Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. Учебное пособие
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§3. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
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ɋ ɱɢɫɥɨɜɵɦɢ ɦɧɨɠɢɬɟɥɹɦɢ ɩɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢʜʝʓɞɟɥɨ ɨɛɫɬɨɢɬ ɧɟ ɬɚɤ ɤɚɤ ɜ ɫɥɭ ɱɚɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟʜʝʓɩɪɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟ
ɧɨɜ ɧɚ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɦɧɨɠɢɬɟɥɶ
ɉɪɢɦɟɪ ݔ ʹݔ ݔ ݔ ʹ א ݔ ɢ ݔ ݔ ݔ ʹݔ ʹ א ݔɉɭɫɬɶ א ɢ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɱɬɨ ɩɪɨ
ɢɫɯɨɞɢɬ ɫ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɦ ɨɛɳɢɦ ɞɟɥɢɬɟɥɟɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɟɫɥɢ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɜ ɚɥ
ɝɨɪɢɬɦɟ ȿɜɤɥɢɞɚ ɜɦɟɫɬɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɚɫɫɨɰɢɢɪɨɜɚɧɧɵɟ ɫ ɧɢɦɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
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ʜʝʓ ǡ ʜʝʓ ǡ ɉɨɷɬɨɦɭ ɩɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢʜʝʓ ǡɦɨɠɧɨ ɢɫ
ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɢ ɧɚ ɧɟɧɭɥɟɜɨɣ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɦɧɨɠɢɬɟɥɶ
ɍɦɧɨɠɚɬɶ ɧɚ ɩɨɞɯɨɞɹɳɢɣ ɦɧɨɠɢɬɟɥɶ ɞɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɫɱɟɬɚ ɦɨɠɧɨ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɢɫ
ɯɨɞɧɵɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɧɨ ɢ ɥɸɛɵɟ ɨɫɬɚɬɤɢ
ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɩɪɢɦɟɪ ɩɨɞɨɛɧɵɯ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢ
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ɇɚ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɲɚɝɟ ɞɟɥɢɦ ɧɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ʹݔ ݔ ʹݔ ɚ ɧɟ ɧɚ ɢ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ݔ ǡ ݔ Ɂɚɬɟɦ ɞɟɥɢɦ ɧɚ ݔ ɢ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɜ ɨɫɬɚɬɤɟ Ɂɧɚɱɢɬ
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Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ ɂɧɨɝɞɚݔ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɧɟɭɞɨɛɧɨɜ ɹɡɵɤɟɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɹ
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Ɂɚɞɚɱɚ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɞɟɥɢɬɟɥɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɩɪɢɦɚɪɧɨɝɨ ɚɥɝɨ
ɪɢɬɦɚ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬ ɧɚɥɢɱɢɟ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ ɧɚ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ Ɋɚɡɥɨɠɟ
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§3. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
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ɝɨɱɥɟɧɚɦɢ ɧɚ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ Ɂɚɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɡɚɞɚɱɚ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ ɧɚ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢɨɫɨɛɟɧɧɨɬɪɭɞɧɚɤɨɝɞɚɫɬɟɩɟɧɶɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɜɟɥɢɤɚɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɭɠɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɦ ɬɨ ɟɫɬɶ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɜ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɦɧɨ ɝɨɱɥɟɧɨɜ ɦɟɧɶɲɟɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ ɉɨɷɬɨɦɭ ɦɵ ɩɪɢɜɨɞɢɦ ɩɪɢɡɧɚɤɢ ɧɟɩɪɢ ɜɨɞɢɦɨɫɬɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɜ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɫɥɭɱɚɹɯ
ɇɚɩɨɦɧɢɦ ɱɬɨ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ
ɤɨɬɨɪɵɣ ɧɟɥɶɡɹ ɪɚɡɥɨɠɢɬɶ ɜ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɇɚɞ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɦɩɨɥɟɦɧɟɬɪɭɞɧɨɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɨɫɬɶɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɟɫɥɢ ɟɝɨ ɫɬɟɩɟɧɶ ɧɟ ɜɵɲɟ ɬɪɟɯ ɂɦɟɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɚɹ ɩɪɨɫɬɨ ɞɨɤɚɡɵɜɚɟɦɚɹ ɬɟɨ ɪɟɦɚ
ɌɟɨɪɟɦɚɆɧɨɝɨɱɥɟɧ ɩɟɪɜɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧ ɫɬɟɩɟɧɢ ɞɜɚ ɢɥɢ
ɬɪɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɦ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ ɭ ɧɟɝɨ ɧɟɬ ɤɨɪɧɟɣ ɜ ɷɬɨɦ
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xȼɵɩɢɲɢɬɟ ɜɫɟ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɫɬɟɩɟɧɢ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ
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xȼɵɩɢɲɢɬɟ ɜɫɟ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɫɬɟɩɟɧɢ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ
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ɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɬɚɤɠɟ ɧɟɫɥɨɠɧɨ ɇɭɠɧɨ ɥɢɲɶ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɟɝɨ ɞɢɫɤɪɢɦɢɧɚɧɬ
Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧ ɜɬɨɪɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɫ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɜɫɟɝɞɚ ɢɦɟɟɬ ɤɨ
ɪɟɧɶ ɩɨɷɬɨɦɭ ɨɧ ɜɫɟɝɞɚ ɩɪɢɜɨɞɢɦ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
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ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɫɩɨɫɨɛ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚɥɢɱɢɹ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɭ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɝɨ
ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ
Ɍɟɨɪɟɦɚɉɭɫɬɶ ݔ ݔ ڮ ݔ א ݔ ɢ ± ɟɝɨ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɣ ɤɨɪɟɧɶ ɝɞɟ ɢ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɪɨɫɬɵɟ ɰɟɥɵɟ ɱɢɫɥɚ Ɍɨɝɞɚ
ɱɢɫɥɢɬɟɥɶ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɞɟɥɢɬɟɥɟɦ ɫɜɨɛɨɞɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɬɨ ɟɫɬɶȁ
ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɞɟɥɢɬɟɥɟɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɬɨ ɟɫɬɶȁɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ א ɱɢɫɥɨ ɟɫɬɶ ɞɟɥɢɬɟɥɶ ɱɢɫɥɚ
Ⱦɚɧɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɫɜɟɫɬɢ ɞɟɥɨ ɤ ɩɟɪɟɛɨɪɭ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɩɪɟɬɟɧ
ɞɟɧɬɨɜ ɧɚ ɤɨɪɟɧɶ
ɉɪɢɦɟɪɇɚɣɞɟɦ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɟ ɤɨɪɧɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
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§3. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟȼɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɩɨ ɫɯɟɦɟ Ƚɨɪɧɟɪɚ ɥɟɝɤɨ ɩɪɨɜɨɞɢɬɶ ɧɚɩɪɢɦɟɪ
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ɇɟ ɜɫɟɝɞɚ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɩɨɞɨɛɧɵɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹɦ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɦ ɜɵɲɟ ɦɨɠɧɨ ɩɪɨ
ɫɬɨɩɪɨɜɟɫɬɢɜɪɭɱɧɭɸɇɚɩɪɢɦɟɪɜɟɫɶɦɚɭɬɨɦɢɬɟɥɶɧɨɩɪɨɜɟɪɹɬɶɜɨɡɦɨɠɧɵɟ
ɤɨɪɧɢ ɢɯ ɭ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɭ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ
ݔ ͵ݔ ݔ ͺݔ ʹ
Ⱦɥɹ ɩɨɥɹ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɢ ɩɨɥɹ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɧɟɩɪɢɜɨ
ɞɢɦɵɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɜɵɝɥɹɞɢɬ ɩɪɨɫɬɨ ɨɧɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɥɟɞɫɬɜɢɟɦ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɬɟɨ
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Ɍɟɨɪɟɦɚ
xȿɫɥɢɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɣɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɬɨ ɨɧ ɢɦɟɟɬ ɩɟɪɜɭɸ ɫɬɟɩɟɧɶ
xȿɫɥɢ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɬɨ ɨɧ ɢɦɟɟɬ ɩɟɪɜɭɸ ɢɥɢ ɜɬɨɪɭɸ ɫɬɟɩɟɧɶ ɢ ɬɨɝɞɚ ɟɝɨ ɞɢɫɤɪɢɦɢɧɚɧɬ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɟɧ
Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ
ɇɟɩɪɢɜɨɞɢɦɨɫɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɫ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɫɬɟɩɟɧɢ
ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɱɟɬɵɪɟɯ ɞɟɥɨ ɧɟɩɪɨɫɬɨɟ
ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɫɩɨɫɨɛ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɨɫɬɢ ɞɥɹ ©ɛɢɤɜɚɞɪɚɬɧɵɯª ɦɧɨɝɨɱɥɟ
ɧɨɜ ɱɟɬɜɟɪɬɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ Ɉɧɢ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ ݔ ݔ ǡ ǡ א
Ɇɨɠɧɨ ɜɵɜɟɫɬɢ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɤɪɢɬɟɪɢɣɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɨɫɬɢ ɬɚɤɢɯɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ
Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧݔ ݔ ɩɪɢɜɨɞɢɦ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ
xɦɧɨɝɨɱɥɟɧݐ ݐ ɢɦɟɟɬ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɣ ɤɨɪɟɧɶ ɢɥɢ
xɱɢɫɥɨ ɟɫɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɢ ɨɞɧɨ ɢɡ ɱɢɫɟɥʹ ɟɫɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
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ɉɪɢɦɟɪɉɭɫɬɶݔ ݔ ǡɬɨɝɞɚ ǡ
xɆɧɨɝɨɱɥɟɧݐ ݐ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɬɚɤɨ ɜɵɦɢ ɦɨɝɥɢ ɛɵ ɛɵɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɱɢɫɥɚ ɚ ɨɧɢ ɧɟ ɤɨɪɧɢ
xɋɪɟɞɢ ɱɢɫɟɥ ʹ ʹξ ʹɧɟɬɤɜɚɞɪɚɬɨɜɪɚɰɢɨɧɚɥɶ ɧɵɯ ɱɢɫɟɥ
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧݔ ݔ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ
ɉɪɢɦɟɪɉɭɫɬɶݔ ݔ ǡɬɨɝɞɚ ǡ ɑɢɫɥɨ ɟɫɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬ ɪɚ ɰɢɨɧɚɥɶɧɨɝɨɱɢɫɥɚ ɢɫɪɟɞɢɱɢɫɟɥʹξ ʹ ɬɚɤɠɟɢɦɟɟɬɫɹ
ɤɜɚɞɪɚɬ ɚ ɢɦɟɧɧɨ ʹ ͻ ͵ Ǥɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɷɬɨɬ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɩɪɢɜɨɞɢɦ ȿɝɨ
ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɧɚ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɟ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ ɫɨɦɧɨɠɢɬɟɥɢ ɜɵɝɥɹɞɢɬ ɬɚɤ
ݔ ݔ ݔ ͻݔ ݔ ͵ݔ ήݔ ͵ݔ
Ɋɟɞɭɤɰɢɹ ɰɟɥɨɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ
Ⱦɪɭɝɢɦ ɩɪɢɧɰɢɩɨɦ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɨɫɬɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɟɞɭɤɰɢɹ ɦɧɨɝɨ
ɱɥɟɧɚ ɩɨ ɩɪɨɫɬɨɦɭ ɦɨɞɭɥɸ
Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɉɭɫɬɶ ɢɦɟɟɬɫɹ ɤɚɤɨɟ ɧɢɛɭɞɶ ɩɪɨɫɬɨɟ ɱɢɫɥɨ ɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
ݔ ݔ ڮ ݔ א ݔɊɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɤɨɷɮ
ɮɢɰɢɟɧɬɵ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɟɫɬɶ ɜɵɱɟɬɵ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
ݔ ݔ ڮ ݔ א ݔ
ɇɚɡɨɜɟɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɪɟɞɭɤɰɢɟɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ
ɇɟɬɪɭɞɧɨ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɱɬɨ
xή ή
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§3. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
Ɋɟɞɭɤɰɢɨɧɧɵɣ ɩɪɢɡɧɚɤ
ȿɫɥɢ ɪɟɞɭɤɰɢɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɩɨ ɤɚɤɨɦɭ ɧɢɛɭɞɶ ɩɪɨɫɬɨɦɭ ɱɢɫɥɭ ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ
ɟɫɬɶ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɬɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɬɚɤɠɟ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ
ɧɚɞ ɤɨɥɶɰɨɦ ɚ ɡɧɚɱɢɬ ɢ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ
ɉɪɢɦɟɪɉɨɤɚɠɟɦ ɱɬɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ݔ ʹݔ ͵ݔ ݔ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɩɪɢ
ɜɨɞɢɦɵɦ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ
ɂɫɩɨɥɶɡɭɟɦ ɪɟɞɭɤɰɢɨɧɧɵɣ ɩɪɢɡɧɚɤ ȼɨɡɶɦɟɦ ʹɉɨɥɭɱɢɦ
ݔ ݔ Ǥ
ɉɨɤɚɠɟɦ ɱɬɨ ɨɧ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ Ʉɨɪɧɟɣ ɜ ɩɨɥɟ ɭ ɧɟɝɨ ɧɟɬ
ɉɨɷɬɨɦɭ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɜ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɬɪɟɬɶɟɣ ɢ ɜɬɨ
ɪɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɩɪɢɱɟɦ ɨɛɚ ɨɧɢ ɞɨɥɠɧɵ ɛɵɬɶ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɦɢ
Ɂɧɚɱɢɬ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɜɢɞɚ
ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ
ɇɨ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɦ ɜɬɨɪɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
ݔ ݔ ɫɦ ɡɚɞɚɱɭ ɜɵɲɟ ɋɜɨɛɨɞɧɵɣ ɱɥɟɧ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɪɚɜɟɧ ɢ ɡɧɚ ɱɢɬ ɜ ɩɨɥɟ ɢ ɬɨɝɞɚ
ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɢ ɫɬɟɩɟɧɢݔ ɜ ɥɟɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ ɚ ɜ ɩɪɚɜɨɣ
ɱɚɫɬɢ ɷɬɨ ɉɨɷɬɨɦɭ ֜
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɞɥɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɩɪɢ ɫɬɟɩɟɧɢݔ ɢɦɟɟɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ
֜ ɬɨ ɟɫɬɶ
ݔݔ ݔ ݔ ݔ ݔ Ǥ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɢ ɫɬɟɩɟɧɢݔ ɜ ɥɟɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɪɚɜɟɧ ɚ ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚ ɫɬɢ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɨɧ ɪɚɜɟɧ ɉɪɨɬɢɜɨɪɟɱɢɟ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
ݔ ݔ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ ɚ ɬɨɝɞɚ ɩɨ ɪɟɞɭɤɰɢɨɧɧɨɦɭ ɩɪɢɡɧɚɤɭɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
ɬɚɤɠɟ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ
Ɋɟɞɭɤɰɢɨɧɧɵɣ ɩɪɢɡɧɚɤ
Ⱦɥɹɰɟɥɨɱɢɫɥɟɧɧɵɯɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜɫɬɟɩɟɧɢ ɜɵɲɟ ɬɪɟɯɩɨɥɟɡɟɧ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɩɪɢ ɡɧɚɤ ȿɫɥɢ ɪɟɞɭɤɰɢɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ͵ ɩɨ ɤɚɤɨɦɭ ɧɢɛɭɞɶ ɩɪɨɫɬɨɦɭ
ɱɢɫɥɭ ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɪɚɡɥɚɝɚɟɬɫɹ ɜ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɞɜɭɯ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢ
ɦɵɯ ɫɨɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ ɬɚɤ ɱɬɨ ɫɬɟɩɟɧɢ ɫɨɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ ɟɫɬɶ ɢ ɚ ɦɧɨɝɨ
ɱɥɟɧ א ݔɧɟ ɢɦɟɟɬ ɤɨɪɧɟɣ ɬɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ
ɉɪɢɦɟɪɉɨɤɚɠɟɦ ɱɬɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ݔ ݔ ʹݔ ݔ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɟɝɨ ɪɟɞɭɤɰɢɸ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ
ݔ ݔ ή ݔ ݔ ݔ ݔ
ȼɵɲɟ ɫɦ ɡɚɞɚɱɭ ɧɚ ɫ ɛɵɥɨ ɭɤɚɡɚɧɨ ɱɬɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧݔ ݔ ݔ ݔ
ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ ɂɫɯɨɞɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ
ɬɨɥɶɤɨǡɦɨɝɥɢ ɛɵ ɛɵɬɶ ɟɝɨ ɤɨɪɧɹɦɢ ɚ ɷɬɨ ɧɟ ɬɚɤ
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ɉɨɷɬɨɦɭ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɬɨɪɨɦɭ ɪɟɞɭɤɰɢɨɧɧɨɦɭ ɩɪɢɡɧɚɤɭ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ
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§3. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
ɉɪɢɡɧɚɤ ɗɣɡɟɧɲɬɟɣɧɚ ɢ ɟɝɨ ɦɨɞɢɮɢɤɚɰɢɢ
ȼ ɤɭɪɫɟ ɚɥɝɟɛɪɵ ɞɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶ
ɧɵɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ
Ɍɟɨɪɟɦɚɉɭɫɬɶ ɞɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ א ݔɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɩɪɨɫɬɨɟ ɱɢɫɥɨ ɭɞɨɜɥɟ
ɬɜɨɪɹɸɳɟɟ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
ɫɬɚɪɲɢɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɧɟ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚ ɱɢɫɥɨɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɞɟɥɹɬɫɹ ɧɚ ɱɢɫɥɨɫɜɨɛɨɞɧɵɣ ɱɥɟɧ ɧɟ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚ ɱɢɫɥɨ
Ɍɨɝɞɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɦ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ
ɁɚɦɟɱɚɧɢɟɆɧɨɝɨɱɥɟɧɵݔ א ݔɢݔ ݔ ǡ א ɩɪɢɜɨɞɢɦɵ ɢɥɢ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ȼ ɫɚɦɨɦ ɞɟɥɟ ɟɫɥɢݔ ݑ ݔή ݒ ݔ
ɬɨݔ ݑ ݔ ή ݒ ݔ
ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚݔ ɧɚ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɨɫɬɶ ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶɦɨɞɢ
ɮɢɰɢɪɨɜɚɧɧɵɦ ɩɪɢɡɧɚɤɨɦɗɣɡɟɧɲɬɟɣɧɚ
ɉɪɢɦɟɪ
Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧݔ ɝɞɟ í ɩɪɨɫɬɨɟ ɱɢɫɥɨ ɚ ɱɢɫɥɚ ɢ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɪɨɫɬɵ ɧɟ
ɩɪɢɜɨɞɢɦ
ɉɪɢɦɟɪɉɭɫɬɶ ݔ ݔ ͻ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦݔ ݔ ֜ ݔ ݔ Ɋɚɡɥɨɠɢɦ ɬɟɦ ɫɚɦɵɦݔɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦݔ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɫɯɟɦɭ Ƚɨɪɧɟɪɚ ɢ ɩɨɥɭɱɢɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɦɧɨɝɨ
ɱɥɟɧɚݔ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
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ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ
ɗɬɨɬ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ ɩɨ ɩɪɢɡɧɚɤɭ ɗɣɡɟɧɲɬɟɣɧɚ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɧɭɠɧɨ
ɜɡɹɬɶ ɱɢɫɥɨ ɉɨɷɬɨɦɭ ɢɫɯɨɞɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɬɚɤɠɟ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ
ɉɪɢɦɟɪ
ɉɭɫɬɶ ± ɩɪɨɫɬɨɟ ɱɢɫɥɨ ɬɨɝɞɚɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
|
ݔ ݔ ݔ ڮݔ ± ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ |
|||
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨɂɡ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ |
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ݔ ݔ |
ڮݔ |
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כ |
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ɫɥɟɞɭɟɬ ɱɬɨݔ ݔ ή ݔɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɛɢɧɨɦɚ ɇɶɸɬɨɧɚ ɢɦɟɟɦ
ݔ ݔ ݔ ڮ ݔ
ɝɞɟ ǥǤ ήǥή
ǥ
ɂɡ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ± ɰɟɥɨɟ ɱɢɫɥɨ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɱɬɨ ɱɢɫɥɨ
ήǥή
ǥ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚ ή ǥή ɇɨ ɱɢɫɥɨ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɪɨɫɬɨ ɫ ɱɢɫ ɥɚɦɢǡǥǡɩɪɢ ɩɨɷɬɨɦɭ ǥ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚ ή ǥή
ǥ
ɬɨ ɟɫɬɶ ή ήǥή
˙ˈˎˑˈ ˚ˋ˔ˎˑ
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