬ ɪɚɡɞɟɥ ɩɨɞɪɨɛɧɟɟ ɢɡɥɨɠɟɧ ɜ > @
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ȼ ɬɚɤɨɣ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɟ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɧɵ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɜɨɡɶɦɟɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣ
ɡɚɞɚɸɳɢɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ ɛɨɥɶɲɢɟ ɟɞɢɧɢɰɵ
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ɤɥɚɫɫɚ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɜɵɛɢɪɚɟɦ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟ
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ɟɬɫɹ ɜ ɬɚɤɨɦ ɜɢɞɟ ɢ ɬɚɤɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨ Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɡɚɞɚɱɚ
ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɧɚ ɩɪɨɫɬɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ ɦɨɠɟɬ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢ
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Ɉɫɧɨɜɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ ɚɥɝɟɛɪɵ ɭɬɜɟɪɠɞɚɟɬ ɱɬɨ ɥɸɛɨɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɨɬ ɨɞɧɨɣ ɩɟ
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ɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɞɚɧɧɵɯ ± ɷɬɨ ɡɚɞɚɱɚ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɜɫɟɯ ɤɨɪɧɟɣ ɞɚɧɧɨɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
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ɉɪɢɦɟɪɁɧɚɹ ɱɬɨ ɨɞɢɧ ɢɡ ɤɨɪɧɟɣ ɪɚɜɟɧ ɧɚɣɞɟɦ ɞɜɚ ɨɫɬɚɜɲɢɯɫɹ ɤɨɦɩɥɟɤɫ
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ɥɢɧɟɣɧɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
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ݖ ʹ ݖ ݖ ͵ɧɚ ɞɜɭɱɥɟɧݖ ɢ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɱɚɫɬɧɨɟݖ
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ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɹ
Ɋɚɡɞɟɥɢɬɟ ɫ ɨɫɬɚɬɤɨɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
ݖ ͵ ͵ ݖ ͵ ݖ ͵ ɧɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧݖ ͵
Ɉɬɜɟɬ ɧɟɩɨɥɧɨɟ ɱɚɫɬɧɨɟɟɫɬɶݖ ͵ݖ ͵ ͵ ɨɫɬɚɬɨɤɪɚɜɟɧ ʹ ͺ
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§2. ПРОБЛЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
Ɂɧɚɹ ɱɬɨ ɨɞɢɧ ɢɡ ɤɨɪɧɟɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɟɫɬɶ ɷɥɟɦɟɧɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚǡ ǡʹ
ɪɚɡɥɨɠɢɬɟ ɟɝɨ ɧɚ ɥɢɧɟɣɧɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ ɟɫɥɢ
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Ɂɧɚɹ ɱɬɨ ɨɞɢɧ ɢɡ ɤɨɪɧɟɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚݖ ͵ݖ ݖ ɟɫɬɶ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɟ
ɱɢɫɥɨ ɪɚɡɥɨɠɢɬɟ ɟɝɨ ɧɚ ɥɢɧɟɣɧɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ
ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɹɉɟɪɟɮɨɪɦɭɥɢɪɭɣɬɟ ɜ ɜɢɞɟ ɡɚɞɚɱɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɞɚɧɧɵɯ ɫɥɟɞɭɸ ɳɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɢɡ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɨɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɞɟɥɢɬɟɥɹ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ
ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɞɟɥɢɬɟɥɹ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɨɬ ɨɞɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɫ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɇɚɫ ɛɭɞɟɬ ɢɧɬɟɪɟɫɨɜɚɬɶ ɧɟ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɞɚɧɧɵɯ ɚ ɬɨɥɶɤɨ
ɡɚɞɚɱɢ ɬɪɟɯ ɜɢɞɨɜɄɚɧɨɧɢɱɟɫɤɨɟɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɞɚɧɧɵɯ ɗɬɨ ɬɚɤɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɤɨɝɞɚ ɢɡ
ɤɚɠɞɨɝɨ ɤɥɚɫɫɚ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɪɨɜɧɨ ɨɞɢɧ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɟɥɶɇɨɪɦɚɥɶɧɨɟɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɞɚɧɧɵɯ ɗɬɨ ɬɚɤɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ ɜɵɞɟɥɟɧɵ ɨɛɴɟɤɬɵ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɦɵɟ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦȿɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨɟɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɗɬɨ ɬɚɤɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ ɜɵ ɛɨɪ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɤɥɚɫɫɚ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɫɩɨɫɨɛɚ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɹ ɬɨ ɟɫɬɶ ɟɫɥɢ ɧɚɱɚɬɶ ɜɵɛɨɪ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɟɥɟɣ ɤɥɚɫɫɨɜ ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢɥɢ
ɧɚɱɚɬɶ ɜɵɛɨɪ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɟɥɹ ɤɥɚɫɫɨɜ ɧɚɱɢɧɚɹ ɫɨ ɜɬɨɪɨɝɨ ɤɥɚɫɫɚ
ɬɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɛɭɞɟɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜ
ɉɪɢɦɟɪɉɭɫɬɶ ɢɡɜɟɫɬɟɧ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɜɵɹɫɧɟɧɢɹ ɬɨɝɨ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵ ɥɢ ɞɜɚ ɞɚɧɧɵɯ
ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɦɟɬɨɞ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɞɚɧɧɵɯ ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɣ
ɦɟɬɨɞɨɦ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ Ȼɪɚɭɧɚ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Ɉɧ ɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ Ɉɪɝɚɧɢɡɭɟɦ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɩɟɪɟɛɨɪ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɬɨ ɟɫɬɶ ɡɚɞɚɟɦ ɩɨɪɹɞɨɤ ɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢ ɫɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɯ ɫ ɪɚɧɟɟ ɪɚɫɫɦɨɬ ɪɟɧɧɵɦɢ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɬɨ ɟɫɬɶ ɜɵɹɫɧɹɟɦ ɛɭɞɭɬ ɥɢ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵ ȿɫɥɢ ɞɚɧɧɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɟɧ ɪɚɧɟɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɨɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɭ ɬɨ ɩɪɨɩɭɫ ɤɚɟɦ ɟɝɨ ɟɫɥɢ ɧɟɬ ɬɨ ɞɨɛɚɜɥɹɟɦ ɤ ɫɢɫɬɟɦɟ ɭɠɟ ɜɵɛɪɚɧɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜ ɤɨɧɰɟ ɩɟɪɟɛɨɪɚ ɩɨɥɭɱɢɦ ɧɚɛɨɪ ɤɚɧɨɧɢɱɟɫɤɢɯ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɟɥɟɣ ɤɥɚɫɫɨɜ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɉɪɟɢɦɭɳɟɫɬɜɨɦ ɦɟɬɨɞɚ Ȼɪɚɭɧɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɟɝɨɭɧɢɜɟɪɫɚɥɶɧɨɫɬɶɚ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɤ ± ɷɬɨ ɟɝɨɧɟɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨɫɬɶɬɨ ɟɫɬɶ ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɵɟ ɫ ɟɝɨ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɚɧɨɧɢɱɟɫɤɢɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɟɥɢ ɡɚɜɢɫɹɬ ɨɬ ɬɨɝɨ ɫ ɤɚɤɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɦɵ ɧɚɱɢɧɚɥɢ ɩɟɪɟɛɨɪ ɩɪɟɞɫɬɚ ɜɢɬɟɥɟɣ Ⱦɚɥɟɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɩɨɫɨɛɵ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɞɚɧɧɵɯ ɞɥɹ ɤɨɧɤɪɟɬɧɵɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ
Ʉɨɥɶɰɨ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ
Ⱦɥɹ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɰɟɥɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɱɚɳɟ ɜɫɟɝɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɩɨɡɢɰɢɨɧɧɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ
ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɜɵɛɢɪɚɸɬ ± ɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɱɚɳɟ ɜɫɟɝɨ ɷɬɨ
ɢɥɢ ɢ ɡɚɞɚɸɬ ɞɚɥɟɟ ©ɰɢɮɪɚɦɢª ɜ ɜɢɞɟ
ڮ ɧɭɠɟɧ ɟɳɟ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɣ ɪɚɡɪɹɞ ɞɥɹ ɡɧɚɤɚ ɢɥɢ
ɋɱɢɬɚɟɦ ɱɬɨ Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ ǤɄɚɧɨɧɢɱɧɨɫɬɶ ɨɛɟɫɩɟɱɟɧɚ ɬɟɦ
ɱɬɨ Ɍɚɤɚɹ ɡɚɩɢɫɶ ɭɞɨɛɧɚ ɞɥɹ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɱɢɫɟɥ
Ɇɨɠɧɨ ɭɤɚɡɚɬɶ ɢɞɪɭɝɢɟ ɫɩɨɫɨɛɵɧɚɩɪɢɦɟɪ ɡɚɩɢɫɶ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɪɢɦɫɤɢɯ ɰɢɮɪ
ɢɥɢ ɜ ɜɢɞɟ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ ɧɚ ɩɪɨɫɬɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ ɉɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɦɭɥɶɬɢɩɥɢɤɚɬɢɜ
ɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɫ ɰɟɥɵɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ ɝɨɪɚɡɞɨ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɟɟ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ
ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ ɜɢɞɟ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ ɧɚ ɩɪɨɫɬɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ
ɟɫɥɢ ǥ ǡ ǥ
ɬɨ ǥ
Ɍɚɤɢɟ ɱɢɫɥɚ ɭɦɧɨɠɚɬɶ ɥɟɝɤɨ ɚ ɫɤɥɚɞɵɜɚɬɶ ɬɪɭɞɧɨ
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§2. ПРОБЛЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
ɉɨɥɟ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ
Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɬɶ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ ɛɭɞɟɦ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɩɪɢɜɟ
ɞɟɧɧɨɟ ɜɵɲɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɇɚ ɩɪɹɦɨɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɢ ɡɚɞɚ
ɞɢɦ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ
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Ʉɚɧɨɧɢɱɟɫɤɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ ɢɡ ɤɚɠɞɨɝɨ ɤɥɚɫɫɚ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ
ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɪɨɜɧɨ ɨɞɢɧ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɟɥɶ ɜɨɡɧɢɤɧɟɬ ɟɫɥɢ ɩɨɬɪɟɛɨɜɚɬɶ ɱɬɨɛɵ
ɱɢɫɥɚ ɢ ɛɵɥɢ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɪɨɫɬɵ
ȿɫɬɶ ɞɪɭɝɢɟ ɫɩɨɫɨɛɵ ɰɟɩɧɵɟ ɞɪɨɛɢ ɢɥɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɞɪɨɛɢ ɜ ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ
ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɞɨɥɟɣ ɟɞɢɧɢɰɵ ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɣ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɢ ɜ ɜɢɞɟ
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Ɍɚɤ ɡɚɩɢɫɵɜɚɥɢ ɞɪɨɛɢ ɜ Ⱦɪɟɜɧɟɦ ȿɝɢɩɬɟ
ȿɝɢɩɟɬɫɤɢɟ ɞɪɨɛɢ
Ⱦɪɟɜɧɢɟ ɟɝɢɩɬɹɧɟ ɡɚɩɢɫɵɜɚɥɢ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɟ ɞɪɨɛɢ ɤɚɤ ɫɭɦɦɵ ɱɢɫɟɥ ɨɛɪɚɬɧɵɯ
ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɦ ɱɢɫɥɚɦʹȀ Ȁ͵ Ȁ ǡ Ȁ Ȁʹ Ȁ͵ Ȁ ʹɢ ɬ ɞ
ɉɚɩɢɪɭɫ Ɋɚɣɧɞɚ ɞɚɬɢɪɭɟɦɵɣ ɨɪɢɟɧɬɢɪɨɜɨɱɧɨ ɝ ɞɨ ɧ ɷ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɦɚɬɟ
ɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɡɚɞɚɱɢ ɢ ɬɚɛɥɢɰɵ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɳɢɟ ɞɪɨɛɢʹȀ ʹ ɫɨ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟ
ɥɹɦɢ ɨɬ ɞɨ͵͵ɜ ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ ɞɪɨɛɟɣ ɫ ɱɢɫɥɢɬɟɥɟɦ Ⱦɪɨɛɢ ɫ ɱɢɫɥɢɬɟɥɟɦ ɟɞɢɧɢɰɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɟɳɟɚɥɢɤɜɨɬɧɵɦɢɫɚɦɨ ɫɥɨɜɨ ©ɤɜɨɬ ɧɵɣª ɨɡɧɚɱɚɟɬ ©ɞɟɥɹɳɢɣ ɧɚɰɟɥɨª ɚ ɚɥɢɤɜɨɬɧɵɣ ɜ ɩɟɪɟɜɨɞɟ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ©ɧɟ ɞɟɥɹ ɳɢɣ ɧɚɰɟɥɨª ɞɪɨɛɹɦɢ
Ɉɞɧɚ ɢɡ ɡɚɞɚɱ ɷɬɨɝɨ ɩɚɩɢɪɭɫɚ ± ɪɚɡɞɟɥɢɬɶ ɯɥɟɛɨɜ ɦɟɠɞɭ ɥɸɞɶɦɢ ± ɪɟɲɚɥɚɫɶ
ɜ ɟɝɢɩɟɬɫɤɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ ɬɚɤ ɤɚɠɞɨɦɭ ɩɪɨɝɨɥɨɞɚɜɲɟɦɭɫɹ ɧɭɠɧɨ ɞɚɬɶ ɫɭɦɦɭ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Ɂɚɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɦɨɠɧɨ ɤɨɧɟɱɧɨ ɪɚɡɪɟɡɚɬɶ ɤɚɠɞɵɣ ɯɥɟɛ ɧɚ ɱɚɫɬɟɣ ɬɨ ɟɫɬɶ ɫɨ
ɜɟɪɲɢɬɶ ή ɢɥɢ ήͺɤɚɤ ɜ ɤɪɭɝɥɨɦ ɩɢɪɨɝɟ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɪɚɞɢɭɫɨɜ ɪɚɡɪɟɡɨɜ
ɚ ɡɚɬɟɦ ɤɚɠɞɨɦɭ ɜɵɞɚɬɶ ɩɨ ɩɨɥɭɱɢɜɲɢɯɫɹ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɪɚɡɪɟɡɚ ɱɚɫɬɟɣ
ȿɝɢɩɟɬɫɤɢɣ ɫɩɨɫɨɛ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ ͺ ή ͺή ͺ ή ɬɨ ɟɫɬɶ ɯɥɟɛ ɪɚɡɪɟɡɚ
ɟɬɫɹ ɧɚ ɜɨɫɟɦɶ ɱɚɫɬɟɣ ɯɥɟɛɚ ɪɚɡɪɟɡɚɸɬɫɹ ɧɚ ɱɟɬɵɪɟ ɱɚɫɬɢ ɢ ɯɥɟɛɚ ɪɚɡɪɟɡɚ
ɸɬɫɹ ɩɨɩɨɥɚɦ ɑɢɫɥɨ ɪɚɡɪɟɡɨɜ ɪɚɜɧɨ ή ͺ ʹ ή ήʹ ʹɟɫɥɢ ɩɨɥɶɡɨ ɜɚɬɶɫɹ ɪɚɞɢɭɫɚɦɢ ɱɬɨ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨ ɦɟɧɶɲɟ ɱɟɦ ɜ ɫɩɨɫɨɛɟ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɨɦ ɜɵɲɟ
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɩɪɢɯɨɞɢɬɫɹ ɪɟɡɚɬɶ ɦɟɬɚɥɥɢɱɟɫɤɢɟ ɞɢɫɤɢ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɜɦɟɫɬɨ
ɩɢɪɨɝɚ ɬɨ ɫɨɤɪɚɳɟɧɢɟ ɱɢɫɥɚ ɪɚɫɩɢɥɨɜ ± ɜɟɫɶɦɚ ɩɨɥɟɡɧɚɹ ɷɤɨɧɨɦɢɹ ɡɚɬɪɚɬ ɜɪɟ
ɦɟɧɢ ɧɟ ɝɨɜɨɪɹ ɭɠɟ ɨɛ ɭɫɢɥɢɹɯ ɩɢɥɶɳɢɤɚ ɢɥɢ ɡɚɬɪɚɬɚɯ ɬɨɝɨ ɞɥɹ ɤɨɝɨ ɷɬɢ ɪɚɫ
ɩɢɥɵ ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɞɪɨɛɶȀ ʹɜ ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ ɞɪɨɛɟɣ ɬɚɤ
ɩɨ ɞɪɭɝɨɦɭ ɷɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ ɢɦɟɟɬɫɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ʹή |
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Ɂɧɚɱɢɬ ɢɡ ɞɚɧɧɵɯ ɩɥɚɫɬɢɧɨɤ ɧɚɞɨ ɪɚɡɪɟɡɚɬɶ ɧɚ ɬɪɢ ɪɚɜɧɵɟ ɱɚɫɬɢ ɤɚɠɞɭɸ
ɷɬɨ ɪɚɜɧɵɯ ɱɚɫɬɟɣ ɚ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɩɥɚɫɬɢɧɤɢ ɧɚɞɨ ɪɚɡɪɟɡɚɬɶ ɧɚ ɪɚɜɧɵɟ ɱɚ
ɫɬɢ ɤɚɠɞɭɸ ɫɧɨɜɚ ɩɨɥɭɱɢɦ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɯ ɱɚɫɬɟɣ ȿɫɥɢ ɝɨɜɨɪɢɬɶ ɨ ɱɢɫɥɟ ɪɚɫ
ɩɢɥɨɜ ɷɬɨ ɜɫɟɝɨʹ ʹɜɦɟɫɬɨ ή ʹ
ȼ ɞɚɧɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɧɟɬɪɭɞɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɢ ɪɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɱɬɨɛɵ ɧɚɣɬɢ ɩɪɟɞ
ɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɜ ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ ɞɜɭɯ ɚɥɢɤɜɨɬɧɵɯ ɞɪɨɛɟɣ ݔ ݕɞɥɹ ɧɚɬɭ
ɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥݔɢݕɌɨɝɞɚʹ ݔ ݕ ݔݕɢ ɥɟɝɤɨ ɞɨɛɢɬɶɫɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ
ݔ ݕ ݔݕ ʹ
Ɋɟɲɟɧɢɟɦ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɱɢɫɥɚݔ ͵ǡݕ ɢɥɢ ɧɚɨɛɨɪɨɬݔ ǡݕ ͵ɱɬɨ ɦɨɠɟɬ
ɧɚɣɬɢ ɥɸɛɨɣ ɲɤɨɥɶɧɢɤ ɭɦɟɸɳɢɣ ɪɟɲɚɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
36
§2. ПРОБЛЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
Ɋɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɞɪɨɛɢ ɜ ɫɭɦɦɭ ɞɪɨɛɟɣ ɬɚɤɨɝɨ ɜɢɞɚɧɟ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɇɚɩɪɢɦɟɪ
ɞɪɨɛɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɥɚɫɶ ɟɝɢɩɬɹɧɚɦɢ ɤɚɤ ɫɭɦɦɚ ɢɥɢ ɤɚɤ ɫɭɦɦɚ©ɉɪɚɜɢɥɶɧɵɦª ɫɱɢɬɚɥɫɹ ɜɬɨɪɨɣ ɜɚɪɢɚɧɬ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ± ɫɚɦɚɹ ɛɨɥɶɲɚɹ ɢɡ ɞɪɨɛɟɣ ɜɢɞɚ ɦɟɧɶɲɢɯ
ɋɭɦɦɭɩɨɩɚɪɧɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯɟɝɢɩɟɬɫɤɢɯ ɞɪɨɛɟɣ ɧɚɡɵɜɚɸɬɟɝɢɩɟɬɫɤɨɣ ɫɭɦɦɨɣ
Ɇɵ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ
Ɂɚɞɚɱɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɞɚɧɧɵɯ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɭɸ ɞɪɨɛɶ ǡ
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ڮ |
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ɜ ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ |
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ɝɞɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ |
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± ɪɚɡɥɢɱɧɵ |
Ɇɵ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɚɥɝɨɪɢɬɦ Ɏɢɛɨɧɚɱɱɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɣ ɧɟɫɨɤɪɚ
ɬɢɦɨɣ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɢ ɜ ɜɢɞɟ ɟɝɢɩɟɬɫɤɨɣ ɫɭɦɦɵ
Ⱥɥɝɨɪɢɬɦ Ɏɢɛɨɧɚɱɱɢ
ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɚɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɚɹ ɧɟɫɨɤɪɚɬɢɦɚɹɞɪɨɛɶ ǡ ɢǡ± ɧɚɬɭɪɚɥɶ
ɧɵɟ ɱɢɫɥɚ Ɋɚɡɞɟɥɢɦ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɧɚ ɱɢɫɥɢɬɟɥɶ ɫ ɨɫɬɚɬɤɨɦ
ɢ əɫɧɨ ɱɬɨ ɜ ɫɢɥɭ ɧɟɫɨɤɪɚɬɢɦɨɫɬɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚ
ɟɦɨɣ ɞɪɨɛɢ ɨɫɬɚɬɨɤ ± ɧɟɧɭɥɟɜɨɣ ɇɟɬɪɭɞɧɨ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɱɬɨ
ή ή ή ή
ɬɨ ɟɫɬɶ ɉɪɢ ɷɬɨɦ
Ɉɞɧɨ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ ɭɠɟ ɟɫɬɶ ɚɥɢɤɜɨɬɧɚɹ ɞɪɨɛɶ
ɉɪɨɞɟɥɚɟɦ ɬɨ ɠɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɞɥɹ ɞɪɨɛɢ ɤɨɬɨɪɭɸ ɩɪɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɢ
ɫɧɚɱɚɥɚ ɩɪɢɜɟɞɟɦ ɤ ɧɟɫɨɤɪɚɬɢɦɨɦɭ ɜɢɞɭ ȼɟɥɢɱɢɧɚ ɱɢɫɥɢɬɟɥɹ ɦɟɧɶɲɟ
ɱɟɦ ɱɢɫɥɢɬɟɥɶ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɞɪɨɛɢ
ɇɚ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɲɚɝɟ ɱɢɫɥɢɬɟɥɶ ɨɩɹɬɶ ɭɦɟɧɶɲɢɬɫɹ ɨɫɬɚɜɚɹɫɶ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɧɟɧɭɥɟ
ɜɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɜ ɤɚɤɨɣ ɬɨ ɦɨɦɟɧɬ ɱɢɫɥɢɬɟɥɶ ɫɬɚɧɟɬ ɟɞɢɧɢɰɟɣ
ɢ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɛɭɞɟɬ ɩɨɥɭɱɟɧɨ
37
А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɷɬɨ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɧɚ ɩɪɢɦɟɪɟ
ɉɪɢɦɟɪɉɪɢɦɟɧɢɦ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɤ ɞɪɨɛɢ
ͻ ͻ ή ͻήʹ
ɉɨɷɬɨɦɭ
Ⱦɚɥɟɟ
ͺ ή ͺ ή Ⱦɥɹ ɞɪɨɛɢ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ή
Ɂɚɬɟɦ ή ͺ ή ή
ɢή ή ή
ȼ ɢɬɨɝɟ ɢɦɟɟɦ
ɁɚɦɟɱɚɧɢɟȾɥɹ ɞɪɨɛɢ ɚɥɝɨɪɢɬɦ Ɏɢɛɨɧɚɱɱɢ ɞɚɟɬ ɩɥɨɯɨɟ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ
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ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɥɭɱɲɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɢ ɬɨɝɞɚ |
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ɢ
Ⱦɪɭɝɨɟ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
Ʉɨɥɶɰɚ ɜɵɱɟɬɨɜ
Ⱦɥɹ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɤɨɥɶɰɚ ɜɵɱɟɬɨɜ ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɩɨɥɧɭɸ
ɫɢɫɬɟɦɭ ɜɵɱɟɬɨɜɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɉɨɥɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɜɵɱɟɬɨɜ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɸɛɨɟ
ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜɡɹɬɵɯ ɩɨ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɚɠɞɨɝɨ ɫɦɟɠɧɨɝɨ ɤɥɚɫɫɚ ɩɨ ɦɨ
ɞɭɥɸ
ȿɫɬɟɫɬɜɟɧɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚɜɵɱɟɬɨɜǡ ǡǥǡ ɉɪɢ ɛɨɥɶɲɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɢɫ
ɩɨɥɶɡɭɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɩɨɥɧɵɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜɵɱɟɬɨɜ
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§2. ПРОБЛЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ
± ɧɟɱɟɬɧɨɟ ɱɢɫɥɨ |
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ǡ ǡǥǡ |
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ǡ |
ʹ |
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ʹǡǥǡ ǡ ǡǥǡ |
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± ɱɟɬɧɨɟ ɱɢɫɥɨ |
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ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɞɥɹ ɤɨɥɶɰɚ ɩɨɥɧɵɦɢ ɫɢɫɬɟɦɚɦɢ ɜɵɱɟɬɨɜ ɛɭɞɭɬǡ ǡǥǡ
ɢʹǡ ǡ ǡ ǡʹǡ͵
ɇɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɨɫɬɚɬɤɨɜ ɨɬ ɞɟɥɟɧɢɹ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɜɟ ɡɚɞɚɱɢ ɫɜɹɡɚɧɧɵɟ ɫ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹɦɢ ɜ ɤɨɥɶɰɟ ɜɵɱɟɬɨɜ
ɁɚɞɚɱɚɈɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɟɪɟɡ ǥ ɱɢɫɥɨ
ή ή ڮ ɝɞɟ ǡ ǡǥǡ ǡ ± ɰɢɮɪɵ ɞɟ
ɫɹɬɢɱɧɨɣ ɡɚɩɢɫɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɇɚɣɞɢɬɟ ɬɚɤɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɰɢɮɪݔɢݕ
ɱɬɨɛɵ ɱɢɫɥɨʹͺݔ ݕɞɟɥɢɥɨɫɶ ɧɚ͵͵
ɊɟɲɟɧɢɟɁɚɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɩɪɢ ɞɟɥɟɧɢɢ ɧɚ
xɱɢɫɥɨ ɞɚɟɬ ɨɫɬɚɬɨɤ
xɱɢɫɥɨ ɞɚɟɬ ɨɫɬɚɬɨɤ
xɱɢɫɥɨ ɞɚɟɬ ɨɫɬɚɬɨɤ
ɉɨɷɬɨɦɭ ɱɢɫɥɨʹͺݔ ݕ ʹͺή ݔ ή ݕɢɦɟɟɬ ɬɚɤɨɣ ɠɟ ɨɫɬɚɬɨɤ ɩɪɢ ɞɟɥɟɧɢɢ ɧɚ ɤɚɤ ɢ ɱɢɫɥɨʹͺ ݔ ʹ ݕɍ ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ ɱɢɫɥɚ ɨɫɬɚɬɨɤ ɬɚɤɨɣ ɠɟ ɤɚɤ ɢ ɭ ɱɢɫɥɚͻ ݔ ݕ
ɇɭɠɧɨ ɬɟɩɟɪɶ ɧɚɣɬɢ ɬɚɤɢɟ ɰɢɮɪɵݔɢݕɱɬɨɛɵ ɱɢɫɥɨͻ ݔ ݕɢɦɟɥɨ ɨɫɬɚ
ɬɨɤ ɩɪɢ ɞɟɥɟɧɢɢ ɧɚ ɍɱɢɬɵɜɚɹ ɱɬɨݔɢݕ± ɰɢɮɪɵ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɫɥɭɱɚɹ
͵͵ ͻ ݔ ݕ ɢɥɢݔ ݕ Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɢɦɟɟɬɫɹ ɜɚɪɢɚɧɬɚ
ݕ |
ͻͻ |
ͺ |
ݕ |
ݕ |
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ݔ ɢɥɢ |
ݔ ɢɥɢ |
ݔ ͺ |
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Ɉɬɜɟɬ ʹͺ ʹͺ ʹͺͺ
Ɂɚɞɚɱɚ
ɇɚɣɞɢɬɟ ɨɫɬɚɬɨɤ ɨɬ ɞɟɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɚ͵ ɧɚʹ
Ɋɟɲɟɧɢɟɑɢɫɥɨ͵ɩɪɢ ɞɟɥɟɧɢɢ ɧɚ ɢɦɟɟɬ ɨɫɬɚɬɨɤ ɉɨɷɬɨɦɭ ɱɢɫɥɨ͵
ɢɦɟɟɬ ɨɫɬɚɬɨɤ ɚ͵ ɢɦɟɟɬ ɨɫɬɚɬɨɤ
Ɉɬɜɟɬɨɫɬɚɬɨɤ ɪɚɜɟɧ ɞɜɭɦ
Ʉɨɧɟɱɧɵɟ ɩɨɥɹ
Ʉɨɥɶɰɨ ɞɥɹ ɩɪɨɫɬɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɥɟɦ ɗɬɨ ɩɨɥɟ ɤɨɧɟɱɧɨ
ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɮɚɤɬɵ ɤɚɫɚɸɳɢɟɫɹ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɩɨɥɟɣ
Ʌɸɛɨɟ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɩɨɥɟ ɟɫɬɶ ɜɟɤɬɨɪɧɨɟ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɧɚɞ ɧɟɤɨɬɨɪɵɦ
ɩɨɥɟɦ
Ɇɭɥɶɬɢɩɥɢɤɚɬɢɜɧɚɹ ɝɪɭɩɩɚ כɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɨɣ ɝɪɭɩɩɨɣ
ɗɬɢ ɞɜɚ ɮɚɤɬɚ ɞɚɸɬ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ɞɥɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɣ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɩɨɥɟɣ
Ɇɭɥɶɬɢɩɥɢɤɚɬɢɜɧɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɩɨɥɟɣ
əɫɧɨ ɱɬɨ כ ̳ ǡ א ۃ ۄɗɥɟɦɟɧɬ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɪɨɠ
ɞɚɸɳɢɦ ɢɥɢɩɪɢɦɢɬɢɜɧɵɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦɩɨɥɹ Ɍɚɤɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɯɨ
ɪɨɲɨ ɞɥɹ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨɥɹ ɧɨ ɧɟ ɞɥɹ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɞɥɹ
ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶ ɧɚɣɬɢ ɬɪɭɞɧɨ
ȼɟɤɬɨɪɧɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɩɨɥɟɣ
Ⱦɥɹ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ± ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɉɨɷɬɨɦɭ ɜɟɤ
ɬɨɪɧɨɟ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɢɦɟɟɬ ɤɨɧɟɱɧɭɸ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɶ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ
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